Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/15/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | |
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Punkte | 3 | 3 | 1 | 3 | 1 | 3 | 5 | 2 | 4 | 3 | 3 | 3 | 6 | 8 | 2 | 3 | 1 | 4 | 2 | 4 | 64 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Ein Untervektorraum .
- Ein Gruppenhomomorphismus zwischen Gruppen und .
- Die Konvergenz einer Folge in einem angeordneten Körper gegen .
- Die Teilerbeziehung zwischen den Polynomen und aus .
- Die Sinusreihe zu .
- Die
Unabhängigkeit
von Ereignissen
in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum .
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die algebraische Struktur der Quotientenmenge zu einer Untergruppe in einer kommutativen Gruppe .
- Der Satz über Dezimalbruchfolgen und Cauchy-Folgen.
- Der Satz über die Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus.
Aufgabe * (1 Punkt)
Bei einem linearen Gleichungssystem führe das Eliminationsverfahren auf die Gleichung
Welche Folgerung kann man daraus schließen?
Aufgabe * (3 Punkte)
Bestimme die inverse Matrix zu
Aufgabe * (1 Punkt)
Bestimme die Lösungsmenge des Ungleichungssystems
und
über .
Aufgabe * (3 Punkte)
Es seien und endliche Mengen mit bzw. Elementen und sei
eine Abbildung. Wie viele Abbildungen
mit
gibt es?
Aufgabe * (5 Punkte)
Beweise den Satz über die algebraische Struktur der Restklassenringe zu einem Ideal in einem kommutativen Ring .
Aufgabe * (2 Punkte)
Begründe geometrisch, dass die Wurzeln , , als Länge von „natürlichen“ Strecken vorkommen.
Aufgabe * (4 Punkte)
Es sei ein angeordneter Körper und es sei eine konvergente Folge in mit für alle und . Zeige, dass ebenfalls konvergent mit
ist.
Aufgabe * (3 Punkte)
Aufgabe * (3 Punkte)
Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass eine Cauchy-Folge in beschränkt ist.
Aufgabe * (6 Punkte)
Es sei ein Körper und es seien verschiedene Elemente und Elemente gegeben. Zeige, dass es ein eindeutiges Polynom vom Grad derart gibt, dass für alle ist.
Aufgabe * (8 (3+2+3) Punkte)
Wir betrachten auf der Menge aller stetigen Funktionen von nach die folgende Relation: Es ist , falls es eine nullstellenfreie stetige Funktion mit
gibt.
- Zeige, dass eine Äquivalenzrelation ist.
- Zeige, dass aus folgt, dass die Nullstellenmenge von und von übereinstimmen.
- Zeige, dass die beiden Funktionen
und
nicht zueinander äquivalent sind.
Aufgabe * (2 Punkte)
Zeige, dass der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen von nach nicht gelten muss.
Aufgabe * (3 Punkte)
Vergleiche die beiden Zahlen
Aufgabe * (1 Punkt)
Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im mit Mittelpunkt , der durch den Punkt läuft.
Aufgabe * (4 Punkte)
Aufgabe * (2 Punkte)
Ein Hellseher behauptet, dass er nicht nur die sechs Richtigen im Lotto voraussagen kann, sondern auch die Reihenfolge, in der sie gezogen werden. Wie hoch ist dafür die Wahrscheinlichkeit?
Aufgabe * (4 Punkte)
Es werden unabhängig voneinander zwei Zahlen aus gezogen (mit Zurücklegen). Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass eine Quadratzahl ist.