Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Vorlesung 3/latex
\setcounter{section}{3}
\zwischenueberschrift{Semilineare Abbildungen}
Jeder komplexe Vektorraum ist insbesondere ein reeller Vektorraum, und jede komplex-lineare Abbildung zwischen komplexen Vektorräumen ist insbesondere reell-linear. Die \definitionsverweis {komplexe Konjugation}{}{} \maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } {z = a+b { \mathrm i} } { \overline{ } = a-b { \mathrm i} } {,} ist reell-linear, aber nicht komplex-linear.
\inputdefinition
{}
{
Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über den
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{}
${\mathbb C}$. Eine Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
heißt
\definitionswort {antilinear}{}
\zusatzklammer {oder
\definitionswort {semilinear}{}} {} {,}
wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(u+v)
}
{ =} { \varphi(u) + \varphi (v)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u,v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi ( \lambda v )
}
{ =} { \overline{ \lambda } \varphi (v)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{ \Complex
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
Die Antilinearität von $\varphi$ kann man auch so ausdrücken, dass $\varphi$
reell-linear ist und dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi ( { \mathrm i} v)
}
{ = }{ - { \mathrm i} \varphi(v)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt, siehe
Aufgabe 3.1.
\inputfaktbeweis
{Vektorraum über C/R-linear/C-linear und C-antilinear/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {komplexe Vektorräume}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann lässt sich jede
$\R$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabb {\varphi} {V} {W
} {}
eindeutig als
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi
}
{ = }{ \psi + \theta
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einer ${\mathbb C}$-linearen Abbildung $\psi$ und einer
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {antilinearen}{}{}
Abbildung $\theta$ schreiben.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( \varphi - { \mathrm i} \circ \varphi \circ { \mathrm i} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \theta
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( \varphi + { \mathrm i} \circ \varphi \circ { \mathrm i} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei ${ \mathrm i}$ hier jeweils als Multiplikation mit ${ \mathrm i}$ zu verstehen ist. Offenbar ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi
}
{ = }{ \psi + \theta
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die $\R$-Linearität der beiden Abbildungen ist ebenfalls klar. Die Linearität bzw. Antilinearität ist nur noch für die skalare Multiplikation mit ${ \mathrm i}$ nachzuweisen. Es ist einerseits
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \psi ( { \mathrm i} v)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( \varphi - { \mathrm i} \circ \varphi \circ { \mathrm i} \right) } ( { \mathrm i} v)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( \varphi ( { \mathrm i} v) - { \left( { \mathrm i} \circ \varphi \circ { \mathrm i} \right) } ( { \mathrm i} v) \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( \varphi ( { \mathrm i} v) + { \mathrm i} \cdot \varphi ( v) \right) }
}
{ =} { { \frac{ { \mathrm i} }{ 2 } } { \left( \varphi (v) - { \mathrm i} \cdot \varphi ( { \mathrm i} v ) \right) }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ { \mathrm i} }{ 2 } } { \left( \varphi - { \mathrm i} \circ \varphi \circ { \mathrm i} \right) } (v)
}
{ =} { { \mathrm i} \psi(v)
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}
und andererseits
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \theta ( { \mathrm i} v)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( \varphi + { \mathrm i} \circ \varphi \circ { \mathrm i} \right) } ( { \mathrm i} v)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( \varphi ( { \mathrm i} v) + { \left( { \mathrm i} \circ \varphi \circ { \mathrm i} \right) } ( { \mathrm i} v) \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( \varphi ( { \mathrm i} v) - { \mathrm i} \cdot \varphi ( v) \right) }
}
{ =} {- { \frac{ { \mathrm i} }{ 2 } } { \left( \varphi (v) + { \mathrm i} \cdot \varphi ( { \mathrm i} v ) \right) }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { -{ \frac{ { \mathrm i} }{ 2 } } { \left( \varphi + { \mathrm i} \circ \varphi \circ { \mathrm i} \right) } (v)
}
{ =} { - { \mathrm i} \theta(v)
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Zum Nachweis der Eindeutigkeit sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi
}
{ = }{ \psi+\theta
}
{ = }{ \psi'+ \theta'
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi-\psi'
}
{ =} { \theta - \theta'
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sowohl ${\mathbb C}$-linear als auch ${\mathbb C}$-antilinear, also nach
Aufgabe 3.4
die Nullabbildung.
In der obigen Aussage nennt man $\psi$ den $\Complex$-\stichwort {linearen Anteil} {} von $\varphi$ und $\theta$ den $\Complex$-\stichwort {antilinearen Anteil} {} von $\varphi$.
Insbesondere ist eine reell-lineare Abbildung genau dann $\Complex$-linear, wenn ihr antilinearer Anteil gleich $0$ ist.
