Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/8/Klausur mit Lösungen/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 4 }

\renewcommand{\avier}{ 1 }

\renewcommand{\afuenf}{ 14 }

\renewcommand{\asechs}{ 4 }

\renewcommand{\asieben}{ 3 }

\renewcommand{\aacht}{ 5 }

\renewcommand{\aneun}{ 4 }

\renewcommand{\azehn}{ 2 }

\renewcommand{\aelf}{ 3 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 1 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 7 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 64 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellesechzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {inhomogenes lineares Gleichungssystem} {} mit $m$ Gleichungen in $n$ Variablen über einem Körper $K$.

}{Eine \stichwort {invertierbare} {} $n \times n$-Matrix $M$ über einem Körper $K$.

}{Die \stichwort {Symmetrie} {} einer \definitionsverweis {Relation}{}{} $R$ auf einer Menge $M$.

}{Eine $k$-te \stichwort {Wurzel} {} zu
\mathl{r \in R}{} in einem \definitionsverweis {kommutativen Halbring}{}{} $R$.

}{Die \stichwort {Stetigkeit} {} einer Funktion \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} in einem Punkt
\mathl{x \in \R}{.}

}{Die \stichwort {vollständige Unabhängigkeit} {} von Ereignissen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E_1 , \ldots , E_k }
{ \subseteq} { M }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in einem \definitionsverweis {endlichen Wahrscheinlichkeitsraum}{}{}
\mathl{(M, \mu)}{.} }

}
{

\aufzaehlungsechs{Das System
\mathdisp {\begin{matrix} a _{ 1 1 } x _1 + a _{ 1 2 } x _2 + \cdots + a _{ 1 n } x _{ n } & = & c_1 \\ a _{ 2 1 } x _1 + a _{ 2 2 } x _2 + \cdots + a _{ 2 n } x _{ n } & = & c_2 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a _{ m 1 } x _1 + a _{ m 2 } x _2 + \cdots + a _{ m n } x _{ n } & = & c_m \end{matrix}} { }
heißt ein inhomogenes lineares Gleichungssystem, wobei die
\mathl{a_{ij}}{} und die $c_i$ aus $K$ sind. }{Die Matrix $M$ heißt invertierbar, wenn es eine Matrix
\mathl{A \in \operatorname{Mat}_{ n } (K)}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A \circ M }
{ =} {E_{ n } }
{ =} {M \circ A }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt. }{Die Relation $R$ heißt symmetrisch, wenn aus
\mathl{xRy}{} stets
\mathl{yRx}{} folgt. }{Man nennt ein Element
\mathl{x \in R}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^k }
{ =} {r }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine $k$-te Wurzel von $r$. }{Man sagt, dass $f$ stetig im Punkt $x$ ist,wenn es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\delta }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart gibt, dass für alle $x'$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x-x' } }
{ \leq }{ \delta }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Abschätzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x)- f(x') } }
{ \leq }{ \epsilon }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt. }{Die vollständige Unabhängigkeit der Ereignisse
\mathl{E_1 , \ldots , E_k}{} bedeutet, dass für jedes
\mathbed {r} {}
{2 \leq r \leq k} {}
{} {} {} {,} und jede $r$-elementige Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ \subseteq }{ \{ 1 , \ldots , k \} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\mu { \left( \bigcap_{i \in I} E_i \right) } }
{ =} { \prod_{i \in I} \mu(E_i) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Punktrichtungsform für eine lineare Gleichung in zwei Variablen.}{Der Satz über die inverse Folge zu einer Cauchy-Folge.}{Das \stichwort {Folgenkriterium} {} für die Stetigkeit einer Abbildung \maabbdisp {f} {D} {\R } {} in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{D }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}

