Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/1/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Punkte | 3 | 3 | 3 | 1 | 3 | 3 | 3 | 3 | 4 | 3 | 10 | 2 | 3 | 3 | 4 | 4 | 2 | 7 | 64 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Charakterisierungssatz für Erzeugendensysteme im .
- Das Quetschkriterium für Folgen in einem angeordneten Körper .
- Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Mitternachtsformel).
Aufgabe * (3 Punkte)
Gibt es eine Lösung für das lineare Gleichungssystem
Aufgabe * (1 Punkt)
Bestimme die Lösungsmenge des Ungleichungssystems
und
über .
Aufgabe * (3 Punkte)
Es sei eine Menge mit Elementen. Bestimme die Anzahl der Relationen auf , die
- reflexiv
- symmetrisch
- reflexiv und symmetrisch
sind.
Aufgabe * (3 Punkte)
Es sei ein Körper. Wir betrachten die Abbildung
Welche Eigenschaften eines Ringhomomorphismus erfüllt die Abbildung , welche nicht?
Aufgabe * (3 Punkte)
Es seien und endliche Mengen mit bzw. Elementen und sei
eine injektive Abbildung. Wie viele Abbildungen
mit
gibt es?
Aufgabe * (3 Punkte)
Berechne von Hand die Approximationen im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von zum Startwert .
Aufgabe * (4 Punkte)
Es sei ein angeordneter Körper und es seien und konvergente Folgen in . Zeige, dass die Produktfolge ebenfalls konvergent mit
ist.
Aufgabe * (3 Punkte)
Aufgabe * (10 Punkte)
Beweise den Isomorphiesatz für reelle Zahlen.
Aufgabe (2 Punkte)
Inwiefern sind reelle Zahlen unnötig?
Aufgabe * (3 Punkte)
Bestimme die Anzahl der Tripel mit
Aufgabe * (3 Punkte)
Führe in die Division mit Rest „ durch “ für die beiden Polynome und durch.
Aufgabe * (4 Punkte)
Wir betrachten die Funktion
Bestimme, ausgehend vom Intervall , mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge , in dem eine Nullstelle von liegen muss.
Aufgabe * (4 Punkte)
Beweise die Additionstheoreme für den Sinus und den Kosinus unter Verwendung von Drehmatrizen.
Aufgabe * (2 Punkte)
Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit dem Kreis , der den Mittelpunkt und den Radius besitzt.
Aufgabe * (7 Punkte)
Lucy Sonnenschein befindet sich im Punkt . Sie führt hintereinander und unabhängig voneinander vier Sprünge aus, die jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit nach links, nach rechts, nach vorne oder nach hinten gehen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie zum Schluss von ihrem Ausgangspunkt einen Abstand von zumindest besitzt?