Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/8/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	4	1	14	4	3	5	4	2	3	1	3	7	3	4	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit ${}m$ Gleichungen in ${}n$ Variablen über einem Körper ${}K$.
2. Eine invertierbare ${}n\times n$-Matrix ${}M$ über einem Körper ${}K$.
3. Die Symmetrie einer Relation ${}R$ auf einer Menge ${}M$.
4. Eine ${}k$-te Wurzel zu ${}r\in R$ in einem kommutativen Halbring ${}R$.
5. Die Stetigkeit einer Funktion

   $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

   in einem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$.

6. Die vollständige Unabhängigkeit von Ereignissen

   ${}E_{1},\ldots ,E_{k}\subseteq M\,$

   in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum ${}(M,\mu )$.

Lösung

1. Das System

   ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\end{matrix}}$

   heißt ein inhomogenes lineares Gleichungssystem, wobei die ${}a_{ij}$ und die ${}c_{i}$ aus ${}K$ sind.
2. Die Matrix ${}M$ heißt invertierbar, wenn es eine Matrix ${}A\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ mit

   ${}A\circ M=E_{n}=M\circ A\,$

   gibt.

3. Die Relation ${}R$ heißt symmetrisch, wenn aus ${}xRy$ stets ${}yRx$ folgt.
4. Man nennt ein Element ${}x\in R$ mit

   ${}x^{k}=r\,$

   eine ${}k$-te Wurzel von ${}r$.

5. Man sagt, dass ${}f$ stetig im Punkt ${}x$ ist,wenn es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ derart gibt, dass für alle ${}x'$ mit ${}\vert {x-x'}\vert \leq \delta$ die Abschätzung ${}\vert {f(x)-f(x')}\vert \leq \epsilon$ gilt.
6. Die vollständige Unabhängigkeit der Ereignisse ${}E_{1},\ldots ,E_{k}$ bedeutet, dass für jedes ${}r$, ${}2\leq r\leq k$, und jede ${}r$-elementige Teilmenge ${}I\subseteq \{1,\ldots ,k\}$ die Gleichheit

   ${}\mu {\left(\bigcap _{i\in I}E_{i}\right)}=\prod _{i\in I}\mu (E_{i})\,$

   gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Punktrichtungsform für eine lineare Gleichung in zwei Variablen.
2. Der Satz über die inverse Folge zu einer Cauchy-Folge.
3. Das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Abbildung

   $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

   in einem Punkt

   ${}x\in D$.

Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper und sei

   ${}ax+by=c\,$

   eine lineare Gleichung in zwei Variablen über ${}K$ mit ${}(a,b)\neq 0$. Dann ist die Lösungsmenge eine Gerade

   in ${}K^{2}$. Als Richtungsvektor kann man den Vektor ${}{\begin{pmatrix}b\\-a\end{pmatrix}}$ nehmen.
2. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper mit der Eigenschaft, dass es ein ${}a>0$ und ein ${}n_{0}$ derart gibt, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Abschätzung

   ${}x_{n}\geq a\,$

   gilt. Dann ist auch die durch (für ${}n$ hinreichend groß)

   ${}y_{n}={\left(x_{n}\right)}^{-1}\,$

   gegebene inverse Folge eine Cauchy-Folge.
3. Für ${}f\colon D\rightarrow \mathbb {R}$ sind folgende Aussagen äquivalent.
   1. ${}f$ ist stetig im Punkt ${}x$.
   2. Für jede konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}D$ mit ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x$ ist auch die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent mit dem Grenzwert ${}f(x)$.

Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

1. Überführe die Matrixgleichung

   ${}{\begin{pmatrix}3&7\\-4&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,$

   in ein lineares Gleichungssystem.

