Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Vorlesung 10/latex

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\setcounter{section}{10}






\zwischenueberschrift{Die Ordnung auf den natürlichen Zahlen}




\inputdefinition
{}
{

Man sagt, dass eine natürliche Zahl $n$ \definitionswort {größergleich}{} einer natürlichen Zahl $k$ ist, geschrieben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n }
{ \geq} {k }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wenn man von $k$ aus durch endlichfaches Nachfolgernehmen zu $n$ gelangt.

}






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Natural numbers.eps} }
\end{center}
\bildtext {Auf dem nach rechts verlaufenden Zahlenstrahl bedeutet
\mathl{n \geq k}{,} dass sich $n$ weiter rechts als $k$ befindet. Diese Intepretation gilt für alle reellen Zahlen.} }

\bildlizenz { Natural numbers.svg } {} {Junaidpv} {Commons} {gemeinfrei} {}

Statt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{ k }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} schreibt man auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k }
{ \leq }{n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {gesprochen kleinergleich} {} {.} Die Schreibweise
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ > }{k }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} bedeutet
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{k }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \neq }{k }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}





\inputfaktbeweis
{Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Addition/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Für \definitionsverweis {natürliche Zahlen}{}{}
\mathl{n,k}{} gilt}
\faktfolgerung {
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n }
{ \geq} {k }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} genau dann, wenn es ein
\mathl{m \in \N}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n }
{ =} {k+m }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Die Zahl $m$ gibt an, wie oft man von $k$ aus den Nachfolger nehmen muss, um zu $n$ zu gelangen.

}






\inputfaktbeweis
{Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/01/Alternative/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Für die Größergleich-Relation in den \definitionsverweis {natürlichen Zahlen}{}{} gelten die folgenden Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a }
{ \geq} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mathl{a \in \N}{.} }{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} oder
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a }
{ \geq} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a }
{ \geq} {b }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a }
{ =} {b }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} oder
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a }
{ \geq} {b+1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Wir verwenden die Charakterisierung aus Lemma 10.2. \aufzaehlungdrei{Ist klar wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{0+a }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Wir zeigen die Aussage
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \geq }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mathl{a \in \N}{} durch Induktion über $a$. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist die Aussage klar. Sei also angenommen, dass die Aussage für ein bestimmtes $a$ gelte. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \geq }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Im ersten Fall ist dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1+a }
{ = }{1+0 }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und insbesondere
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1+a }
{ \geq }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Im zweiten Fall ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{b+1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit einem
\mathl{b \in \N}{} und damit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a+1 }
{ = }{(b+1) +1 }
{ = }{ 1+ (b+1) }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Wird ähnlich wie (2) bewiesen, siehe Aufgabe 10.4. }

}






\inputfaktbeweis
{Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Total/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Auf den \definitionsverweis {natürlichen Zahlen}{}{}}
\faktfolgerung {ist durch die Größergleich-Relation $\geq$ eine \definitionsverweis {totale Ordnung}{}{} definiert.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Wir verwenden die Charakterisierung mit der Addition. Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{n+0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k }
{ \geq }{\ell }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \ell }
{ \geq }{m }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, so bedeutet dies, dass es natürliche Zahlen
\mathl{a,b}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k }
{ = }{ \ell +a }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \ell }
{ = }{m+b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt. Dann gilt insgesamt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ k }
{ =} { \ell +a }
{ =} { (m+b)+ a }
{ =} {m+ (b+a) }
{ } { }
} {}{}{} und somit ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k }
{ \geq }{ m }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k }
{ \geq }{ \ell }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\ell }
{ \geq }{k }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ergibt sich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k }
{ = }{ \ell +a }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\ell }
{ = }{ k+b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und somit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k }
{ = }{k+(a+b) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dies ist nach der Abziehregel nur bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a+b }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} möglich, und dies ist wiederum, da $0$ kein Nachfolger ist, nur bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{b }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} möglich. Die Aussage
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \geq }{b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ \geq }{a }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} beweisen wir durch Induktion über $a$ \zusatzklammer {für jedes feste $b$} {} {,} wobei der Induktionsanfang wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ \geq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} klar ist. Die Aussage gelte also für ein bestimmtes $a$. Wenn die erste Möglichkeit gilt, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \geq }{b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} so gilt wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a+1 }
{ >} {a }
{ \geq} {b }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} erst recht
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a+1 }
{ \geq }{b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wenn die zweite Möglichkeit gilt, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \leq }{b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} so gibt es zwei Möglichkeiten. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a+1 }
{ \geq }{b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und die Gesamtaussage gilt für
\mathl{a+1}{.} Andernfalls ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ < }{b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und somit ist nach Lemma 10.3  (3)
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a+1 }
{ \leq }{b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und die Gesamtaussage gilt erneut.

}


Wir begründen nun, dass die Ordnungsrelation mit der Addition und der Multiplikation verträglich ist.