}
{

\aufzaehlungdrei{Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ax+by }
{ =} {c }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine lineare Gleichung in zwei Variablen über $K$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(a,b) }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dann ist die Lösungsmenge eine \definitionsverweis {Gerade}{}{} in $K^2$. Als Richtungsvektor kann man den Vektor
\mathl{\begin{pmatrix} b \\-a \end{pmatrix}}{} nehmen.}{Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper mit der Eigenschaft, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und ein $n_0$ derart gibt, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{n_0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n }
{ \geq} {a }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. Dann ist auch die durch \zusatzklammer {für $n$ hinreichend groß} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_n }
{ =} { { \left( x_n \right) }^{-1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegebene inverse Folge eine Cauchy-Folge.}{Für \maabb {f} {D} {\R} {} sind folgende Aussagen äquivalent. \aufzaehlungzwei {$f$ ist stetig im Punkt $x$. } {Für jede konvergente Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in $D$ mit
\mathl{\lim_{n \rightarrow \infty} x_n =x}{} ist auch die Bildfolge
\mathl{{ \left( f(x_n) \right) }_{ n \in \N }}{} konvergent mit dem Grenzwert $f(x)$. }}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4 (1+3)}
{

\aufzaehlungzwei {Überführe die Matrixgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in ein lineares Gleichungssystem. } {Löse dieses lineare Gleichungssystem. }

}
{

\aufzaehlungzwei {Die einzelnen Einträge der Matrixgleichung ergeben das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3x+7z }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ -4x+5z }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3y+7w }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ -4y+5w }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} } {Aus der ersten und der zweiten Gleichung ergibt sich mittels
\mathl{4I+3II}{} die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 43 z }
{ =} { 4 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z }
{ =} { { \frac{ 4 }{ 43 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} { { \frac{ 5 }{ 4 } } z }
{ =} { { \frac{ 5 }{ 4 } } \cdot { \frac{ 4 }{ 43 } } }
{ =} { { \frac{ 5 }{ 43 } } }
{ } { }
} {}{}{.} Aus der dritten und der vierten Gleichung ergibt sich mittels
\mathl{4III+3IV}{} die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 43 w }
{ =} { 3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{w }
{ =} { { \frac{ 3 }{ 43 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} { - { \frac{ 7 }{ 3 } } w }
{ =} { - { \frac{ 7 }{ 3 } } \cdot { \frac{ 3 }{ 43 } } }
{ =} {- { \frac{ 7 }{ 43 } } }
{ } { }
} {}{}{.} }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{

Beschreibe die Gerade im $\R^2$, die durch die beiden Punkte \mathkor {} {(2,3)} {und} {(5,-7)} {} verläuft, in Punktvektorform.

}
{

Die Gerade wird durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left\{ \begin{pmatrix} 2 \\3 \end{pmatrix} + t \left( \begin{pmatrix} 5 \\-7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\3 \end{pmatrix} \right ) \mid t \in \R \right\} } }
{ =} { { \left\{ \begin{pmatrix} 2 \\3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3 \\-10 \end{pmatrix} \mid t \in \R \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} beschrieben.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{14 (3+2+2+7)}
{

Betrachte auf $\Z \times (\Z \setminus \{0\})$ die \definitionsverweis {Relation}{}{}
\mathdisp {(a,b) \sim (c,d),\, \text{ falls } ad = bc \text{ ist}} { . }

a) Zeige, dass $\sim$ eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist.

b) Zeige, dass es zu jedem $(a,b)$ ein äquivalentes Paar $(a',b')$ mit $b'>0$ gibt.

c) Es sei $M$ die Menge der \definitionsverweis {Äquivalenzklassen}{}{} dieser Äquivalenzrelation. Wir definieren eine Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\Z} {M } {z} { [ (z,1)] } {.} Zeige, dass $\varphi$ \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.

d) Definiere auf $M$ \zusatzklammer {aus Teil c} {} {} eine \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{} $+$ derart, dass $M$ mit dieser Verknüpfung und mit $[(0,1)]$ als neutralem Element eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} wird, und dass für die Abbildung $\varphi$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(z_1 + z_2) }
{ =} {\varphi(z_1) + \varphi(z_2) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle $z_1,z_2 \in \Z$ gilt.