\inputbemerkung
{}
{
Reell-lineare Abbildung von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb C}
}
{ = }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf sich selbst werden bezüglich der reellen Basis
\mathkor {} {1} {und} {{ \mathrm i}} {}
durch eine $2 \times 2$-Matrix
\mathl{\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix}}{} beschrieben. Die Zerlegung im Sinne von
Lemma 3.2
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \begin{pmatrix} r+u & -t+s \\ t-s & r+u \end{pmatrix} + { \frac{ 1 }{ 2 } } \begin{pmatrix} r-u & t+s \\ t+s & -r+u \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Matrix ist genau dann komplex-linear, wenn sie die Form
\mathdisp {\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}} { }
besitzt, wenn also eine Multiplikation mit der komplexen Zahl
\mathl{a+b { \mathrm i}}{} vorliegt, und komplex-antilinear genau dann, wenn sie die Form
\mathdisp {\begin{pmatrix} a & b \\ b & -a \end{pmatrix}} { }
besitzt.
}
\zwischenueberschrift{Die totale Differenzierbarkeit}
Wir erinnern an die totale Differenzierbarkeit.
\inputdefinition
{}
{
Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
und
\maabb {\varphi} {G} {W
} {}
eine Abbildung. Dann heißt $\varphi$ \definitionswort {differenzierbar}{}
\zusatzklammer {oder \definitionswort {total differenzierbar}{}} {} {}
im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wenn es eine
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabb {L} {V} {W
} {}
mit der Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi( P+v)
}
{ =} { \varphi(P)+ L(v) + \Vert {v} \Vert r(v)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt, wobei
\maabb {r} { U { \left( 0,\delta \right) } } {W
} {}
eine in $0$
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r(0)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist und die Gleichung für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P+v
}
{ \in }{ U { \left( P,\delta \right) }
}
{ \subseteq }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
Diese lineare Abbildung $L$ heißt, falls sie existiert, das \definitionswort {(totale) Differential}{} von $\varphi$ an der Stelle $P$ und wird mit
\mathdisp {\left(D\varphi\right)_{P}} { }
bezeichnet.
}
Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ = }{ {\mathbb K}^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ = }{ {\mathbb K}^m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegt bei stetiger partieller Differenzierbarkeit nach
Satz 46.3 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
auch totale Differenzierbarkeit vor, und das totale Differential in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ G
}
{ = }{ {\mathbb K}^n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wird dann durch die
\definitionsverweis {Jacobimatrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} { \frac{ \partial f_1 }{ \partial x_1 } } (P) & \ldots & { \frac{ \partial f_{1} }{ \partial x_{n} } } (P) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\{ \frac{ \partial f_{m} }{ \partial x_1 } } (P) & \ldots & { \frac{ \partial f_{m} }{ \partial x_{n} } } (P) \end{pmatrix}} { }
beschrieben. Dies werden wir hauptsächlich für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ = }{ W
}
{ = }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
aufgefasst als zweidimensionalen reellen Vektorraum mit der Basis
\mathkor {} {1} {und} {{ \mathrm i}} {,}
anwenden.
\zwischenueberschrift{Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen}
Die komplexen Zahlen bilden einen zweidimensionalen reellen Vektorraum mit der reellen Basis
\mathkor {} {1} {und} {{ \mathrm i}} {.}
Entsprechend kann man eine auf einer
\zusatzklammer {zumeist offenen} {} {}
Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definerte Funktion
\maabb {f} { G } { {\mathbb C}
} {}
auch als eine Abbildung
\maabb {} {G} { \R^2
} {}
auffassen und die komplexe Differenzierbarkeit in der einen Variablen $z$ mit der reellen partiellen Differenzierbarkeit der beiden Komponentenfunktionen bezüglich der reellen Koordinaten
\mathkor {} {x} {und} {y} {}
in Beziehung setzen. Beispielsweise ist das komplexe Quadrieren in reellen Koordinaten die Abbildung
\maabbeledisp {} {\Complex = \R^2 } { \Complex = \R^2
} { z = x+ y { \mathrm i} } { z^2 = x^2-y^2 + 2xy{ \mathrm i}
} {,}
bzw., direkt in Spaltenschreibweise,
\maabbeledisp {} {\R^2} {\R^2
} { \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} } {\begin{pmatrix} x^2-y^2 \\ 2xy \end{pmatrix}
} {.}
Die Bedingungen in der folgenden Aussage heißen die \stichwort {Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen} {.}
\inputfaktbeweis
{Differenzierbarkeit/C nach C/Cauchy-Riemann Differentialgleichung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und
\maabb {f} {G} {{\mathbb C}
} {}
eine im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
reell
\definitionsverweis {total differenzierbare}{}{}
Abbildung. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ = }{ g + { \mathrm i} h
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit reellwertigen Funktionen
\maabb {g,h} {G } { \R
} {.}
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ = }{ x + { \mathrm i} y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $f$ genau dann in $P$
\definitionsverweis {komplex differenzierbar}{}{,}
wenn für die reellen
\definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{}
die Beziehungen
\mathdisp {{ \frac{ \partial g }{ \partial y } } (P) = - { \frac{ \partial h }{ \partial x } } (P) \text{ und } { \frac{ \partial h }{ \partial y } } (P) = { \frac{ \partial g }{ \partial x } } (P)} { }
gelten.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die reelle
\definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{}
von
\mathl{(x,y) \mapsto (g(x,y), h(x,y))}{} im Punkt $P$ ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} { \frac{ \partial g }{ \partial x } } (P) & { \frac{ \partial g }{ \partial y } } (P) \\ { \frac{ \partial h }{ \partial x } } (P) & { \frac{ \partial h }{ \partial y } } (P) \end{pmatrix}} { . }
Diese beschreibt eine reell-lineare Abbildung
\maabbdisp {} {\R^2} { \R^2
} {}
bezüglich der reellen Basis
\mathkor {} {1} {und} {{ \mathrm i}} {}
und die komplexe Differenzierbarkeit bedeutet, dass sie auch komplex-linear ist. Die Multiplikation mit einer komplexen Zahl
\mathl{a+b { \mathrm i}}{} wird reell durch die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}} { }
beschrieben, und die Bedingungen im Satz beschreiben genau diese Beziehungen.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die differenzierbare Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R^2
} { \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} } {\begin{pmatrix} x^2-y^2 \\ 2xy \end{pmatrix}
} {,}
die dem komplexen Quadrieren entspricht. Die
\definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{}
davon ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2x & -2y \\ 2y & 2x \end{pmatrix}} { . }
Diese erfüllt die Symmetriebedingungen der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen in jedem Punkt, die ja nach
Satz 3.5
für jede komplex-differenzierbare Abbildung gelten müssen.
}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die differenzierbare Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R^2
} { \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} } {\begin{pmatrix} x^2+y^2 \\ 2xy \end{pmatrix}
} {,}
die dem komplexen Quadrieren entspricht. Die
\definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{}
davon ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2x & 2y \\ 2y & 2x \end{pmatrix}} { . }
Diese erfüllt von den beien Symmetriebedingungen der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen nur die eine, dass in der Hauptdiagonalen die gleichen Werte stehen, während die Werte in der Gegendiagonalen nicht negativ zueinander sind. Nach
Satz 3.5
kann diese Abbildung also nicht von einer komplex-differenzierbaren Abbildung
\maabbdisp {} {\Complex} {\Complex
} {}
herrühren. Allerdings liegt für die Punkte mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
komplexe Differenzierbarkeit vor.
}
\inputfaktbeweis
{Gebiet/Komplex-differenzierbar/Betragskonstant/Konstant/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabb {f} {G} { {\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {komplex-differenzierbare Funktion}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {Gebiet}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Es sei die Betragsfunktion $\betrag { f(z) }$ konstant auf $G$.}
\faktfolgerung {Dann ist $f$ selbst konstant.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { f }
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so ist die Aussage klar. Sei die Konstante also $\neq 0$. Es ist dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f \cdot \overline{ f }
}
{ =} { \betrag { f }^2
}
{ =} { c
}
{ \neq} { 0
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist $\overline{ f }$ bis auf einen skalaren Faktor die Invertierung von $f$ und daher nach
Lemma 1.7
ebenfalls komplex-differenzierbar. Wir schreiben
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ = }{ g + { \mathrm i} h
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit reellwertigen differenzierbaren Funktionen
\maabb {g,h} {G } { \R
} {.}
Dabei ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ f }
}
{ = }{ g - { \mathrm i} h
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach
Satz 3.5
ist einerseits
\mathdisp {{ \frac{ \partial g }{ \partial y } } (P) = - { \frac{ \partial h }{ \partial x } } (P) \text{ und } { \frac{ \partial h }{ \partial y } } (P) = { \frac{ \partial g }{ \partial x } } (P)} { }
und andererseits
\mathdisp {{ \frac{ \partial g }{ \partial y } } (P) = { \frac{ \partial h }{ \partial x } } (P) \text{ und } - { \frac{ \partial h }{ \partial y } } (P) = { \frac{ \partial g }{ \partial x } } (P)} { }
für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial g }{ \partial y } }
}
{ =} { { \frac{ \partial h }{ \partial x } }
}
{ =} { - { \frac{ \partial h }{ \partial x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial h }{ \partial x } }
}
{ =} { { \frac{ \partial g }{ \partial y } }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{}
und aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial g }{ \partial x } }
}
{ =} { { \frac{ \partial h }{ \partial y } }
}
{ =} { - { \frac{ \partial h }{ \partial y } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial h }{ \partial y } }
}
{ =} { { \frac{ \partial g }{ \partial x } }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{.}
Dies bedeutet, dass
\mathkor {} {g} {und} {h} {}
konstant sind.