\inputfaktbeweis
{Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Verträglichkeit/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es seien
\mathl{a,b,c}{} \definitionsverweis {natürliche Zahlen}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungfuenf{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a }
{ \geq} {b }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} genau dann, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a+c }
{ \geq} {b+c }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist. }{Aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a }
{ \geq} {b }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c }
{ \geq} {d }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a+c }
{ \geq} {b+d }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a }
{ \geq} {b }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ca }
{ \geq} {cb }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a }
{ \geq} {b }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c }
{ \geq} {d }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ac }
{ \geq} {bd }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c }
{ \geq} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ca }
{ \geq} {cb }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a }
{ \geq} {b }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

\aufzaehlungfuenf{Wir beweisen die Aussage duch Induktion über $c$. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist die Aussage klar. Für den Induktionsschritt müssen wir lediglich zeigen, dass die Aussage für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist die Aussage klar, da der Nachfolger wohldefiniert ist. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ > }{b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist nach Lemma 10.3  (3)
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \geq }{b+1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a+1 }
{ >} {a }
{ \geq} {b+1 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dies zeigt zugleich, dass aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ > }{b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a+1 }
{ > }{ b+1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt. Da die Ordnung total ist, folgt somit auch aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a+1 }
{ \geq }{ b+1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \geq }{b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Zweifache Anwendung von Teil (1) liefert
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a+c }
{ \geq} { b+c }
{ \geq} { b+d }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} so dass die Transitivität den Schluss ergibt. }{Wir führen Induktion nach $c$, die Fälle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c }
{ = }{0,1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sind klar. Sei die Aussage für $c$ bewiesen. Dann ist mit dem Distributivgesetz, der Induktionsvoraussetzung und Teil (2)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (c+1)a }
{ =} { ca +a }
{ \geq} { cb +b }
{ =} {(c+1)b }
{ } { }
} {}{}{.} }{Aus den Voraussetzungen und Teil (3) ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ac }
{ \geq} {bc }
{ \geq} {bd }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c }
{ \geq }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ > }{b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \geq }{b+1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und somit ist nach Teil (3)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ac }
{ \geq} {(b+1)c }
{ =} { bc +c }
{ \geq} {bc+1 }
{ } { }
} {}{}{,} also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ac }
{ > }{bc }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}

Die folgende Eigenschaft heißt \stichwort {Integritätseigenschaft} {.}




\inputfaktbeweis
{Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Integrität/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {}
\faktfolgerung {Das Produkt zweier natürlicher Zahlen ist nur dann gleich $0$, wenn einer der Faktoren $0$ ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Wenn die beiden Faktoren
\mathl{a,b}{} nicht $0$ sind, so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a,b }
{ \geq} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} nach Lemma 10.3  (2) und somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a \cdot b }
{ \geq} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} nach Satz 10.5  (4).

}


Die folgende Eigenschaft heißt \stichwort {Kürzungsregel} {.}




\inputfaktbeweis
{Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Kürzungsregel/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Aus einer Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n \cdot k }
{ = }{m \cdot k }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mathl{k,m,n \in \N}{} und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt}
\faktfolgerung {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{m }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Dies folgt unmittelbar aus Satz 10.5  (5) und daraus, dass eine \definitionsverweis {totale Ordnung}{}{} vorliegt.

}







\zwischenueberschrift{Maxima und Minima}




\inputdefinition
{}
{

Zu einer endlichen nichtleeren Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ \subseteq }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißt $a$ das \definitionswort {Maximum}{} von $T$, wenn
\mathl{a \in T}{} ist und wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \geq }{x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mathl{x \in T}{} gilt.

}




\inputdefinition
{}
{

Zu einer nichtleeren Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ \subseteq }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißt $b$ das \definitionswort {Minimum}{} von $T$, wenn
\mathl{b \in T}{} ist und wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ \leq }{x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mathl{x \in T}{} gilt.

}

Die leere Menge besitzt weder ein Maximum noch ein Minimum. Die Gesamtmenge $\N$ besitzt das Minimum $0$ und kein Maximum.







\zwischenueberschrift{Die Differenz von natürlichen Zahlen}






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Subtraction01.eps} }
\end{center}
\bildtext {Aus einer Menge mit $a$ Elementen wird eine Teilmenge mit $b$ Elementen \zusatzklammer {\mathlk{b \leq a}{}} {} {} herausgenommen. Zurück bleibt eine Menge mit
\mathl{a-b}{} Elementen.} }

\bildlizenz { Subtraction01.svg } {} {Nashev} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}




\inputdefinition
{}
{

Für \definitionsverweis {natürliche Zahlen}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a }
{ \geq} {b }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist
\mathl{a-b}{} diejenige natürliche Zahl $c$ für die
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a }
{ =} {b+c }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. Sie heißt die \definitionswort {Differenz}{} zwischen $a$ und $b$.