}
{

a) Wegen der Kommutativität der Multiplikation in $\Z$ ist $ab=ba$, woraus die Reflexivität folgt. Zur Symmetrie sei $(a,b) \sim (c,d)$, also $ad= bc$. Dann ist auch $cb=da$, was $(c,d) \sim (a,b)$ bedeutet. Zur Transitivität sei
\mathdisp {(a,b) \sim (c,d) \text{ und } (c,d) \sim (e,f)} { , }
also
\mathdisp {ad=bc \text{ und } cf = de} { . }
Aus diesen beiden Gleichungen ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ adf }
{ =} { bcf }
{ =} {bde }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Da $d \neq 0$ ist, folgt daraus $af=be$, was $(a,b) \sim (e,f)$ bedeutet.

b) Es sei $(a,b)$ vorgegeben. Wegen $b \neq 0$ ist $b>0$ oder $b<0$. Bei $b>0$ sind wir fertig, da $(a,b)$ zu sich selbst äquivalent ist. Bei $b<0$ betrachten wir $(-a,-b)$. Der zweite Eintrag ist positiv, und wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a(-b) }
{ =} {-(ab) }
{ =} {b(-a) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} sind \mathkor {} {(a,b)} {und} {(-a,-b)} {} äquivalent zueinander.

c) Seien $z_1,z_2 \in \Z$ vorgegeben und $\varphi(z_1)= \varphi(z_2)$. Das bedeutet $[(z_1,1)] = [(z_2,1)]$ bzw. $(z_1,1) \sim (z_2,1)$, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z_1 }
{ =} {z_1 1 }
{ =} {1 z_2 }
{ =} {z_2 }
{ } { }
} {}{}{.}

d) Wir setzen
\mathdisp {[ (a,b)] + [ (c,d) ] := [ ( ad+cb, bd ) ]} { . }
Wegen $b,d \neq 0$ ist auch $bd \neq 0$. Zur Wohldefiniertheit dieser Verknüpfung sei
\mathdisp {(a,b) \sim (a',b') \text{ und } (c,d) \sim (c', d')} { , }
also
\mathdisp {ab' =a'b \text{ und } cd' = c'd} { . }
Wir behaupten
\mathdisp {( ad+cb,bd ) \sim ( a'd'+c'b', b'd' )} { . }
Dies folgt aus
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ ( ad+cb )b'd' }
{ =} { adb'd' + cbb'd' }
{ =} { ab' dd' + cd' bb' }
{ =} {a'b dd' + c'd bb' }
{ =} { bda'd' + bdc'b' }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { bd (a'd'+c'b' ) }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{.}

Die Assoziativität folgt aus
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ ([(a,b)]+ [ (c,d) ]) + [ (e,f)] }
{ =} { [ (ad+bc ,bd) ] + [ (e,f)] }
{ =} { [ (ad+bc)f+ bde , bdf ] }
{ =} { [ adf +bcf +bde , bdf] }
{ =} { [ adf +b(cf +de) , bdf] }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { [(a,b)] + ( [ (cf +de,df)]) }
{ =} { [(a,b)] + ( [ (c,d) ] + [ (e,f)]) }
{ } {}
{ } {}
} {}{.}

Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{[(a,b)] + [ (0 , 1)] }
{ =} { [ ( a1 +b0, b1) ] }
{ =} { [ (a,b)] }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {und ebenso in der anderen Reihenfolge} {} {} ist $(0,1)$ das neutrale Element.

Wir behaupten, dass zu $[(a,b)]$ das inverse Element durch $[(-a,b)]$ gegeben ist. Dies folgt aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ [(a,b)] + [(-a,b)] }
{ =} { [ ( ab + b(-a) , b^2) ] }
{ =} { [ ( ab -ab , b^2) ] }
{ =} { [ (0, b^2)] }
{ =} { [(0,1) ] }
} {}{}{,} wobei die letzte Gleichung sich aus $0 \cdot 1= 0 \cdot b^2$ ergibt \zusatzklammer {ebenso in der anderen Reihenfolge} {} {.}

