Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/1/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 3 1 3 3 3 3 4 3 10 2 3 3 4 4 2 7 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Erzeugendensystem des .
  2. Elementare Zeilenumformungen an einer -Matrix über einem Körper .
  3. Die Transitivität einer Relation auf einer Menge .
  4. Das Cauchy-Folgen-Modell für die reellen Zahlen.
  5. Die reelle Exponentialfunktion zur Basis .
  6. Die Binomialverteilung zu und .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Charakterisierungssatz für Erzeugendensysteme im .
  2. Das Quetschkriterium für Folgen in einem angeordneten Körper .
  3. Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Mitternachtsformel).


Aufgabe * (3 Punkte)

Gibt es eine Lösung für das lineare Gleichungssystem


Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Lösungsmenge des Ungleichungssystems

und

über .


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei eine Menge mit Elementen. Bestimme die Anzahl der Relationen auf , die

  1. reflexiv
  2. symmetrisch
  3. reflexiv und symmetrisch

sind.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein Körper. Wir betrachten die Abbildung

Welche Eigenschaften eines Ringhomomorphismus erfüllt die Abbildung , welche nicht?


Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien und endliche Mengen mit bzw. Elementen und sei

eine injektive Abbildung. Wie viele Abbildungen

mit

gibt es?


Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne von Hand die Approximationen im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von zum Startwert .


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und es seien und konvergente Folgen in . Zeige, dass die Produktfolge ebenfalls konvergent mit

ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch

gegeben ist.


Aufgabe * (10 Punkte)

Beweise den Isomorphiesatz für reelle Zahlen.


Aufgabe (2 Punkte)

Inwiefern sind reelle Zahlen unnötig?


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Anzahl der Tripel mit


Aufgabe * (3 Punkte)

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Aufgabe * (4 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Bestimme, ausgehend vom Intervall , mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge , in dem eine Nullstelle von liegen muss.


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Additionstheoreme für den Sinus und den Kosinus unter Verwendung von Drehmatrizen.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit dem Kreis , der den Mittelpunkt und den Radius besitzt.


Aufgabe * (7 Punkte)

Lucy Sonnenschein befindet sich im Punkt . Sie führt hintereinander und unabhängig voneinander vier Sprünge aus, die jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit nach links, nach rechts, nach vorne oder nach hinten gehen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie zum Schluss von ihrem Ausgangspunkt einen Abstand von zumindest besitzt?