Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/T4/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Punkte 3 3 6 2 1 5 3 3 4 1 2 2 2 3 2 2 3 2 3 6 3 3 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Multiplikation von natürlichen Zahlen .
  2. Eine lineare (oder totale) Ordnung auf einer Menge .
  3. Die Differenz von natürlichen Zahlen mit .
  4. Eine Primzahl.
  5. Der Binomialkoeffizient .
  6. Die Multiplikation von ganzen Zahlen.


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz von Euklid über Primzahlen.
  2. Die rekursive Beziehung zwischen den Binomialkoeffizienten (Pascalsches Dreieck).
  3. Die Division mit Rest für natürliche Zahlen.


Aufgabe * (6 Punkte)

Sei eine Menge, die als disjunkte Vereinigung

gegeben ist. Definiere eine Bijektion zwischen der Potenzmenge und der Produktmenge .


Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien natürliche Zahlen mit . Zeige

Gilt

in ?


Aufgabe * (1 Punkt)

Es seien Elemente in einem kommutativen Halbring . Berechne


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei eine fixierte natürliche Zahl und

Wir betrachten die beiden Verknüpfungen (Maximum und Minimum)

und

Zeige, dass mit diesen beiden Verknüpfungen (mit welchen neutralen Elementen?) ein kommutativer Halbring ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Wir betrachten die Gesamtmenge aller Finger und aller Zehen eines Menschen. Man gebe für jede Faktorzerlegung

eine möglichst natürliche Zerlegung dieser Körperteile in Teilmengen mit je Elemente an.


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige durch Induktion, dass jede natürliche Zahl eine Zerlegung in Primzahlen besitzt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine -elementige Menge und sei

Zeige, dass

ist.


Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme den Rest von bei Division durch .


Aufgabe (2 Punkte)

Siehe Extrablatt.


Aufgabe * (2 Punkte)

Betrachte im er System mit den Ziffern die Zahl

Wie sieht diese Zahl im Zehnersystem aus?


Aufgabe * (3 Punkte)

Beschreibe einen Algorithmus, der zu einer beliebigen im Dezimalsystem gegebenen Zahl ihren Vorgänger im Dezimalsystem bestimmt.


Aufgabe * (2 Punkte)

Führe die Multiplikation mit dem Jalousie-Verfahren durch.


Aufgabe * (2 (0.5+0.5+0.5+0.5) Punkte)

Bestimme, von welcher Art (im Sinne der Vorlesung) die folgenden Gleichungen sind.


Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

  1. Finde eine quadratische Gleichung der Form

    mit , für die die einzige Lösung ist.

  2. Finde unendlich viele verschiedene quadratische Gleichungen der Form

    mit , für die eine Lösung ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Sie stehen an einem Klippenrand. Jemand sagt: „Innerhalb der ganzen Zahlen ist der Vorgänger des Nachfolgers und der Nachfolger des Vorgängers das Element selbst. Es ist also beispielsweise egal, ob ich zuerst einen Schritt nach vorne und dann nach hinten mache oder umgekehrt. Machen Sie also ruhig einen Schritt nach vorne.“ Klären Sie diese paradoxe Situation.


Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

Lucy Sonnenschein unternimmt eine Zeitreise. Sie reist zuerst Stunden nach vorne, dann (immer vom jeweiligen erreichten Zeitpunkt aus) Stunden nach vorne, dann Stunden zurück, dann Stunden zurück, dann Stunden nach vorne und dann Stunden zurück.

  1. Wo befindet sie sich am Ende dieser Zeitreise, wenn die Reise selbst keine Zeit verbraucht?
  2. Wo befindet sie sich am Ende dieser Zeitreise, wenn eine Zeitreise um eine Stunde, egal ob in die Zukunft oder in die Vergangenheit, immer eine Minute verbraucht?


Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise das Lemma von Bezout für teilerfremde natürliche Zahlen und durch Induktion über das Maximum von und .


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und und schreibe die beiden Zahlen als Vielfache des größten gemeinsamen Teilers.


Aufgabe (3 Punkte)

Diskutiere Unterschiede und Gemeinsamkeiten zwischen der Abziehregel und der Kürzungsregel auf .