Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/8/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 4 1 14 4 3 5 4 2 3 1 3 7 4 3 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit Gleichungen in Variablen über einem Körper .
  2. Eine invertierbare -Matrix über einem Körper .
  3. Die Symmetrie einer Relation auf einer Menge .
  4. Eine -te Wurzel zu in einem kommutativen Halbring .
  5. Die Stetigkeit einer Funktion

    in einem Punkt .

  6. Die vollständige Unabhängigkeit von Ereignissen

    in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum .


Lösung

  1. Das System
    heißt ein inhomogenes lineares Gleichungssystem, wobei die und die aus sind.
  2. Die Matrix heißt invertierbar, wenn es eine Matrix mit

    gibt.

  3. Die Relation heißt symmetrisch, wenn aus stets folgt.
  4. Man nennt ein Element mit

    eine -te Wurzel von .

  5. Man sagt, dass stetig im Punkt ist,wenn es zu jedem ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung gilt.
  6. Die vollständige Unabhängigkeit der Ereignisse bedeutet, dass für jedes , , und jede -elementige Teilmenge die Gleichheit

    gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Punktrichtungsform für eine lineare Gleichung in zwei Variablen.
  2. Der Satz über die inverse Folge zu einer Cauchy-Folge.
  3. Das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Abbildung


Lösung

  1. Es sei ein Körper und sei

    eine lineare Gleichung in zwei Variablen über mit . Dann ist die Lösungsmenge eine Gerade

    in . Als Richtungsvektor kann man den Vektor nehmen.
  2. Es sei eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper mit der Eigenschaft, dass es ein und ein derart gibt, dass für alle die Abschätzung

    gilt. Dann ist auch die durch (für hinreichend groß)

    gegebene inverse Folge eine Cauchy-Folge.
  3. Für sind folgende Aussagen äquivalent.
    1. ist stetig im Punkt .
    2. Für jede konvergente Folge in mit ist auch die Bildfolge konvergent mit dem Grenzwert .


Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

  1. Überführe die Matrixgleichung

    in ein lineares Gleichungssystem.

  2. Löse dieses lineare Gleichungssystem.


Lösung

  1. Die einzelnen Einträge der Matrixgleichung ergeben das lineare Gleichungssystem
  2. Aus der ersten und der zweiten Gleichung ergibt sich mittels die Bedingung

    und somit

    Daher ist

    Aus der dritten und der vierten Gleichung ergibt sich mittels die Bedingung

    und somit

    Daher ist


Aufgabe (1 Punkt)

Beschreibe die Gerade im , die durch die beiden Punkte und verläuft, in Punktvektorform.


Lösung

Die Gerade wird durch

beschrieben.


Aufgabe (14 (3+2+2+7) Punkte)

Betrachte auf die Relation

a) Zeige, dass eine Äquivalenzrelation ist.

b) Zeige, dass es zu jedem ein äquivalentes Paar mit gibt.

c) Es sei die Menge der Äquivalenzklassen dieser Äquivalenzrelation. Wir definieren eine Abbildung

Zeige, dass injektiv ist.

d) Definiere auf (aus Teil c) eine Verknüpfung derart, dass mit dieser Verknüpfung und mit als neutralem Element eine Gruppe wird, und dass für die Abbildung die Beziehung

für alle gilt.


Lösung

a) Wegen der Kommutativität der Multiplikation in ist , woraus die Reflexivität folgt. Zur Symmetrie sei , also . Dann ist auch , was

bedeutet. Zur Transitivität sei
also
Aus diesen beiden Gleichungen ergibt sich
Da

ist, folgt daraus , was bedeutet.

b) Es sei vorgegeben. Wegen ist oder . Bei sind wir fertig, da zu sich selbst äquivalent ist. Bei betrachten wir . Der

zweite Eintrag ist positiv, und wegen
sind und äquivalent zueinander.

c) Seien vorgegeben und . Das bedeutet

bzw. , also
d) Wir setzen
Wegen ist auch

. Zur Wohldefiniertheit dieser Verknüpfung sei

also

Wir behaupten
Dies folgt aus

Die Assoziativität folgt aus

Wegen
(und ebenso

in der anderen Reihenfolge) ist das neutrale Element.

Wir behaupten, dass zu das inverse Element durch gegeben ist. Dies folgt aus

wobei die letzte Gleichung sich aus ergibt (ebenso in der anderen Reihenfolge).

Schließlich ist für


Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)

a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen mit

b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen mit

c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen und eine rationale Zahl mit


Lösung

a) Es ist

daher ist

und diese Zahlen sind rational und aus dem offenen Einheitsintervall.

b) Wir nehmen und und . Die Summe ist

c) Wir setzen

diese Zahl ist irrational, da irrational ist. Es gilt

Mit ist also ein Beispiel der gewünschten Art gefunden.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass in einem angeordneten Körper jede konvergente Folge eine Cauchy-Folge ist.


