Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/28/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	1	1	6	0	4	0	3	1	3	6	2	5	3	3	4	4	4	2	58

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Differenzmenge ${}A\setminus B$ zu zwei Mengen ${}A,B$.
2. Eine surjektive Abbildung

   $f\colon L\longrightarrow M.$

3. Eine Verknüpfung ${}\circ$ auf einer Menge ${}M$.
4. Die Differenz ${}a-b$ von natürlichen Zahlen ${}a,b$ mit ${}b\leq a$.
5. Ein kommutativer Ring ${}R$.
6. Ein archimedisch angeordneter Körper ${}K$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Beziehung zwischen der Ordnungsrelation und der Addition auf ${}\mathbb {N}$.
2. Die Division mit Rest für natürliche Zahlen.
3. Der Satz über die Lösbarkeit von Gleichungen in einer Gruppe ${}G$.

Aufgabe * (1 Punkt)

In Winnetou I weist Winnetou Sam Hawkens, nachdem dieser in der Nacht auf einen vermeintlichen Belauscher geschossen hat, mit den folgenden Worten zurecht: „Der Schuss war für uns gefährlich ... Entweder hat Sam sich geirrt und keine Augen gesehen. Dann war der Knall überflüssig und kann nur Feinde herbeilocken, die sich vielleicht in der Nähe befinden. Oder es ist wirklich ein Mensch dagewesen, dessen Augen Sam bemerkt hat. Auch da war es falsch, auf ihn zu schießen, weil vorauszusehen war, dass die Kugel nicht treffen würde.“ Welches Argumentationsmuster verwendet Winnetou?

Aufgabe * (1 Punkt)

Es sei ${}M$ eine Menge. Wir betrachten die Verknüpfung

${\mathfrak {P}}\,(M)\times {\mathfrak {P}}\,(M)\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(M),\,(A,B)\longmapsto A\setminus B.$

Ist diese Verknüpfung assoziativ?

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz über die Wohldefiniertheit der Anzahl einer endlichen Menge.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)

Bestimme, welche der folgenden Wertetabellen Abbildungen ${}\varphi \colon L\rightarrow M$ zwischen den angegebenen Mengen festlegen. Welche sind injektiv, welche surjektiv, welche bijektiv?

1. ${}L=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$, ${}M=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}$,

   ${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$	${}8$
   ${}\varphi (x)$	${}b$	${}e$	${}f$	${}h$	${}e$	${}g$	${}c$	${}d$

2. ${}L=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$, ${}M=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}$,

   ${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$	${}8$
   ${}\varphi (x)$	${}c$	${}e$	${}\,$	${}d$	${}e$	${}a$	${}b$	${}a$

3. ${}L=\{1,2,3,4,5,6,7\}$, ${}M=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}$,

   ${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$
   ${}\varphi (x)$	${}c$	${}f$	${}d$	${}e$	${}h$	${}b$	${}a$

4. ${}L=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$, ${}M=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}$,

   ${}x$	${}3$	${}7$	${}1$	${}4$	${}6$	${}8$	${}5$	${}2$
   ${}\varphi (x)$	${}c$	${}d$	${}f$	${}a$	${}e$	${}h$	${}b$	${}g$

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Professor Knopfloch war schwimmen. Beim Auswringen seiner Badehose hat er sich ungeschickt angestellt und sich dabei drei Finger verstaucht (er besitzt noch alle zehn Finger).

1. Wie viele Möglichkeiten für die verstauchten Finger gibt es?
2. Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn man weiß, dass genau ein Daumen verstaucht wurde.
3. Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn man weiß, dass genau ein Daumen verstaucht wurde und beide Hände betroffen sind.

Aufgabe * (1 Punkt)

Was ist die direkteste mathematische Beziehung zwischen ${}a-b$ und ${}b-a$?