Schließlich ist für$z_1, z_2 \in \Z$
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi (z_1 + z_2) }
{ =} { [( z_1 +z_2,1 )] }
{ =} { [( z_1\cdot 1 + 1 \cdot z_2,1 \cdot 1 )] }
{ =} { [( z_1 , 1 )] + [(z_2,1 )] }
{ =} { \varphi (z_1) + \varphi( z_2) }
} {}{}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4 (1+1+2)}
{

a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen
\mathl{a,b,c \in {]0,1[}}{} mit
\mathdisp {a^2+b^2=c^2} { . }

b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen
\mathl{a,b,c \in {]0,1[}}{} mit
\mathdisp {a^2+b^2 \neq c^2} { . }

c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen
\mathl{a,b \in {]0,1[}}{} und eine rationale Zahl
\mathl{c \in {]0,1[}}{} mit
\mathdisp {a^2+b^2=c^2} { . }

}
{

a) Es ist
\mathdisp {3^2+4^2=5^2} { , }
daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( { \frac{ 3 }{ 6 } } \right) }^2 + { \left( { \frac{ 4 }{ 6 } } \right) }^2 }
{ =} { { \left( { \frac{ 5 }{ 6 } } \right) }^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} und diese Zahlen sind rational und aus dem offenen Einheitsintervall.

b) Wir nehmen
\mathl{a={ \frac{ 3 }{ 6 } }}{} und
\mathl{b={ \frac{ 4 }{ 6 } }}{} und
\mathl{c={ \frac{ 1 }{ 6 } }}{.} Die Summe ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^2+b^2 }
{ =} { { \left( { \frac{ 5 }{ 6 } } \right) }^2 }
{ \neq} {{ \left( { \frac{ 1 }{ 6 } } \right) }^2 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

c) Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a }
{ =} {b }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{2} } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{;} diese Zahl ist irrational, da $\sqrt{2}$ irrational ist. Es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( { \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{2} } } \right) }^2 + { \left( { \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{2} } } \right) }^2 }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 4 \cdot 2 } } + { \frac{ 1 }{ 4 \cdot 2 } } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 4 } } }
{ =} { { \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } \right) }^2 }
{ } { }
} {}{}{.} Mit
\mathl{c={ \frac{ 1 }{ 2 } }}{} ist also ein Beispiel der gewünschten Art gefunden.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Zeige, dass in einem angeordneten Körper jede konvergente Folge eine Cauchy-Folge ist.

}
{

Sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} die konvergente Folge mit Grenzwert $x$. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben. Wir wenden die Konvergenzeigenschaft auf
\mathl{\epsilon/2}{} an. Daher gibt es ein $n_0$ mit
\mathdisp {\betrag { x_n-x } \leq \epsilon/2 \text { für alle } n \geq n_0} { . }
Für beliebige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n,m }
{ \geq }{ n_0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt dann aufgrund der Dreiecksungleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\betrag { x_n-x_m } }
{ \leq} { \betrag { x_n-x } + \betrag { x-x_m } }
{ \leq} { \epsilon/2 + \epsilon/2 }
{ =} { \epsilon }
{ } {}
} {}{}{.}  Also liegt eine Cauchy-Folge vor.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{

Die beiden reellen Zahlen \mathkor {} {x} {und} {y} {} besitzen die Dezimalentwicklungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} {0{,}2 \overline{13} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} {0{,}\overline{127} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Bestimme die Dezimalentwicklung von
\mathl{x+y}{.}