2. Löse dieses lineare Gleichungssystem.

Lösung

1. Die einzelnen Einträge der Matrixgleichung ergeben das lineare Gleichungssystem

   ${}3x+7z=1\,$

   ${}-4x+5z=0\,$

   ${}3y+7w=0\,$

   ${}-4y+5w=1\,.$

2. Aus der ersten und der zweiten Gleichung ergibt sich mittels ${}4I+3II$ die Bedingung

   ${}43z=4\,$

   und somit

   ${}z={\frac {4}{43}}\,.$

   Daher ist

   ${}x={\frac {5}{4}}z={\frac {5}{4}}\cdot {\frac {4}{43}}={\frac {5}{43}}\,.$

   Aus der dritten und der vierten Gleichung ergibt sich mittels ${}4III+3IV$ die Bedingung

   ${}43w=3\,$

   und somit

   ${}w={\frac {3}{43}}\,.$

   Daher ist

   ${}y=-{\frac {7}{3}}w=-{\frac {7}{3}}\cdot {\frac {3}{43}}=-{\frac {7}{43}}\,.$

Aufgabe (1 Punkt)

Beschreibe die Gerade im ${}\mathbb {R} ^{2}$, die durch die beiden Punkte ${}(2,3)$ und ${}(5,-7)$ verläuft, in Punktvektorform.

Lösung

Die Gerade wird durch

${}{\left\{{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}+t\left({\begin{pmatrix}5\\-7\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}\right)\mid t\in \mathbb {R} \right\}}={\left\{{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}3\\-10\end{pmatrix}}\mid t\in \mathbb {R} \right\}}\,$

beschrieben.

Aufgabe (14 (3+2+2+7) Punkte)

Betrachte auf ${}\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \{0\})$ die Relation

$(a,b)\sim (c,d),\,{\text{ falls }}ad=bc{\text{ ist}}.$

a) Zeige, dass ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.

b) Zeige, dass es zu jedem ${}(a,b)$ ein äquivalentes Paar ${}(a',b')$ mit ${}b'>0$ gibt.

c) Es sei ${}M$ die Menge der Äquivalenzklassen dieser Äquivalenzrelation. Wir definieren eine Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow M,\,z\longmapsto [(z,1)].$

Zeige, dass ${}\varphi$ injektiv ist.

d) Definiere auf ${}M$ (aus Teil c) eine Verknüpfung ${}+$ derart, dass ${}M$ mit dieser Verknüpfung und mit ${}[(0,1)]$ als neutralem Element eine Gruppe wird, und dass für die Abbildung ${}\varphi$ die Beziehung

${}\varphi (z_{1}+z_{2})=\varphi (z_{1})+\varphi (z_{2})\,$

für alle ${}z_{1},z_{2}\in \mathbb {Z}$ gilt.

Lösung

a) Wegen der Kommutativität der Multiplikation in ${}\mathbb {Z}$ ist ${}ab=ba$, woraus die Reflexivität folgt. Zur Symmetrie sei ${}(a,b)\sim (c,d)$, also ${}ad=bc$. Dann ist auch ${}cb=da$, was ${}(c,d)\sim (a,b)$

bedeutet. Zur Transitivität sei

$(a,b)\sim (c,d){\text{ und }}(c,d)\sim (e,f),$

also

$ad=bc{\text{ und }}cf=de.$

Aus diesen beiden Gleichungen ergibt sich

${}adf=bcf=bde\,.$

Da

${}d\neq 0$ ist, folgt daraus ${}af=be$, was ${}(a,b)\sim (e,f)$ bedeutet.

b) Es sei ${}(a,b)$ vorgegeben. Wegen ${}b\neq 0$ ist ${}b>0$ oder ${}b<0$. Bei ${}b>0$ sind wir fertig, da ${}(a,b)$ zu sich selbst äquivalent ist. Bei ${}b<0$ betrachten wir ${}(-a,-b)$. Der

zweite Eintrag ist positiv, und wegen

${}a(-b)=-(ab)=b(-a)\,$

sind ${}(a,b)$ und ${}(-a,-b)$ äquivalent zueinander.

c) Es seien ${}z_{1},z_{2}\in \mathbb {Z}$ vorgegeben und ${}\varphi (z_{1})=\varphi (z_{2})$. Das bedeutet