Aufgabe * (3 Punkte)

Ein Schokoriegel der Marke „Höcker und Kerbe“ besteht aus einer einzigen Reihe von ${}n$ hintereinanderliegenden höckerförmigen Schokostücken, die jeweils durch eine Einkerbung (der Sollbruchstelle) miteinander verbunden sind. Zeige mit und ohne Induktion, dass man, egal bei welcher Teilungsstrategie, genau ${}n-1$ Teilungsschritte braucht, um den Schokoriegel vollständig in seine Stücke aufzuteilen.

Aufgabe * (6 Punkte)

Zeige durch Induktion, dass es zu natürlichen Zahlen ${}n,d$ mit ${}d>0$ eindeutig bestimmte natürliche Zahlen ${}q,r$ mit ${}r<d$ und mit

${}n=dq+r\,$

gibt.

Aufgabe (2 Punkte)

Welche der folgenden Ausdrücke sind korrekte Darstellungen von natürlichen Zahlen im Dezimalsystem?

a) ${}\,\,\,4322,5$

b) ${}\,\,\,50z98$

c) ${}\,\,\,5714$

d) ${}\,\,\,0,9999...\,\,\,$ (also unendlich oft die Ziffer 9 hintereinander nach rechts)

e) ${}\,\,\,...3333465\,\,\,$ (also unendlich oft die Ziffer 3 hintereinander nach links)

f) ${}\,\,\,1$

g) ${}\,\,\,{\text{elf}}$

h) ${}\,\,\,{\begin{matrix}5&8\\0&7\end{matrix}}$

Aufgabe * (5 (1+1+2+1) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \{0,1,\ldots ,99\}\longrightarrow \{0,1,\ldots ,99\},$

die einer maximal zweistelligen Zahl (im Zehnersystem) diejenige Zahl zuordnet, die entsteht, wenn man Einer- und Zehnerziffern vertauscht (einstellige Zahlen ${}z$ sind dabei als ${}0z$ zu verstehen).

1. Ist die Abbildung bijektiv?
2. Wie nennt man die Zahlen mit

   ${}\varphi (x)=x\,?$

3. Ziehe von den beiden Zahlen ${}x$ und ${}\varphi (x)$ die kleinere (im Sinne von kleinergleich) von der größeren ab. Was sieht das Ergebnis im Zehnersystem aus? Was ist seine Quersumme?
4. Es sei ${}y$ diejenige Zahl, die im Dreiersystem als ${}2021$ gegeben ist. Wie lautet ${}\varphi (y)$ im Dreiersystem?

Aufgabe * (3 Punkte)

Die Zahlen

$n,n-1,n-2,\ldots ,3,2,1$

werden abwechselnd mit einem oder keinem Minuszeichen versehen, wobei ${}n$ kein Minuszeichen bekommt. Was ist die Summe dieser Zahlen?

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von ${}999999$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien ${}\mu _{1},\mu _{2},\mu _{3}\in K$ Elemente in einem Körper ${}K$. Zeige, dass

${}w=\mu _{1}\mu _{2}+\mu _{1}\mu _{3}+\mu _{2}\mu _{3}\,$

und

${}z=-(\mu _{1}+\mu _{2}+\mu _{3})w+\mu _{1}\mu _{2}\mu _{3}\,$

die Gleichung ${}z^{2}=(w+\mu _{1}^{2})(w+\mu _{2}^{2})(w+\mu _{3}^{2})$ erfüllen.

Aufgabe * (4 Punkte)

Heinz Ngolo bekommt zu seinem neunten Geburtstag einen Hund, der neunzig Tage alt ist. Wann (wie viele Tage nach dem Geburtstag) sind Heinz und der Hund biologisch gleich alt, wenn man ein Hundejahr als sieben Menschenjahre ansetzt? Wie alt ist dann Heinz?

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die Größergleichrelation ${}\geq$ auf ${}\mathbb {Q}$ mit der Addition und mit der Multiplikation verträglich ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}x$ eine rationale Zahl, ${}x\neq 1$. Beweise für ${}n\in \mathbb {N}$ durch Induktion die Beziehung

${}\sum _{k=0}^{n}x^{k}={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}\,.$