Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/25/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Punkte 3 3 1 5 4 4 2 1 3 1 5 2 8 3 3 0 4 4 3 59



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Vereinigung der Mengen und .
  2. Eine injektive Abbildung
  3. Die -te Potenz zu einer natürlichen Zahl .
  4. Ein kommutativer Ring .
  5. Die Folge der euklidischen Reste zu ganzen Zahlen mit .
  6. Ein gemischter Bruch.


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. /Fakt/Name
  2. /Fakt/Name
  3. /Fakt/Name


Aufgabe * (1 Punkt)

Negiere die Aussage „Martina findet alle Jungs im Kurs außer Markus zuckersüß“ durch eine Aussage, in der eine Existenzaussage und eine Oder-Verknüpfung vorkommen.


Aufgabe * (5 Punkte)

Auf Ruggetong heißt die Währung Riggating und es gibt nur zwei Münzen (mit vollen Riggatingbeträgen). Es kann jeder volle Geldbetrag damit bezahlt werden. Zeige, dass dann die minimale Darstellung eines jedes Geldbetrages eindeutig ist. Wie kann man sie berechnen?


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine endliche Menge mit Elementen und sei ein Element, das nicht zu gehöre. Zeige, dass dann die Vereinigung genau Elemente besitzt.


Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)

Bestimme, welche der folgenden Wertetabellen Abbildungen zwischen den angegebenen Mengen festlegen. Welche sind injektiv, welche surjektiv, welche bijektiv?

  1. , ,
  2. , ,
  3. , ,
  4. , ,


Aufgabe * (2 Punkte)

Jemand bemerkt zur Division mit Rest: „Wegen kann man aus dem Rest der Divison durch direkt den Rest der Divison durch ablesen“. Was ist davon zu halten?


Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von


Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Die Fußballmannschaft des TSV Wildberg verfügt über drei Torwarte, sieben Verteidigungsspieler, sechs Mittelfeldspieler und vier Angreifer. Im anstehenden Spiel gegen Effringen will sie (neben einem Torwart) mit vier Verteidigern, drei Mittelfeldspielern und drei Angreifern agieren.

  1. Wie viele Aufstellungsmöglichkeiten gibt es?
  2. Wie viele Aufstellungsmöglichkeiten gibt es, wenn man zusätzlich noch berücksichtigt, dass einer der eingesetzten Spieler der Kapitän sein soll?
  3. Wildberg geht in der Minute mit in Führung und entschließt sich, die Verteidigung zu stärken, indem zwei Angreifer durch zwei Verteidiger ersetzt werden. Wie viele Auswechlungsmöglichkeiten gibt es dafür?


Aufgabe * (1 Punkt)

Die Weihnachtsferien begannen am 22.12.2015 (erster Ferientag) und endeten am 6.1.2016 (letzter Ferientag). Wie lange dauerten die Ferien?


Aufgabe * (5 (1+1+2+1) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

die einer maximal zweistelligen Zahl (im Zehnersystem) diejenige Zahl zuordnet, die entsteht, wenn man Einer- und Zehnerziffern vertauscht (einstellige Zahlen sind dabei als zu verstehen).

  1. Ist die Abbildung bijektiv?
  2. Wie nennt man die Zahlen mit
  3. Ziehe von den beiden Zahlen und die kleinere (im Sinne von kleinergleich) von der größeren ab. Was sieht das Ergebnis im Zehnersystem aus? Was ist seine Quersumme?
  4. Es sei diejenige Zahl, die im Dreiersystem als gegeben ist. Wie lautet im Dreiersystem?


Aufgabe (2 Punkte)

Begründe, dass bei der Multiplikation einer Zahl (im Dezimalsystem) mit die Ziffer des Produktes nur von den drei Ziffern abhängt, aber im Allgemeinen nicht nur von den zwei Ziffern .


Aufgabe * (8 (1+2+3+2) Punkte)

Wir betrachten eine (einfachere, aber langsamere) Variante des euklidischen Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers zu zwei gegebenen natürlichen Zahlen .

Der Algorithmus geht folgendermaßen. Wenn ist, so ersetzte das Paar durch das Paar, das aus der kleineren Zahl und der Differenz zwischen der kleineren und der größeren Zahl besteht. Wiederhole dies rekursiv. Wenn ist, so ist man fertig und es wird das Ergebnis ausgegeben.

  1. Führe diesen Algorithmus für das Paar durch.
  2. Zeige, dass dieser Algorithmus nach endlich vielen Schritten aufhört.
  3. Zeige, dass dieser Algorithmus korrekt ist, also wirklich den größten gemeinsmen Teiler ausgibt.
  4. Man gebe für jedes ein Beispiel, wo der euklidische Algorithmus nach einem Schritt fertig ist, wo aber die Variante Schritte benötigt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei die Vorgängerabbildung auf den ganzen Zahlen. Beweise die Gleichheit

für durch Induktion über .


Aufgabe * (3 Punkte)

Die Zahlen

werden abwechselnd mit einem oder keinem Minuszeichen versehen, wobei kein Minuszeichen bekommt. Was ist die Summe dieser Zahlen?


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige

durch vollständige Induktion ().


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Lösungsintervalle für die Ungleichung

in einem angeordneten Körper. Skizziere die Graphen der Funktionen und .


Aufgabe (3 Punkte)

„Eine neue Abstraktionsstufe ist immer auch eine neue Reflexionsstufe“. Äußern Sie sich zu dieser Behauptung!