Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/8/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	4	1	14	4	3	5	4	2	3	1	3	7	3	4	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit ${}m$ Gleichungen in ${}n$ Variablen über einem Körper ${}K$ .
Eine invertierbare ${}n\times n$ -Matrix ${}M$ über einem Körper ${}K$ .
Die Symmetrie einer Relation ${}R$ auf einer Menge ${}M$ .
Eine ${}k$ -te Wurzel zu ${}r\in R$ in einem kommutativen Halbring ${}R$ .
Die Stetigkeit einer Funktion
$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

in einem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$ .
Die vollständige Unabhängigkeit von Ereignissen
${}E_{1},\ldots ,E_{k}\subseteq M\,$

in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum ${}(M,\mu )$ .

Lösung

Das System
${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\end{matrix}}$
heißt ein inhomogenes lineares Gleichungssystem, wobei die ${}a_{ij}$ und die ${}c_{i}$ aus ${}K$ sind.
Die Matrix ${}M$ heißt invertierbar, wenn es eine Matrix ${}A\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ mit
${}A\circ M=E_{n}=M\circ A\,$

gibt.
Die Relation ${}R$ heißt symmetrisch, wenn aus ${}xRy$ stets ${}yRx$ folgt.
Man nennt ein Element ${}x\in R$ mit
${}x^{k}=r\,$

eine ${}k$ -te Wurzel von ${}r$ .
Man sagt, dass ${}f$ stetig im Punkt ${}x$ ist,wenn es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ derart gibt, dass für alle ${}x'$ mit ${}\vert {x-x'}\vert \leq \delta$ die Abschätzung ${}\vert {f(x)-f(x')}\vert \leq \epsilon$ gilt.
Die vollständige Unabhängigkeit der Ereignisse ${}E_{1},\ldots ,E_{k}$ bedeutet, dass für jedes ${}r$ , ${}2\leq r\leq k$ , und jede ${}r$ -elementige Teilmenge ${}I\subseteq \{1,\ldots ,k\}$ die Gleichheit
${}\mu {\left(\bigcap _{i\in I}E_{i}\right)}=\prod _{i\in I}\mu (E_{i})\,$

gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

Der Satz über die Punktrichtungsform für eine lineare Gleichung in zwei Variablen.
Der Satz über die inverse Folge zu einer Cauchy-Folge.
Das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Abbildung
$f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

in einem Punkt
${}x\in D$ .

Lösung

Es sei ${}K$ ein Körper und sei
${}ax+by=c\,$

eine lineare Gleichung in zwei Variablen über ${}K$ mit ${}(a,b)\neq 0$ . Dann ist die Lösungsmenge eine Gerade
in ${}K^{2}$ . Als Richtungsvektor kann man den Vektor ${}{\begin{pmatrix}b\\-a\end{pmatrix}}$ nehmen.
Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper mit der Eigenschaft, dass es ein ${}a>0$ und ein ${}n_{0}$ derart gibt, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Abschätzung
${}x_{n}\geq a\,$

gilt. Dann ist auch die durch (für ${}n$ hinreichend groß)

${}y_{n}={\left(x_{n}\right)}^{-1}\,$
gegebene inverse Folge eine Cauchy-Folge.
Für ${}f\colon D\rightarrow \mathbb {R}$ ${}f\colon D\rightarrow \mathbb {R}$ sind folgende Aussagen äquivalent.
1. ${}f$ ist stetig im Punkt ${}x$ .
2. Für jede konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}D$ mit ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x$ ist auch die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent mit dem Grenzwert ${}f(x)$ .

Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

Überführe die Matrixgleichung
${}{\begin{pmatrix}3&7\\-4&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,$

in ein lineares Gleichungssystem.
Löse dieses lineare Gleichungssystem.

