Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/15/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 1 3 1 3 5 2 4 3 3 3 6 8 2 3 1 4 2 4 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Untervektorraum .
  2. Ein Gruppenhomomorphismus zwischen Gruppen und .
  3. Die Konvergenz einer Folge in einem angeordneten Körper gegen .
  4. Die Teilerbeziehung zwischen den Polynomen und aus .
  5. Die Sinusreihe zu .
  6. Die Unabhängigkeit von Ereignissen

    in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die algebraische Struktur der Quotientenmenge zu einer Untergruppe in einer kommutativen Gruppe .
  2. Der Satz über Dezimalbruchfolgen und Cauchy-Folgen.
  3. Der Satz über die Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus.


Aufgabe * (1 Punkt)

Bei einem linearen Gleichungssystem führe das Eliminationsverfahren auf die Gleichung

Welche Folgerung kann man daraus schließen?


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu


Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Lösungsmenge des Ungleichungssystems

und

über .


Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien und endliche Mengen mit bzw. Elementen und sei

eine Abbildung. Wie viele Abbildungen

mit

gibt es?


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Satz über die algebraische Struktur der Restklassenringe zu einem Ideal in einem kommutativen Ring .


Aufgabe * (2 Punkte)

Begründe geometrisch, dass die Wurzeln , , als Länge von „natürlichen“ Strecken vorkommen.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und es sei eine konvergente Folge in mit für alle und . Zeige, dass ebenfalls konvergent mit

ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch

gegeben ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass eine Cauchy-Folge in beschränkt ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein Intervall in einem angeordneten Körper und es seien . Zeige


Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ein Körper und es seien verschiedene Elemente und Elemente gegeben. Zeige, dass es ein eindeutiges Polynom vom Grad gibt derart, dass für alle ist.


Aufgabe * (8 (3+2+3) Punkte)

Wir betrachten auf der Menge aller stetigen Funktionen von nach die folgende Relation: Es ist , falls es eine nullstellenfreie stetige Funktion mit

gibt.

  1. Zeige, dass eine Äquivalenzrelation ist.
  2. Zeige, dass aus folgt, dass die Nullstellenmenge von und von übereinstimmen.
  3. Zeige, dass die beiden Funktionen

    und

    nicht zueinander äquivalent sind.


Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen von nach nicht gelten muss.


Aufgabe * (3 Punkte)

Vergleiche die beiden Zahlen


Aufgabe * (1 Punkt)

Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im mit Mittelpunkt , der durch den Punkt läuft.


Aufgabe * (4 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe * (2 Punkte)

Ein Hellseher behauptet, dass er nicht nur die sechs Richtigen im Lotto voraussagen kann, sondern auch die Reihenfolge, in der sie gezogen werden. Wie hoch ist dafür die Wahrscheinlichkeit?


Aufgabe * (4 Punkte)

Es werden unabhängig voneinander zwei Zahlen aus gezogen (mit Zurücklegen). Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass eine Quadratzahl ist.