}

Man mache sich hier die Logik dieser Definition klar: Die Voraussetzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a }
{ \geq} {b }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} bedeutet nach Lemma 10.2 die Existenz einer natürlichen Zahl $c$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a }
{ =} {b+c }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dieses $c$ ist aufgrund der Abziehregel durch diese Eigenschaft eindeutig bestimmt. Die Differenz gibt an, wie oft man von $b$ aus den Nachfolger nehmen muss, um zu $a$ zu gelangen. Die charakteristische Eigenschaft ist die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b +(a-b) }
{ =} {a }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dabei ist
\mathl{a-b}{} die einzige Lösung für die Gleichung\zusatzfussnote {Das Gleichungskonzept werden wir später genauer besprechen} {.} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b+x }
{ =} {a }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Ferner ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a-a }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wenn eine Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a+b }
{ = }{c }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben ist, so sagt man beim Übergang zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a }
{ =} {c-b }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} auch, dass $b$ \zusatzklammer {beidseitig} {} {} abgezogen wird.

Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ < }{b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist der Ausdruck
\mathl{a-b}{} innerhalb der natürlichen Zahlen nicht definiert. Da zu
\mathl{a,b \in \N}{} stets
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a }
{ \geq} {b }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} oder
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b }
{ \geq} {a }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt, ist einer der beiden Ausdrücke \mathkor {} {a-b} {oder} {b-a} {} eine wohldefinierte natürliche Zahl. Oft nennt man auch diese Zahl, die sich ergibt, wenn man die beiden Zahlen richtig geordnet hat, die Differenz der beiden Zahlen.

Für die Differenz können wir einfach eine mengentheoretische Interpretation angeben.





\inputfaktbeweis
{Natürliche Zahlen/Differenz/Mengendifferenz/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei $M$ eine \definitionsverweis {endliche Menge}{}{} mit $m$ Elementen und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T }
{ \subseteq} { M }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine Teilmenge, die $k$ Elemente besitze.}
\faktfolgerung {Dann besitzt
\mathdisp {M \setminus T} { }
genau
\mathl{m-k}{} Elemente.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { T \uplus (M \setminus T) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine disjunkte Zerlegung. Daher gilt nach Satz 8.13
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m }
{ =} { { \# \left( M \right) } }
{ =} { { \# \left( T \right) } + { \# \left( M \setminus T \right) } }
{ =} { k + { \# \left( M \setminus T \right) } }
{ } { }
} {}{}{.} Somit erfüllt
\mathl{{ \# \left( M \setminus T \right) }}{} die charakteristische Eigenschaft der Differenz und ist daher gleich
\mathl{m-k}{.}

}






\inputfaktbeweis
{Natürliche Zahlen/Differenz/Rechengesetze/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {\aufzaehlungdrei{Für \definitionsverweis {natürliche Zahlen}{}{}
\mathl{a,b,c}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a }
{ \geq} {b }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b+c + (a-b) }
{ =} { c+a }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Insbesondere ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(b+c) - (a+c) }
{ = }{b-a }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für natürliche Zahlen
\mathl{a,b,c,d}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a }
{ \geq} {b }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c }
{ \geq} {d }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (a+c)- (b+d) }
{ =} { (a-b) + (c-d) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Insbesondere ist bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \geq }{b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} stets
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a+c) - (b+c) }
{ = }{ a-b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a+c)- b }
{ = }{ (a-b) + c }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b+c }
{ \geq} {a }
{ \geq} { b }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c }
{ \geq }{ a-b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c- (a-b) }
{ =} { (c+b ) -a }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }}
\faktfolgerung {}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

\aufzaehlungdrei{Aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b +(a-b) }
{ =} {a }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ergibt sich direkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b+c + (a-b) }
{ =} { c+a }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Der Zusatz ergibt sich aus der Eindeutigkeit der Differenz. }{Wegen Satz 10.5  (2) ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a+c }
{ \geq} {b+d }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} so dass der Ausdruck links einen Sinn ergibt. Die Rechnung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(b+d) +(a-b)+(c-d) }
{ =} { d+a +(c-d) }
{ =} {a+c }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} unter Verwendung der ersten Teils zeigt, dass
\mathl{(a-b) + (c-d)}{} die charakteristische Eigenschaft von
\mathl{(a+c) - (b+d)}{} erfüllt, also wegen der Eindeutigkeit damit übereinstimmt. }{Nach Teil (2) folgt aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \geq }{b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b+c }
{ \geq }{a }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (a-b) + ((b+c)-a ) }
{ =} { a+b+c- (a+b) }
{ =} { c }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und insbesondere
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c }
{ \geq }{a-b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Beidseitiges Abziehen von
\mathl{a-b}{} ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (b+c) -a }
{ =} { c- (a-b) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}


Die folgende Aussage ist das Distributivgesetz für die Differenz.





\inputfaktbeweis
{Natürliche Zahlen/Differenz/Distributivgesetz/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es seien
\mathl{a,b,c}{} natürliche Zahlen mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \geq }{b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c (a-b) }
{ =} { ca -cb }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Nach Satz 10.5 ist mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \geq }{ b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ca }
{ \geq }{cb }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} so dass
\mathl{ca -cb}{} wohldefiniert ist. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a }
{ =} {(a-b)+b }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und daher ist nach dem Distributivgesetz für die Addition und die Multiplikation
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ca }
{ =} { c ((a-b)+b) }
{ =} { c (a-b) +cb }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c(a-b) }
{ =} { ca-cb }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}



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