Lösung

Sei die konvergente Folge mit Grenzwert . Sei gegeben. Wir wenden die Konvergenzeigenschaft auf an. Daher gibt es ein mit

Für beliebige gilt dann aufgrund der Dreiecksungleichung

  Also liegt eine Cauchy-Folge vor.


Aufgabe (5 Punkte)

Die beiden reellen Zahlen und besitzen die Dezimalentwicklungen

und

Bestimme die Dezimalentwicklung von .


Lösung

Es ist

und

Somit ist


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige unter Verwendung der Bernoullischen Ungleichung, dass die Folge

wachsend ist.


Lösung

Aufgrund der Bernoulli-Ungleichung gilt

Dies schreiben wir als

Daraus ergibt sich durch beidseitige Multiplikation mit (es sei ) die Abschätzung


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme eine Symmetrieachse für den Graphen der Funktion


Lösung

Wir schreiben

Daher ist die durch gegebene Gerade eine Spiegelungsachse für den Graphen.


Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

  1. Berechne das Produkt

    im Polynomring .

  2. Berechne das Produkt

    in auf zwei verschiedene Arten.


Lösung

  1. Es ist
  2. Es ist einerseits direkt
    Andererseits kann man im Ergebnis von Teil 1 die Variable durch ersetzen und erhält


Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme die Lösungen der Gleichung

über .


Lösung

Neben den Standardlösungen und ist

und

Dagegen ist

und

Die Lösungen sind also .


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und verschiedene normierte Polynome vom Grad über einem Körper . Wie viele Schnittpunkte besitzen die beiden Graphen maximal?


Lösung

Ein Schnittpunkt liegt vor, wenn

ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn eine Nullstelle von ist. Da beide Polynome normiert sind und den gleichen Grad besitzen, hebt sich bei der Subtraktion der Leitterm weg und es ergibt sich ein Polynom vom Grad maximal . Da ist, ist die Differenz nicht das Nullpolynom. Nach Korollar 50.8 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) besitzt somit maximal Nullstellen, und daher gibt es maximal Schnittpunkte.


Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Stetigkeit der Umkehrfunktion zu einer streng wachsenden, stetigen Funktion , zu einem Intervall .


Lösung

Dass das Bild wieder ein Intervall ist folgt aus [[Zwischenwertsatz/Bild ist Intervall/Fakt|Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Zwischenwertsatz/Bild ist Intervall/Fakt/Faktreferenznummer (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019))]].
Die Funktion ist injektiv, da sie streng wachsend ist und damit ist die Abbildung

auf das Bild bijektiv.
Die Umkehrfunktion

ist ebenfalls streng wachsend.
Sei und vorgegeben. Es sei zunächst kein Randpunkt von . Dann ist auch kein Randpunkt von . Sei vorgegeben und ohne Einschränkung angenommen. Dann ist

und für gilt wegen der Monotonie

Also ist stetig in . Wenn ein Randpunkt von ist, so ist auch ein Randpunkt von , sagen wir der rechte Randpunkt. Dann ist zu vorgegebenem wieder und erfüllt die geforderte Eigenschaft.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass man beim Zahlenlotto (genau) drei Richtige hat.


Lösung

Wir zählen die Möglichkeiten, also die sechselementigen Teilmengen von , die für das in Rede stehende Ereignis günstig sind. Von den getippten sechs Zahlen werden genau drei Zahlen gezogen, dafür gibt es

Möglichkeiten. Wenn diese drei Zahlen als Treffer fixiert sind, so müssen diese drei Zahlen gezogen werden, die drei anderen getippten Zahlen nicht. Dafür gibt es jeweils

Möglichkeiten. Insgesamt gibt es also

Möglichkeiten, drei Richtige zu haben, und somit ist die Wahrscheinlichkeit dafür gleich


Aufgabe (3 Punkte)

Mustafa Müller darf zu seinem -ten Geburtstag aus seiner Klasse Kinder einladen. Heute wird er , in seiner Klasse gibt es neben ihm Kinder. Da alle Kinder nett sind, wählt er zufällig aus. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Kinder vom letztjährigen Geburtstag wieder eingeladen werden.


Lösung

Es gibt gleichberechtigte Einladungsmöglichkeiten. Wenn eine achtelementige Teilmenge eine fixierte siebenelementige Teilmenge enthalten soll, so gibt es nur die Möglichkeit, die siebenelementige Menge um eine achte Person aus den verbleibenden Kindern zu ergänzen. Dafür gibt es also Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit ist also