}
{

Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ 0{,}2 \overline{13} }
{ =} { { \frac{ 2 }{ 10 } } + 0{,}0 \overline{13} }
{ =} { { \frac{ 2 }{ 10 } } + { \frac{ 1 }{ 10 } } \cdot 0{,}\overline{13} }
{ =} { { \frac{ 2 }{ 10 } } + { \frac{ 1 }{ 10 } } \cdot 0{,}\overline{131313} }
{ =} { { \frac{ 2 }{ 10 } } + { \frac{ 1 }{ 10 } } \cdot { \frac{ 131313 }{ 999 999 } } }
} {} {}{} und
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ 0{,}\overline{127} }
{ =} { 0{,}\overline{127127} }
{ =} { { \frac{ 127127 }{ 999 999 } } }
{ } { }
{ } { }
} {} {}{.} Somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ 0{,}2\overline{13} + 0{,}\overline{127} }
{ =} { { \frac{ 2 }{ 10 } } + { \frac{ 1 }{ 10 } } \cdot { \frac{ 131313 }{ 999 999 } } + { \frac{ 127127 }{ 999 999 } } }
{ =} { { \frac{ 2 }{ 10 } } + { \frac{ 1 }{ 10 } } \cdot { \left( { \frac{ 131313 }{ 999 999 } } + { \frac{ 1271270 }{ 999 999 } } \right) } }
{ =} { { \frac{ 2 }{ 10 } } + { \frac{ 1 }{ 10 } } \cdot { \frac{ 1402 583 }{ 999 999 } } }
{ =} {{ \frac{ 2 }{ 10 } } + { \frac{ 1 }{ 10 } } + { \frac{ 1 }{ 10 } } \cdot { \frac{ 402 584 }{ 999 999 } } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {{ \frac{ 3 }{ 10 } } + { \frac{ 1 }{ 10 } } \cdot 0{,}\overline{402 584} }
{ =} {0{,}3\overline{402 584} }
{ } {}
{ } {}
} {}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Zeige unter Verwendung der Bernoullischen Ungleichung, dass die Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n }
{ =} { { \left( 1 + { \frac{ 1 }{ n } } \right) }^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \definitionsverweis {wachsend}{}{} ist.

}
{

Aufgrund der Bernoulli-Ungleichung gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( 1- \frac{1}{n^2} \right) }^n }
{ \geq} {1- n \frac{1}{n^2} }
{ =} {1- \frac{1}{n} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dies schreiben wir als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\frac{n-1}{n} }
{ \leq} { { \left( \frac{n^2-1}{n^2} \right) }^n }
{ =} { { \left( \frac{n+1}{n} \cdot \frac{n-1}{n} \right) }^n }
{ =} { { \left( \frac{n+1}{n} \right) }^n { \left( \frac{n-1}{n} \right) }^n }
{ } { }
} {}{}{.} Daraus ergibt sich durch beidseitige Multiplikation mit
\mathl{{ \left( \frac{ n}{n-1} \right) }^n}{} \zusatzklammer {es sei $n \geq 2$} {.} {} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_{n-1} }
{ =} { { \left( \frac{n}{n-1} \right) }^{n-1} }
{ \leq} { { \left( \frac{n+1}{n} \right) }^n }
{ =} {a_n }
{ } { }
} {}{}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Bestimme eine Symmetrieachse für den Graphen der Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {x^2-7x+5 } {.}

}
{

Wir schreiben
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{f(x) }
{ =} {x^2-7x+5 }
{ =} { { \left( x- { \frac{ 7 }{ 2 } } \right) }^2 - { \frac{ 49 }{ 4 } } +5 }
{ =} { { \left( x- { \frac{ 7 }{ 2 } } \right) }^2 - { \frac{ 29 }{ 4 } } }
{ } { }
} {} {}{.} Daher ist die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ = }{ { \frac{ 7 }{ 2 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegebene Gerade eine Spiegelungsachse für den Graphen.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3 (1+2)}
{

\aufzaehlungzwei {Berechne das Produkt
\mathdisp {{ \left( 2-3X+X^2 \right) } \cdot { \left( -5+4X-3 X^2 \right) }} { }
im \definitionsverweis {Polynomring}{}{} $\Q[X]$. } {Berechne das Produkt
\mathdisp {{ \left( 2-3 \sqrt{2} +\sqrt{2}^2 \right) } \cdot { \left( -5+4\sqrt{2}-3 \sqrt{2}^2 \right) }} { }
in $\R$ auf zwei verschiedene Arten. }

