Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/26/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	$\sum$
Punkte	3	3	1	2	2	2	2	0	4	6	2	3	3	5	5	2	0	2	0	2	3	52

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Vereinigung der Mengen $L$ und $M$.
2. Eine Relation auf einer Menge $M$.
3. Die Menge der ganzen Zahlen.
4. Ein gemeinsames Vielfaches zu natürlichen Zahlen $a_1,\dots ,a_k$.
5. Die Addition von rationalen Zahlen $x=\frac{a}{b}$ und $y=\frac{c}{d}$.
6. Eine wachsende Abbildung $f:K\to K$ auf einem angeordneten Körper $K$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die erste binomische Formel für einen kommutativen Halbring.
2. Der Satz über die Division mit Rest für die ganzen Zahlen.
3. Der Satz über die Konvergenz einer Dezimalbruchfolge.

Aufgabe * (1 Punkt)

In verschiedenen mathematischen Kontexten bedeutet das Symbol $\mathrm{\infty }$ „unendlich“. Ist die Menge $\{\mathrm{\infty }\}$ endlich oder unendlich?

Aufgabe * (2 Punkte)

Welche Zahl ist größer, $\sum _{i=1}^5{i}^2$ oder $\sum _{i=1}^5{2}^i$?

Aufgabe * (2 Punkte)

Finde drei Quadratzahlen

$u^2<v^2<w^2$

derart, dass der Abstand von $u^2$ zu $v^2$ gleich dem Abstand von $v^2$ zu $w^2$ ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Ersetze im Term $y^3-2y+4$ die Variable $y$ durch den Term $x^2-5$ und vereinfache den entstehenden Ausdruck.

Aufgabe (2 Punkte)

In der folgenden Argumentation wird durch Induktion bewiesen, dass alle Pferde die gleiche Farbe haben. „Es sei $A(n)$ die Aussage, dass je $n$ Pferde stets untereinander die gleiche Farbe haben. Induktionsanfang: Wenn nur ein Pferd da ist, so hat dieses eine bestimmte Farbe und die Aussage ist richtig. Für den Induktionsschritt sei vorausgesetzt, dass je $n$ Pferde stets untereinander die gleiche Farbe haben. Es seien jetzt $n+1$ Pferde gegeben. Wenn man eines herausnimmt, so weiß man nach der Induktionsvoraussetzung, dass die verbleibenden $n$ Pferde untereinander die gleiche Farbe haben. Nimmt man ein anderes Pferd heraus, so haben die jetzt verbleibenden Pferde wiederum untereinander die gleiche Farbe. Also haben all diese $n+1$ Pferde überhaupt die gleiche Farbe“. Analysiere diese Argumentation.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Eindeutigkeit der Multiplikation auf $\mathbb{N}$.

Aufgabe * (6 (1+1+1+1+2) Punkte)

Wir definieren die Folge (der sogenannten Bernoulli-Zahlen) $B_n$, $n\in \mathbb{N}$, durch  $B_0=1$  und für  $n\ge 1$  durch die rekursive Bedingung

$\sum _{j=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{j})B_j=0.$

1. Berechne $B_1$.
2. Berechne $B_2$.
3. Berechne $B_3$.
4. Berechne $B_4$.
5. Zeige, dass alle $B_n$ rationale Zahlen sind.

Aufgabe * (2 Punkte)

Heute ist Freitag. Welcher Wochentag ist in $1000$ Tagen?

Aufgabe * (3 (2+1) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}⟶\mathbb{Z}\times \mathbb{Z},(a,b)⟼(a+b,a-b).$

1. Ist diese Abbildung injektiv?
2. Ist diese Abbildung surjektiv?

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Differenz und endliche Mengen.

Aufgabe * (5 (0.5+0.5+1+1+2) Punkte)

Wir betrachten auf $\mathbb{Z}$ die Verknüpfung

$\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}⟶\mathbb{Z},(a,b)⟼a\ast b:=10a+b.$

1. Was bedeutet die Verknüpfung für einstellige Ziffern?
2. Ist die Verknüpfung kommutativ?
3. Ist die Verknüpfung assoziativ?
4. Gelten die Distributivgesetze

   $(a+b)\ast c=a\ast c+b\ast c$

   und

   $c\ast (a+b)=c\ast a+c\ast b?$

5. Es bezeichne nun zu $n\in {\mathbb{N}}_{+}$ das Symbol $1^{[n]}$ diejenige Zahl im Dezimalsystem, die aus $n$ Einsen besteht. Zeige

   $1^{[n]}\ast 1=1^{[n+1]}.$

Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass die Untergruppen von $\mathbb{Z}$ genau die Teilmengen der Form

$\mathbb{Z}d=\{kd\mid k\in \mathbb{Z}\}$

mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen Zahl $d$ sind.

Aufgabe * (2 Punkte)

Wenn man alles Gold der Welt zusammennimmt, so erhält man einen Würfel, dessen Seitenlänge $21,7$ Meter beträgt. Wenn man alles Gold von Deutschland zusammennimmt, so erhält man einen Würfel, dessen Seitenlänge $8,6$ Meter beträgt. Wie viel Prozent des weltweiten Goldes besitzt Deutschland?

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (2 Punkte)

Prof. Knopfloch und Dr. Eisenbeis basteln einen Adventskalender mit $24$ Türen für ihren Neffen Willem, der sich für Hunde und für Primzahlen interessiert. Dr. Eisenbeis legt in die Fächer zu den geradzahligen Tagen jeweils ein lustiges Hundebild. Prof. Knopfloch legt in die Fächer zu den ungeradzahligen Tagen jeweils eine bunt gemalte Primzahl, und zwar in aufsteigender natürlicher Reihenfolge.

1. Welche Primzahl befindet sich hinter dem $23$. Türchen?
2. Hinter welchem Türchen befindet sich die $23$?
3. Für welche Türchen stimmt die Nummer der Tür mit dem Inhalt überein?
4. Ist die Summe aller verwendeten Primzahlen gerade oder ungerade?

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (2 Punkte)

In Winnetou II lesen wir: „Deshalb werden wir nicht alle fünf zugleich schlafen, sondern einer muss wachen, und die Wache wird von Stunde zu Stunde abgelöst. [...] Das gibt fünf Stunden Schlaf für jeden.“

Was fällt auf? Wie lange muss der Schlafzeitraum der fünf Leute sein, wenn stets einer davon wacht und jeder auf fünf Stunden Schlafenszeit kommt? Wie lange muss dann jeder Wache schieben?

Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe eine typische Fehlvorstellung, die man zu der Dezimalentwicklung von natürlichen (oder rationalen) Zahlen haben kann. Wie kann man diese erkennen und gegebenenfalls ausräumen?