Lösung

Die einzelnen Einträge der Matrixgleichung ergeben das lineare Gleichungssystem
${}3x+7z=1\,$

${}-4x+5z=0\,$

${}3y+7w=0\,$

${}-4y+5w=1\,.$
Aus der ersten und der zweiten Gleichung ergibt sich mittels ${}4I+3II$ die Bedingung
${}43z=4\,$

und somit

${}z={\frac {4}{43}}\,.$

Daher ist

${}x={\frac {5}{4}}z={\frac {5}{4}}\cdot {\frac {4}{43}}={\frac {5}{43}}\,.$

Aus der dritten und der vierten Gleichung ergibt sich mittels ${}4III+3IV$ die Bedingung

${}43w=3\,$

und somit

${}w={\frac {3}{43}}\,.$

Daher ist

${}y=-{\frac {7}{3}}w=-{\frac {7}{3}}\cdot {\frac {3}{43}}=-{\frac {7}{43}}\,.$

Aufgabe (1 Punkt)

Beschreibe die Gerade im ${}\mathbb {R} ^{2}$ , die durch die beiden Punkte ${}(2,3)$ und ${}(5,-7)$ verläuft, in Punktvektorform.

Lösung

Die Gerade wird durch

{}{\left\{{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}+t\left({\begin{pmatrix}5\\-7\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}\right)\mid t\in \mathbb {R} \right\}}={\left\{{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}3\\-10\end{pmatrix}}\mid t\in \mathbb {R} \right\}}\,

beschrieben.

Aufgabe (14 (3+2+2+7) Punkte)

Betrachte auf ${}\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \{0\})$ die Relation

(a,b)\sim (c,d),\,{\text{ falls }}ad=bc{\text{ ist}}.

a) Zeige, dass ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.

b) Zeige, dass es zu jedem ${}(a,b)$ ein äquivalentes Paar ${}(a',b')$ mit ${}b'>0$ gibt.

c) Es sei ${}M$ die Menge der Äquivalenzklassen dieser Äquivalenzrelation. Wir definieren eine Abbildung

\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow M,\,z\longmapsto [(z,1)].

Zeige, dass ${}\varphi$ injektiv ist.

d) Definiere auf ${}M$ (aus Teil c) eine Verknüpfung ${}+$ derart, dass ${}M$ mit dieser Verknüpfung und mit ${}[(0,1)]$ als neutralem Element eine Gruppe wird, und dass für die Abbildung ${}\varphi$ die Beziehung

{}\varphi (z_{1}+z_{2})=\varphi (z_{1})+\varphi (z_{2})\,

für alle ${}z_{1},z_{2}\in \mathbb {Z}$ gilt.

Lösung

a) Wegen der Kommutativität der Multiplikation in ${}\mathbb {Z}$ ist ${}ab=ba$ , woraus die Reflexivität folgt. Zur Symmetrie sei ${}(a,b)\sim (c,d)$ , also ${}ad=bc$ . Dann ist auch ${}cb=da$ , was ${}(c,d)\sim (a,b)$

bedeutet. Zur Transitivität sei

(a,b)\sim (c,d){\text{ und }}(c,d)\sim (e,f),

also

ad=bc{\text{ und }}cf=de.

Aus diesen beiden Gleichungen ergibt sich

{}adf=bcf=bde\,.

Da

${}d\neq 0$ ist, folgt daraus ${}af=be$ , was ${}(a,b)\sim (e,f)$ bedeutet.

b) Es sei ${}(a,b)$ vorgegeben. Wegen ${}b\neq 0$ ist ${}b>0$ oder ${}b<0$ . Bei ${}b>0$ sind wir fertig, da ${}(a,b)$ zu sich selbst äquivalent ist. Bei ${}b<0$ betrachten wir ${}(-a,-b)$ . Der

zweite Eintrag ist positiv, und wegen

{}a(-b)=-(ab)=b(-a)\,

sind

{}(a,b)

und

{}(-a,-b)

äquivalent zueinander.

c) Es seien ${}z_{1},z_{2}\in \mathbb {Z}$ vorgegeben und ${}\varphi (z_{1})=\varphi (z_{2})$ . Das bedeutet

{}[(z_{1},1)]=[(z_{2},1)]

bzw.

{}(z_{1},1)\sim (z_{2},1)

, also

{}z_{1}=z_{1}1=1z_{2}=z_{2}\,.

d) Wir setzen

[(a,b)]+[(c,d)]:=[(ad+cb,bd)].