${}[(z_{1},1)]=[(z_{2},1)]$ bzw. ${}(z_{1},1)\sim (z_{2},1)$, also

${}z_{1}=z_{1}1=1z_{2}=z_{2}\,.$

d) Wir setzen

$[(a,b)]+[(c,d)]:=[(ad+cb,bd)].$

Wegen ${}b,d\neq 0$ ist auch

${}bd\neq 0$. Zur Wohldefiniertheit dieser Verknüpfung sei

$(a,b)\sim (a',b'){\text{ und }}(c,d)\sim (c',d'),$

also

$ab'=a'b{\text{ und }}cd'=c'd.$

Wir behaupten

$(ad+cb,bd)\sim (a'd'+c'b',b'd').$

Dies folgt aus

${}{\begin{aligned}(ad+cb)b'd'&=adb'd'+cbb'd'\\&=ab'dd'+cd'bb'\\&=a'bdd'+c'dbb'\\&=bda'd'+bdc'b'\\&=bd(a'd'+c'b').\end{aligned}}$

Die Assoziativität folgt aus

${}{\begin{aligned}([(a,b)]+[(c,d)])+[(e,f)]&=[(ad+bc,bd)]+[(e,f)]\\&=[(ad+bc)f+bde,bdf]\\&=[adf+bcf+bde,bdf]\\&=[adf+b(cf+de),bdf]\\&=[(a,b)]+([(cf+de,df)])\\&=[(a,b)]+([(c,d)]+[(e,f)]).\end{aligned}}$

Wegen

${}[(a,b)]+[(0,1)]=[(a1+b0,b1)]=[(a,b)]\,$

(und ebenso

in der anderen Reihenfolge) ist ${}(0,1)$ das neutrale Element.

Wir behaupten, dass zu ${}[(a,b)]$ das inverse Element durch ${}[(-a,b)]$ gegeben ist. Dies folgt aus

${}[(a,b)]+[(-a,b)]=[(ab+b(-a),b^{2})]=[(ab-ab,b^{2})]=[(0,b^{2})]=[(0,1)]\,,$

wobei die letzte Gleichung sich aus ${}0\cdot 1=0\cdot b^{2}$ ergibt (ebenso in der anderen Reihenfolge).

Schließlich ist für${}z_{1},z_{2}\in \mathbb {Z}$

${}\varphi (z_{1}+z_{2})=[(z_{1}+z_{2},1)]=[(z_{1}\cdot 1+1\cdot z_{2},1\cdot 1)]=[(z_{1},1)]+[(z_{2},1)]=\varphi (z_{1})+\varphi (z_{2})\,.$

Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)

a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen ${}a,b,c\in {]0,1[}$ mit

${}a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.$

b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen ${}a,b,c\in {]0,1[}$ mit

${}a^{2}+b^{2}\neq c^{2}\,.$

c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen ${}a,b\in {]0,1[}$ und eine rationale Zahl ${}c\in {]0,1[}$ mit

${}a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.$

Lösung

a) Es ist

${}3^{2}+4^{2}=5^{2}\,,$

daher ist

${}{\left({\frac {3}{6}}\right)}^{2}+{\left({\frac {4}{6}}\right)}^{2}={\left({\frac {5}{6}}\right)}^{2}\,,$

und diese Zahlen sind rational und aus dem offenen Einheitsintervall.

b) Wir nehmen ${}a={\frac {3}{6}}$ und ${}b={\frac {4}{6}}$ und ${}c={\frac {1}{6}}$. Die Summe ist

${}a^{2}+b^{2}={\left({\frac {5}{6}}\right)}^{2}\neq {\left({\frac {1}{6}}\right)}^{2}\,.$

c) Wir setzen

${}a=b={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\,;$

diese Zahl ist irrational, da ${}{\sqrt {2}}$ irrational ist. Es gilt

${}{\left({\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\right)}^{2}+{\left({\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\right)}^{2}={\frac {1}{4\cdot 2}}+{\frac {1}{4\cdot 2}}={\frac {1}{4}}={\left({\frac {1}{2}}\right)}^{2}\,.$

Mit ${}c={\frac {1}{2}}$ ist also ein Beispiel der gewünschten Art gefunden.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass in einem angeordneten Körper jede konvergente Folge eine Cauchy-Folge ist.