}
{

\aufzaehlungzwei {Es ist
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ (2-3X+X^2) \cdot (-5+4X-3 X^2) }
{ =} { -10 +8X +15X -6X^2 -5X^2 -12X^2+4X^3 +9X^3 -3X^4 }
{ =} { -10+23X -23X^2+13X^3-3X^4 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} } {Es ist einerseits direkt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ ( 2-3 \sqrt{2} +\sqrt{2}^2) \cdot (-5+4\sqrt{2}-3 \sqrt{2}^2 ) }
{ =} { { \left( 4-3 \sqrt{2} \right) } { \left( -11+4 \sqrt{2} \right) } }
{ =} { -44 - 12 \cdot 2 + (16+33) \sqrt{2} }
{ =} { -68 + 49 \sqrt{2} }
{ } { }
} {} {}{.} Andererseits kann man im Ergebnis von Teil 1 die Variable $X$ durch $\sqrt{2}$ ersetzen und erhält
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ -10+23 \sqrt{2} -23 \sqrt{2}^2+13 \sqrt{2}^3-3 \sqrt{2}^4 }
{ =} {-10+ 23 \sqrt{2} -23 \cdot 2 +13 \cdot 2 \sqrt{2}-3 \cdot 4 }
{ =} { -68 + 49 \sqrt{2} }
{ } { }
{ } { }
} {} {}{.} }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{

Bestimme die Lösungen der Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2 }
{ =} {x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} über $\Z/(6)$.

}
{

Neben den Standardlösungen \mathkor {} {0} {und} {1} {} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3^2 }
{ =} {9 }
{ =} {3 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4^2 }
{ =} {16 }
{ =} {4 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dagegen ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2^2 }
{ =} {4 }
{ \neq} {2 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{5^2 }
{ =} {25 }
{ =} {1 }
{ \neq} {5 }
{ } { }
} {}{}{.} Die Lösungen sind also
\mathl{\{0,1,3,4\}}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Es seien \mathkor {} {P} {und} {Q} {} verschiedene \definitionsverweis {normierte Polynome}{}{} vom Grad $d$ über einem Körper $K$. Wie viele Schnittpunkte besitzen die beiden Graphen maximal?

}
{

Ein Schnittpunkt liegt vor, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P(x) }
{ =} {Q(x) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn $x$ eine Nullstelle von
\mathl{P-Q}{} ist. Da beide Polynome normiert sind und den gleichen Grad $d$ besitzen, hebt sich bei der Subtraktion der Leitterm weg und es ergibt sich ein Polynom vom Grad maximal $d-1$. Da
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \neq }{Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, ist die Differenz nicht das Nullpolynom. Nach Korollar 50.8 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) besitzt somit
\mathl{P-Q}{} maximal
\mathl{d-1}{} Nullstellen, und daher gibt es maximal
\mathl{d-1}{} Schnittpunkte.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{7}
{

Beweise den Satz über die Stetigkeit der Umkehrfunktion zu einer streng wachsenden, stetigen Funktion \maabb {f} {I} {\R } {,} zu einem Intervall $I\subseteq \R$.

}
{

\teilbeweis {}{}{}
{Dass das Bild wieder ein Intervall ist folgt aus Korollar 52.9 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)).}
{} \teilbeweis {}{}{}
{Die Funktion $f$ ist \definitionsverweis {injektiv}{}{,} da sie streng wachsend ist und damit ist die Abbildung \maabbdisp {f} {I} {J } {} auf das Bild \definitionsverweis {bijektiv}{}{.}}
{} \teilbeweis {}{}{}
{Die Umkehrfunktion \maabbdisp {f^{-1}} {J} {I } {} ist ebenfalls streng wachsend.}
{} \teilbeweis {}{}{}
{Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g }
{ \defeq }{ f^{-1} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y }
{ \defeq }{ f(x) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} vorgegeben. \fallunterscheidungzwei {Es sei zunächst $y$ kein \definitionsverweis {Randpunkt}{}{} von $J$. Dann ist auch $x$ kein Randpunkt von $I$. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} vorgegeben und ohne Einschränkung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ [x- \epsilon, x+ \epsilon] }
{ \subseteq }{ I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} angenommen. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \delta }
{ \defeq} { {\min { \left( y-f(x- \epsilon) , f(x + \epsilon)-y \right) } } }
{ >} { 0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y' }
{ \in }{[ y- \delta, y + \delta ] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt wegen der Monotonie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g(y') }
{ \in} { [g(y-\delta), g(y+ \delta)] }
{ \subseteq} { [x- \epsilon, x+ \epsilon] }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Also ist $g$ stetig in $y$.}
{Wenn $y$ ein Randpunkt von $J$ ist, so ist auch $x$ ein Randpunkt von $I$, sagen wir der rechte Randpunkt. Dann ist zu vorgegebenem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} wieder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ [x- \epsilon, x] }
{ \subseteq }{ I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta }
{ \defeq }{ y-f(x- \epsilon) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} erfüllt die geforderte Eigenschaft.}
}
{}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Mustafa Müller darf zu seinem $n$-ten Geburtstag aus seiner Klasse $n$ Kinder einladen. Heute wird er $8$, in seiner Klasse gibt es neben ihm $30$ Kinder. Da alle Kinder nett sind, wählt er zufällig aus. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die $7$ Kinder vom letztjährigen Geburtstag wieder eingeladen werden.