Wegen

{}b,d\neq 0

ist auch

${}bd\neq 0$ . Zur Wohldefiniertheit dieser Verknüpfung sei

(a,b)\sim (a',b'){\text{ und }}(c,d)\sim (c',d'),

also

ab'=a'b{\text{ und }}cd'=c'd.

Wir behaupten

(ad+cb,bd)\sim (a'd'+c'b',b'd').

Dies folgt aus

{}{\begin{aligned}(ad+cb)b'd'&=adb'd'+cbb'd'\\&=ab'dd'+cd'bb'\\&=a'bdd'+c'dbb'\\&=bda'd'+bdc'b'\\&=bd(a'd'+c'b').\end{aligned}}

Die Assoziativität folgt aus

{}{\begin{aligned}([(a,b)]+[(c,d)])+[(e,f)]&=[(ad+bc,bd)]+[(e,f)]\\&=[(ad+bc)f+bde,bdf]\\&=[adf+bcf+bde,bdf]\\&=[adf+b(cf+de),bdf]\\&=[(a,b)]+([(cf+de,df)])\\&=[(a,b)]+([(c,d)]+[(e,f)]).\end{aligned}}

Wegen

{}[(a,b)]+[(0,1)]=[(a1+b0,b1)]=[(a,b)]\,

(und ebenso

in der anderen Reihenfolge) ist ${}(0,1)$ das neutrale Element.

Wir behaupten, dass zu ${}[(a,b)]$ das inverse Element durch ${}[(-a,b)]$ gegeben ist. Dies folgt aus

{}[(a,b)]+[(-a,b)]=[(ab+b(-a),b^{2})]=[(ab-ab,b^{2})]=[(0,b^{2})]=[(0,1)]\,,

wobei die letzte Gleichung sich aus ${}0\cdot 1=0\cdot b^{2}$ ergibt (ebenso in der anderen Reihenfolge).

Schließlich ist für ${}z_{1},z_{2}\in \mathbb {Z}$

{}\varphi (z_{1}+z_{2})=[(z_{1}+z_{2},1)]=[(z_{1}\cdot 1+1\cdot z_{2},1\cdot 1)]=[(z_{1},1)]+[(z_{2},1)]=\varphi (z_{1})+\varphi (z_{2})\,.

Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)

a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen ${}a,b,c\in {]0,1[}$ mit

{}a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.

b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen ${}a,b,c\in {]0,1[}$ mit

{}a^{2}+b^{2}\neq c^{2}\,.

c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen ${}a,b\in {]0,1[}$ und eine rationale Zahl ${}c\in {]0,1[}$ mit

{}a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.

Lösung

a) Es ist

{}3^{2}+4^{2}=5^{2}\,,

daher ist

{}{\left({\frac {3}{6}}\right)}^{2}+{\left({\frac {4}{6}}\right)}^{2}={\left({\frac {5}{6}}\right)}^{2}\,,

und diese Zahlen sind rational und aus dem offenen Einheitsintervall.

b) Wir nehmen ${}a={\frac {3}{6}}$ und ${}b={\frac {4}{6}}$ und ${}c={\frac {1}{6}}$ . Die Summe ist

{}a^{2}+b^{2}={\left({\frac {5}{6}}\right)}^{2}\neq {\left({\frac {1}{6}}\right)}^{2}\,.

c) Wir setzen

{}a=b={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\,;

diese Zahl ist irrational, da ${}{\sqrt {2}}$ irrational ist. Es gilt

{}{\left({\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\right)}^{2}+{\left({\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\right)}^{2}={\frac {1}{4\cdot 2}}+{\frac {1}{4\cdot 2}}={\frac {1}{4}}={\left({\frac {1}{2}}\right)}^{2}\,.

Mit ${}c={\frac {1}{2}}$ ist also ein Beispiel der gewünschten Art gefunden.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass in einem angeordneten Körper jede konvergente Folge eine Cauchy-Folge ist.

Lösung

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die konvergente Folge mit Grenzwert ${}x$ . Sei ${}\epsilon >0$ gegeben. Wir wenden die Konvergenzeigenschaft auf ${}\epsilon /2$ an. Daher gibt es ein ${}n_{0}$ mit

\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon /2{\text{ für alle }}n\geq n_{0}.