Lösung

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die konvergente Folge mit Grenzwert ${}x$. Sei ${}\epsilon >0$ gegeben. Wir wenden die Konvergenzeigenschaft auf ${}\epsilon /2$ an. Daher gibt es ein ${}n_{0}$ mit

$\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon /2{\text{ für alle }}n\geq n_{0}.$

Für beliebige ${}n,m\geq n_{0}$ gilt dann aufgrund der Dreiecksungleichung

${}\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \vert {x_{n}-x}\vert +\vert {x-x_{m}}\vert \leq \epsilon /2+\epsilon /2=\epsilon \,.$

  Also liegt eine Cauchy-Folge vor.

Aufgabe (5 Punkte)

Die beiden reellen Zahlen ${}x$ und ${}y$ besitzen die Dezimalentwicklungen

${}x=0{,}2{\overline {13}}\,$

und

${}y=0{,}{\overline {127}}\,.$

Bestimme die Dezimalentwicklung von ${}x+y$.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}0{,}2{\overline {13}}&={\frac {2}{10}}+0{,}0{\overline {13}}\\&={\frac {2}{10}}+{\frac {1}{10}}\cdot 0{,}{\overline {13}}\\&={\frac {2}{10}}+{\frac {1}{10}}\cdot 0{,}{\overline {131313}}\\&={\frac {2}{10}}+{\frac {1}{10}}\cdot {\frac {131313}{999999}}\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}0{,}{\overline {127}}&=0{,}{\overline {127127}}\\&={\frac {127127}{999999}}.\end{aligned}}$

Somit ist

${}{\begin{aligned}0{,}2{\overline {13}}+0{,}{\overline {127}}&={\frac {2}{10}}+{\frac {1}{10}}\cdot {\frac {131313}{999999}}+{\frac {127127}{999999}}\\&={\frac {2}{10}}+{\frac {1}{10}}\cdot {\left({\frac {131313}{999999}}+{\frac {1271270}{999999}}\right)}\\&={\frac {2}{10}}+{\frac {1}{10}}\cdot {\frac {1402583}{999999}}\\&={\frac {2}{10}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{10}}\cdot {\frac {402584}{999999}}\\&={\frac {3}{10}}+{\frac {1}{10}}\cdot 0{,}{\overline {402584}}\\&=0{,}3{\overline {402584}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige unter Verwendung der Bernoullischen Ungleichung, dass die Folge

${}x_{n}={\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}\,$

wachsend ist.

Lösung

Aufgrund der Bernoulli-Ungleichung gilt

${}{\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)}^{n}\geq 1-n{\frac {1}{n^{2}}}=1-{\frac {1}{n}}\,.$

Dies schreiben wir als

${}{\frac {n-1}{n}}\leq {\left({\frac {n^{2}-1}{n^{2}}}\right)}^{n}={\left({\frac {n+1}{n}}\cdot {\frac {n-1}{n}}\right)}^{n}={\left({\frac {n+1}{n}}\right)}^{n}{\left({\frac {n-1}{n}}\right)}^{n}\,.$

Daraus ergibt sich durch beidseitige Multiplikation mit ${}{\left({\frac {n}{n-1}}\right)}^{n}$ (es sei ${}n\geq 2$.) die Abschätzung

${}a_{n-1}={\left({\frac {n}{n-1}}\right)}^{n-1}\leq {\left({\frac {n+1}{n}}\right)}^{n}=a_{n}\,.$

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme eine Symmetrieachse für den Graphen der Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2}-7x+5.$

Lösung

Wir schreiben

${}{\begin{aligned}f(x)&=x^{2}-7x+5\\&={\left(x-{\frac {7}{2}}\right)}^{2}-{\frac {49}{4}}+5\\&={\left(x-{\frac {7}{2}}\right)}^{2}-{\frac {29}{4}}.\end{aligned}}$

Daher ist die durch ${}x={\frac {7}{2}}$ gegebene Gerade eine Spiegelungsachse für den Graphen.

Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

1. Berechne das Produkt

   ${\left(2-3X+X^{2}\right)}\cdot {\left(-5+4X-3X^{2}\right)}$

   im Polynomring ${}\mathbb {Q} [X]$.