}
{

Es gibt
\mathl{\binom { 30 } { 8}}{} gleichberechtigte Einladungsmöglichkeiten. Wenn eine achtelementige Teilmenge eine fixierte siebenelementige Teilmenge enthalten soll, so gibt es nur die Möglichkeit, die siebenelementige Menge um eine achte Person aus den verbleibenden
\mathl{30-7=23}{} Kindern zu ergänzen. Dafür gibt es also $23$ Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit ist also
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \frac{ 23 }{ \,\, \binom { 30 } { 8} \, \, } } }
{ =} { { \frac{ 23 }{ \,\, { \frac{ 30 \cdot 29 \cdots 24 \cdot 23 }{ 8 \cdot 7 \cdots 2 \cdot 1 } } \, \, } } }
{ =} { { \frac{ 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 }{ 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 } } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 15 \cdot 29 \cdot 9 \cdot 13 \cdot 5 } } }
{ =} {{ \frac{ 1 }{ 254475 } } }
} {} {}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Aus den Zahlen
\mathl{\{1 , \ldots , 10\}}{} werden zufällig fünf Zahlen gezogen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es unter den gezogenen Zahlen keine Teilbarkeitsbeziehung gibt.

}
{

Wir zählen, wie viele fünfelementige Teilmengen es von
\mathl{\{1 , \ldots , 10\}}{} gibt, in denen es keine Teilbarkeitsbeziehung gibt. Wir gehen die Teilmengen entlang ihres minimalen Elementes durch.

Da die $1$ jede Zahl teilt, darf die $1$ in der Auswahl nicht vorkommen.

Wenn die $2$ \zusatzklammer {als minimales Element} {} {} vorkommt, so darf keine weitere gerade Zahl vorkommen. Dann müssen die anderen Zahlen
\mathl{3,5,7,9}{} sein, doch $3$ teilt $9$. Es gibt also keine erlaubte Auswahl von diesem Typ.

Wenn die $3$ \zusatzklammer {als minimales Element} {} {} vorkommt, so darf weder die $6$ noch die $9$ vorkommen. Es verbleiben
\mathl{\{4,5,7,8,10\}}{.} Da es darin zwei Teilbarkeitsbeziehungen gibt, gibt es keine erlaubte Auswahl von diesem Typ.

Wenn die $4$ \zusatzklammer {als minimales Element} {} {} vorkommt, so darf die $8$ nicht vorkommen. Dies ergibt die Möglichkeit
\mathl{\{4,5,6,7,9\}}{} und
\mathl{\{4,6,7,9,10\}}{.}

Wenn die $5$ \zusatzklammer {als minimales Element} {} {} vorkommt, so darf die $10$ nicht vorkommen. Dies ergibt die Möglichkeit
\mathl{\{5,6,7,8,9\}}{.}

Wenn die $6$ \zusatzklammer {als minimales Element} {} {} vorkommt, so ergibt dies die Möglichkeit
\mathl{\{6,7,8,9,10\}}{.}

Es gibt also insgesamt
\mathl{4}{} mögliche Auswahlen, die die Bedingung erfüllen. Insgesamt gibt es
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom { 10 } { 5} }
{ =} { { \frac{ 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 }{ 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 } } }
{ =} { 9 \cdot 4 \cdot 7 }
{ =} { 252 }
{ } { }
} {}{}{} Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit ist also gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 4 }{ 252 } } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 63 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}