Für beliebige ${}n,m\geq n_{0}$ gilt dann aufgrund der Dreiecksungleichung

{}\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \vert {x_{n}-x}\vert +\vert {x-x_{m}}\vert \leq \epsilon /2+\epsilon /2=\epsilon \,.

Also liegt eine Cauchy-Folge vor.

Aufgabe (5 Punkte)

Die beiden reellen Zahlen ${}x$ und ${}y$ besitzen die Dezimalentwicklungen

{}x=0{,}2{\overline {13}}\,

und

{}y=0{,}{\overline {127}}\,.

Bestimme die Dezimalentwicklung von ${}x+y$ .

Lösung

Es ist

{}{\begin{aligned}0{,}2{\overline {13}}&={\frac {2}{10}}+0{,}0{\overline {13}}\\&={\frac {2}{10}}+{\frac {1}{10}}\cdot 0{,}{\overline {13}}\\&={\frac {2}{10}}+{\frac {1}{10}}\cdot 0{,}{\overline {131313}}\\&={\frac {2}{10}}+{\frac {1}{10}}\cdot {\frac {131313}{999999}}\end{aligned}}

und

{}{\begin{aligned}0{,}{\overline {127}}&=0{,}{\overline {127127}}\\&={\frac {127127}{999999}}.\end{aligned}}

Somit ist

{}{\begin{aligned}0{,}2{\overline {13}}+0{,}{\overline {127}}&={\frac {2}{10}}+{\frac {1}{10}}\cdot {\frac {131313}{999999}}+{\frac {127127}{999999}}\\&={\frac {2}{10}}+{\frac {1}{10}}\cdot {\left({\frac {131313}{999999}}+{\frac {1271270}{999999}}\right)}\\&={\frac {2}{10}}+{\frac {1}{10}}\cdot {\frac {1402583}{999999}}\\&={\frac {2}{10}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{10}}\cdot {\frac {402584}{999999}}\\&={\frac {3}{10}}+{\frac {1}{10}}\cdot 0{,}{\overline {402584}}\\&=0{,}3{\overline {402584}}.\end{aligned}}

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige unter Verwendung der Bernoullischen Ungleichung, dass die Folge

{}x_{n}={\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}\,

wachsend ist.

Lösung

Aufgrund der Bernoulli-Ungleichung gilt

{}{\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)}^{n}\geq 1-n{\frac {1}{n^{2}}}=1-{\frac {1}{n}}\,.

Dies schreiben wir als

{}{\frac {n-1}{n}}\leq {\left({\frac {n^{2}-1}{n^{2}}}\right)}^{n}={\left({\frac {n+1}{n}}\cdot {\frac {n-1}{n}}\right)}^{n}={\left({\frac {n+1}{n}}\right)}^{n}{\left({\frac {n-1}{n}}\right)}^{n}\,.

Daraus ergibt sich durch beidseitige Multiplikation mit ${}{\left({\frac {n}{n-1}}\right)}^{n}$ (es sei ${}n\geq 2$ .) die Abschätzung

{}a_{n-1}={\left({\frac {n}{n-1}}\right)}^{n-1}\leq {\left({\frac {n+1}{n}}\right)}^{n}=a_{n}\,.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme eine Symmetrieachse für den Graphen der Funktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2}-7x+5.

Lösung

Wir schreiben

{}{\begin{aligned}f(x)&=x^{2}-7x+5\\&={\left(x-{\frac {7}{2}}\right)}^{2}-{\frac {49}{4}}+5\\&={\left(x-{\frac {7}{2}}\right)}^{2}-{\frac {29}{4}}.\end{aligned}}

Daher ist die durch ${}x={\frac {7}{2}}$ gegebene Gerade eine Spiegelungsachse für den Graphen.

Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

Berechne das Produkt
${\left(2-3X+X^{2}\right)}\cdot {\left(-5+4X-3X^{2}\right)}$

im Polynomring ${}\mathbb {Q} [X]$ .
Berechne das Produkt
${\left(2-3{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}^{2}\right)}\cdot {\left(-5+4{\sqrt {2}}-3{\sqrt {2}}^{2}\right)}$

in ${}\mathbb {R}$ auf zwei verschiedene Arten.

Lösung

Es ist
${}{\begin{aligned}(2-3X+X^{2})\cdot (-5+4X-3X^{2})&=-10+8X+15X-6X^{2}-5X^{2}-12X^{2}+4X^{3}+9X^{3}-3X^{4}\\&=-10+23X-23X^{2}+13X^{3}-3X^{4}.\,\end{aligned}}$
Es ist einerseits direkt
${}{\begin{aligned}(2-3{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}^{2})\cdot (-5+4{\sqrt {2}}-3{\sqrt {2}}^{2})&={\left(4-3{\sqrt {2}}\right)}{\left(-11+4{\sqrt {2}}\right)}\\&=-44-12\cdot 2+(16+33){\sqrt {2}}\\&=-68+49{\sqrt {2}}.\end{aligned}}$
Andererseits kann man im Ergebnis von Teil 1 die Variable ${}X$ durch ${}{\sqrt {2}}$ ersetzen und erhält
${}{\begin{aligned}-10+23{\sqrt {2}}-23{\sqrt {2}}^{2}+13{\sqrt {2}}^{3}-3{\sqrt {2}}^{4}&=-10+23{\sqrt {2}}-23\cdot 2+13\cdot 2{\sqrt {2}}-3\cdot 4\\&=-68+49{\sqrt {2}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme die Lösungen der Gleichung

{}x^{2}=x\,

über ${}\mathbb {Z} /(6)$ .

Lösung

Neben den Standardlösungen ${}0$ und ${}1$ ist

{}3^{2}=9=3\,

und

{}4^{2}=16=4\,.

Dagegen ist

{}2^{2}=4\neq 2\,

und

{}5^{2}=25=1\neq 5\,.

Die Lösungen sind also ${}\{0,1,3,4\}$ .

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}P$ und ${}Q$ verschiedene normierte Polynome vom Grad ${}d$ über einem Körper ${}K$ . Wie viele Schnittpunkte besitzen die beiden Graphen maximal?

Lösung

Ein Schnittpunkt liegt vor, wenn

{}P(x)=Q(x)\,

ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn ${}x$ eine Nullstelle von ${}P-Q$ ist. Da beide Polynome normiert sind und den gleichen Grad ${}d$ besitzen, hebt sich bei der Subtraktion der Leitterm weg und es ergibt sich ein Polynom vom Grad maximal ${}d-1$ . Da ${}P\neq Q$ ist, ist die Differenz nicht das Nullpolynom. Nach Korollar 50.8 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) besitzt somit ${}P-Q$ maximal ${}d-1$ Nullstellen, und daher gibt es maximal ${}d-1$ Schnittpunkte.

Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Stetigkeit der Umkehrfunktion zu einer streng wachsenden, stetigen Funktion ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ , zu einem Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$ .

Lösung

Dass das Bild wieder ein Intervall ist folgt aus Korollar 52.9 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)).
Die Funktion ${}f$ ist injektiv, da sie streng wachsend ist und damit ist die Abbildung

f\colon I\longrightarrow J

auf das Bild bijektiv.
Die Umkehrfunktion

f^{-1}\colon J\longrightarrow I

ist ebenfalls streng wachsend.
Sei ${}g:=f^{-1}$ und ${}y:=f(x)$ vorgegeben. Es sei zunächst ${}y$ kein Randpunkt von ${}J$ . Dann ist auch ${}x$ kein Randpunkt von ${}I$ . Sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben und ohne Einschränkung ${}[x-\epsilon ,x+\epsilon ]\subseteq I$ angenommen. Dann ist

{}\delta :={\min {\left(y-f(x-\epsilon ),f(x+\epsilon )-y\right)}}>0\,

und für ${}y'\in [y-\delta ,y+\delta ]$ gilt wegen der Monotonie

{}g(y')\in [g(y-\delta ),g(y+\delta )]\subseteq [x-\epsilon ,x+\epsilon ]\,.