2. Berechne das Produkt

   ${\left(2-3{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}^{2}\right)}\cdot {\left(-5+4{\sqrt {2}}-3{\sqrt {2}}^{2}\right)}$

   in ${}\mathbb {R}$ auf zwei verschiedene Arten.

Lösung

1. Es ist

   ${}{\begin{aligned}(2-3X+X^{2})\cdot (-5+4X-3X^{2})&=-10+8X+15X-6X^{2}-5X^{2}-12X^{2}+4X^{3}+9X^{3}-3X^{4}\\&=-10+23X-23X^{2}+13X^{3}-3X^{4}.\,\end{aligned}}$

2. Es ist einerseits direkt

   ${}{\begin{aligned}(2-3{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}^{2})\cdot (-5+4{\sqrt {2}}-3{\sqrt {2}}^{2})&={\left(4-3{\sqrt {2}}\right)}{\left(-11+4{\sqrt {2}}\right)}\\&=-44-12\cdot 2+(16+33){\sqrt {2}}\\&=-68+49{\sqrt {2}}.\end{aligned}}$

   Andererseits kann man im Ergebnis von Teil 1 die Variable ${}X$ durch ${}{\sqrt {2}}$ ersetzen und erhält

   ${}{\begin{aligned}-10+23{\sqrt {2}}-23{\sqrt {2}}^{2}+13{\sqrt {2}}^{3}-3{\sqrt {2}}^{4}&=-10+23{\sqrt {2}}-23\cdot 2+13\cdot 2{\sqrt {2}}-3\cdot 4\\&=-68+49{\sqrt {2}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme die Lösungen der Gleichung

${}x^{2}=x\,$

über ${}\mathbb {Z} /(6)$.

Lösung

Neben den Standardlösungen ${}0$ und ${}1$ ist

${}3^{2}=9=3\,$

und

${}4^{2}=16=4\,.$

Dagegen ist

${}2^{2}=4\neq 2\,$

und

${}5^{2}=25=1\neq 5\,.$

Die Lösungen sind also ${}\{0,1,3,4\}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}P$ und ${}Q$ verschiedene normierte Polynome vom Grad ${}d$ über einem Körper ${}K$. Wie viele Schnittpunkte besitzen die beiden Graphen maximal?

Lösung

Ein Schnittpunkt liegt vor, wenn

${}P(x)=Q(x)\,$

ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn ${}x$ eine Nullstelle von ${}P-Q$ ist. Da beide Polynome normiert sind und den gleichen Grad ${}d$ besitzen, hebt sich bei der Subtraktion der Leitterm weg und es ergibt sich ein Polynom vom Grad maximal ${}d-1$. Da ${}P\neq Q$ ist, ist die Differenz nicht das Nullpolynom. Nach Korollar 50.8 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) besitzt somit ${}P-Q$ maximal ${}d-1$ Nullstellen, und daher gibt es maximal ${}d-1$ Schnittpunkte.

Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Stetigkeit der Umkehrfunktion zu einer streng wachsenden, stetigen Funktion ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$, zu einem Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

Lösung

Dass das Bild wieder ein Intervall ist folgt aus Korollar 52.9 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)).
Die Funktion ${}f$ ist injektiv, da sie streng wachsend ist und damit ist die Abbildung

$f\colon I\longrightarrow J$

auf das Bild bijektiv.
Die Umkehrfunktion

$f^{-1}\colon J\longrightarrow I$

ist ebenfalls streng wachsend.
Sei ${}g:=f^{-1}$ und ${}y:=f(x)$ vorgegeben. Es sei zunächst ${}y$ kein Randpunkt von ${}J$. Dann ist auch ${}x$ kein Randpunkt von ${}I$. Sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben und ohne Einschränkung ${}[x-\epsilon ,x+\epsilon ]\subseteq I$ angenommen. Dann ist

${}\delta :={\min {\left(y-f(x-\epsilon ),f(x+\epsilon )-y\right)}}>0\,$

und für ${}y'\in [y-\delta ,y+\delta ]$ gilt wegen der Monotonie

${}g(y')\in [g(y-\delta ),g(y+\delta )]\subseteq [x-\epsilon ,x+\epsilon ]\,.$

Also ist ${}g$ stetig in ${}y$. Wenn ${}y$ ein Randpunkt von ${}J$ ist, so ist auch ${}x$ ein Randpunkt von ${}I$, sagen wir der rechte Randpunkt. Dann ist zu vorgegebenem ${}\epsilon >0$ wieder ${}[x-\epsilon ,x]\subseteq I$ und ${}\delta :=y-f(x-\epsilon )$ erfüllt die geforderte Eigenschaft.

