Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/25/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 1 5 4 0 3 3 2 0 0 3 2 0 0 4 0 0 4 0 37



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Vereinigung der Mengen und .
  2. Eine injektive Abbildung
  3. Die -te Potenz zu einer natürlichen Zahl .
  4. Ein kommutativer Ring .
  5. Die Folge der euklidischen Reste zu ganzen Zahlen mit .
  6. Ein gemischter Bruch.


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. /Fakt/Name
  2. /Fakt/Name
  3. /Fakt/Name


Aufgabe * (1 Punkt)

Negiere die Aussage „Martina findet alle Jungs im Kurs außer Markus zuckersüß“ durch eine Aussage, in der eine Existenzaussage und eine Oder-Verknüpfung vorkommen.


Aufgabe * (5 Punkte)

Auf Ruggetong heißt die Währung Riggating und es gibt nur zwei Münzen (mit vollen Riggatingbeträgen). Es kann jeder volle Geldbetrag damit bezahlt werden. Zeige, dass dann die minimale Darstellung eines jedes Geldbetrages eindeutig ist. Wie kann man sie berechnen?


Aufgabe * weiter

Wir betrachten die durch die Tabelle

Erreichte Punktzahl Note
0-15,5 nicht bestanden
16-17 4
17,5-19 3,7
19,5-21 3,3
21,5-22,5 3
23-24,5 2,7
25-26 2,3
26,5-28 2
28,5-30 1,7
30,5-31,5 1,3
32-64 1

gegebene Abbildung zwischen der Menge der möglichen Punkte (von bis in Halbpunkteschritten) in die Menge der möglichen Noten (von bis in Drittelschritten und „nicht bestanden“).

  1. Bestimme die Anzahl von .
  2. Bestimme die Anzahl von .
  3. Ist die Abbildung

    surjektiv?

  4. Ist die Abbildung

    injektiv?

  5. Es sei nun die Menge der Leute, die in einer Klausur teilnehmen und

    sei die Abbildung, die jeder Person ihre erzielte Punkteanzahl zuordnet. Was bedeutet die Hintereinanderschaltung ?

  6. Es sei nun spezieller

    die Menge der Personen, die die Klausur schrieben. Ihre erzielten Punkte werden durch die folgende Tabelle beschrieben.

    Ist die Abbildung injektiv?

  7. In der soeben beschriebenen Situation, ist die Abbildung surjektiv?
  8. In der soeben beschriebenen Situation, ist die Abbildung injektiv?


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei die Vorgängerabbildung auf den ganzen Zahlen. Beweise die Gleichheit

für durch Induktion über .


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei die Potenzmenge zu einer Menge . Zeige, dass mit der Vereinigung als Addition und der leeren Menge als und mit dem Durchschnitt als Multiplikation und der Gesamtmenge als ein kommutativer Halbring ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (3 Punkte)

Wenn man die Gesamtgoldmenge der Welt auf alle Menschen aufteilt, so erhält jeder Mensch einen Goldwürfel, dessen Seitenlänge Zentimeter beträgt. Gold wiegt Gramm pro Kubikzentimeter. Der Wert von einem Kilogramm Gold beträgt ca. Euro im Jahr . Wie viel Euro besitzt jeder Mensch in Gold?


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ein Körper und ein Element mit . Beweise für durch Induktion die Beziehung


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Lösungsintervalle für die Ungleichung

in einem angeordneten Körper. Skizziere die Graphen der Funktionen und .


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (4 Punkte)

Jede natürliche Zahl besitzt einerseits eine eindeutige Darstellung im Zehnersystem und andererseits eine eindeutige kanonische Primfaktorzerlegung. Beschreibe Vor- und Nachteile der beiden Darstellungen.


Aufgabe (0 Punkte)