Also ist ${}g$ stetig in ${}y$ . Wenn ${}y$ ein Randpunkt von ${}J$ ist, so ist auch ${}x$ ein Randpunkt von ${}I$ , sagen wir der rechte Randpunkt. Dann ist zu vorgegebenem ${}\epsilon >0$ wieder ${}[x-\epsilon ,x]\subseteq I$ und ${}\delta :=y-f(x-\epsilon )$ erfüllt die geforderte Eigenschaft.

Aufgabe (3 Punkte)

Mustafa Müller darf zu seinem ${}n$ -ten Geburtstag aus seiner Klasse ${}n$ Kinder einladen. Heute wird er ${}8$ , in seiner Klasse gibt es neben ihm ${}30$ Kinder. Da alle Kinder nett sind, wählt er zufällig aus. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die ${}7$ Kinder vom letztjährigen Geburtstag wieder eingeladen werden.

Lösung

Es gibt ${}{\binom {30}{8}}$ gleichberechtigte Einladungsmöglichkeiten. Wenn eine achtelementige Teilmenge eine fixierte siebenelementige Teilmenge enthalten soll, so gibt es nur die Möglichkeit, die siebenelementige Menge um eine achte Person aus den verbleibenden ${}30-7=23$ Kindern zu ergänzen. Dafür gibt es also ${}23$ Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit ist also

{}{\begin{aligned}{\frac {23}{\,\,{\binom {30}{8}}\,\,}}&={\frac {23}{\,\,{\frac {30\cdot 29\cdots 24\cdot 23}{8\cdot 7\cdots 2\cdot 1}}\,\,}}\\&={\frac {8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{30\cdot 29\cdot 28\cdot 27\cdot 26\cdot 25\cdot 24}}\\&={\frac {1}{15\cdot 29\cdot 9\cdot 13\cdot 5}}\\&={\frac {1}{254475}}.\end{aligned}}

Aufgabe (4 Punkte)

Aus den Zahlen ${}\{1,\ldots ,10\}$ werden zufällig fünf Zahlen gezogen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es unter den gezogenen Zahlen keine Teilbarkeitsbeziehung gibt.

Lösung

Wir zählen, wie viele fünfelementige Teilmengen es von ${}\{1,\ldots ,10\}$ gibt, in denen es keine Teilbarkeitsbeziehung gibt. Wir gehen die Teilmengen entlang ihres minimalen Elementes durch.

Da die ${}1$ jede Zahl teilt, darf die ${}1$ in der Auswahl nicht vorkommen.

Wenn die ${}2$ (als minimales Element) vorkommt, so darf keine weitere gerade Zahl vorkommen. Dann müssen die anderen Zahlen ${}3,5,7,9$ sein, doch ${}3$ teilt ${}9$ . Es gibt also keine erlaubte Auswahl von diesem Typ.

Wenn die ${}3$ (als minimales Element) vorkommt, so darf weder die ${}6$ noch die ${}9$ vorkommen. Es verbleiben ${}\{4,5,7,8,10\}$ . Da es darin zwei Teilbarkeitsbeziehungen gibt, gibt es keine erlaubte Auswahl von diesem Typ.

Wenn die ${}4$ (als minimales Element) vorkommt, so darf die ${}8$ nicht vorkommen. Dies ergibt die Möglichkeit ${}\{4,5,6,7,9\}$ und ${}\{4,6,7,9,10\}$ .

Wenn die ${}5$ (als minimales Element) vorkommt, so darf die ${}10$ nicht vorkommen. Dies ergibt die Möglichkeit ${}\{5,6,7,8,9\}$ .

Wenn die ${}6$ (als minimales Element) vorkommt, so ergibt dies die Möglichkeit ${}\{6,7,8,9,10\}$ .

Es gibt also insgesamt ${}4$ mögliche Auswahlen, die die Bedingung erfüllen. Insgesamt gibt es

{}{\binom {10}{5}}={\frac {10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}=9\cdot 4\cdot 7=252\,

Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit ist also gleich

{}{\frac {4}{252}}={\frac {1}{63}}\,.