Aufgabe (3 Punkte)

Mustafa Müller darf zu seinem ${}n$-ten Geburtstag aus seiner Klasse ${}n$ Kinder einladen. Heute wird er ${}8$, in seiner Klasse gibt es neben ihm ${}30$ Kinder. Da alle Kinder nett sind, wählt er zufällig aus. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die ${}7$ Kinder vom letztjährigen Geburtstag wieder eingeladen werden.

Lösung

Es gibt ${}{\binom {30}{8}}$ gleichberechtigte Einladungsmöglichkeiten. Wenn eine achtelementige Teilmenge eine fixierte siebenelementige Teilmenge enthalten soll, so gibt es nur die Möglichkeit, die siebenelementige Menge um eine achte Person aus den verbleibenden ${}30-7=23$ Kindern zu ergänzen. Dafür gibt es also ${}23$ Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit ist also

${}{\begin{aligned}{\frac {23}{\,\,{\binom {30}{8}}\,\,}}&={\frac {23}{\,\,{\frac {30\cdot 29\cdots 24\cdot 23}{8\cdot 7\cdots 2\cdot 1}}\,\,}}\\&={\frac {8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{30\cdot 29\cdot 28\cdot 27\cdot 26\cdot 25\cdot 24}}\\&={\frac {1}{15\cdot 29\cdot 9\cdot 13\cdot 5}}\\&={\frac {1}{254475}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (4 Punkte)

Aus den Zahlen ${}\{1,\ldots ,10\}$ werden zufällig fünf Zahlen gezogen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es unter den gezogenen Zahlen keine Teilbarkeitsbeziehung gibt.

Lösung

Wir zählen, wie viele fünfelementige Teilmengen es von ${}\{1,\ldots ,10\}$ gibt, in denen es keine Teilbarkeitsbeziehung gibt. Wir gehen die Teilmengen entlang ihres minimalen Elementes durch.

Da die ${}1$ jede Zahl teilt, darf die ${}1$ in der Auswahl nicht vorkommen.

Wenn die ${}2$ (als minimales Element) vorkommt, so darf keine weitere gerade Zahl vorkommen. Dann müssen die anderen Zahlen ${}3,5,7,9$ sein, doch ${}3$ teilt ${}9$. Es gibt also keine erlaubte Auswahl von diesem Typ.

Wenn die ${}3$ (als minimales Element) vorkommt, so darf weder die ${}6$ noch die ${}9$ vorkommen. Es verbleiben ${}\{4,5,7,8,10\}$. Da es darin zwei Teilbarkeitsbeziehungen gibt, gibt es keine erlaubte Auswahl von diesem Typ.

Wenn die ${}4$ (als minimales Element) vorkommt, so darf die ${}8$ nicht vorkommen. Dies ergibt die Möglichkeit ${}\{4,5,6,7,9\}$ und ${}\{4,6,7,9,10\}$.

Wenn die ${}5$ (als minimales Element) vorkommt, so darf die ${}10$ nicht vorkommen. Dies ergibt die Möglichkeit ${}\{5,6,7,8,9\}$.

Wenn die ${}6$ (als minimales Element) vorkommt, so ergibt dies die Möglichkeit ${}\{6,7,8,9,10\}$.

Es gibt also insgesamt ${}4$ mögliche Auswahlen, die die Bedingung erfüllen. Insgesamt gibt es

${}{\binom {10}{5}}={\frac {10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}=9\cdot 4\cdot 7=252\,$

Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit ist also gleich

${}{\frac {4}{252}}={\frac {1}{63}}\,.$