Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Vorlesung 10

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Die Ordnung auf den natürlichen Zahlen

Definition  

Man sagt, dass eine natürliche Zahl größergleich einer natürlichen Zahl ist, geschrieben

wenn man von aus durch endlichfaches Nachfolgernehmen zu gelangt.

Auf dem nach rechts verlaufenden Zahlenstrahl bedeutet , dass sich weiter rechts als befindet. Diese Intepretation gilt für alle reellen Zahlen.

Statt schreibt man auch (gesprochen kleinergleich). Die Schreibweise bedeutet und .



Lemma  

Für natürliche Zahlen gilt

genau dann, wenn es ein gibt mit

Beweis  

Die Zahl gibt an, wie oft man von aus den Nachfolger nehmen muss, um zu zu gelangen.




Lemma  

Für die Größergleich-Relation in den natürlichen Zahlen gelten die folgenden Aussagen.

  1. Es ist

    für alle .

  2. Es ist

    oder

  3. Bei

    gilt

    oder

Beweis  

Wir verwenden die Charakterisierung aus Lemma 10.2.

  1. Ist klar wegen .
  2. Wir zeigen die Aussage oder für alle durch Induktion über . Für ist die Aussage klar. Sei also angenommen, dass die Aussage für ein bestimmtes gelte. Dann ist oder . Im ersten Fall ist dann und insbesondere . Im zweiten Fall ist mit einem und damit .
  3. Wird ähnlich wie (2) bewiesen, siehe Aufgabe 10.4.




Satz  

Auf den natürlichen Zahlen

ist durch die Größergleich-Relation eine totale Ordnung definiert.

Beweis  

Wir verwenden die Charakterisierung mit der Addition. Wegen ist . Wenn und ist, so bedeutet dies, dass es natürliche Zahlen mit und gibt. Dann gilt insgesamt

und somit ist auch . Aus und ergibt sich und und somit . Dies ist nach der Abziehregel nur bei möglich, und dies ist wiederum, da kein Nachfolger ist, nur bei möglich. Die Aussage oder beweisen wir durch Induktion über (für jedes feste ), wobei der Induktionsanfang wegen klar ist. Die Aussage gelte also für ein bestimmtes . Wenn die erste Möglichkeit gilt, also , so gilt wegen

erst recht . Wenn die zweite Möglichkeit gilt, also , so gibt es zwei Möglichkeiten. Bei ist und die Gesamtaussage gilt für . Andernfalls ist und somit ist nach Lemma 10.3  (3) und die Gesamtaussage gilt erneut.


Wir begründen nun, dass die Ordnungsrelation mit der Addition und der Multiplikation verträglich ist.



Satz  

Es seien natürliche Zahlen. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Es ist

    genau dann, wenn

    ist.

  2. Aus

    und

    folgt

  3. Aus

    folgt

  4. Aus

    und

    folgt

  5. Aus

    und

    folgt

Beweis  

  1. Wir beweisen die Aussage duch Induktion über . Bei ist die Aussage klar. Für den Induktionsschritt müssen wir lediglich zeigen, dass die Aussage für gilt. Bei ist die Aussage klar, da der Nachfolger wohldefiniert ist. Bei ist nach Lemma 10.3  (3) und somit

    Dies zeigt zugleich, dass aus auch folgt. Da die Ordnung total ist, folgt somit auch aus die Beziehung .

  2. Zweifache Anwendung von Teil (1) liefert

    so dass die Transitivität den Schluss ergibt.

  3. Wir führen Induktion nach , die Fälle sind klar. Sei die Aussage für bewiesen. Dann ist mit dem Distributivgesetz, der Induktionsvoraussetzung und Teil (2)
  4. Aus den Voraussetzungen und Teil (3) ergibt sich
  5. Sei und . Dann ist und somit ist nach Teil (3)

    also .

Die folgende Eigenschaft heißt Integritätseigenschaft.



Lemma  

Das Produkt zweier natürlicher Zahlen ist nur dann gleich , wenn einer der Faktoren ist.

Beweis  

Wenn die beiden Faktoren nicht sind, so ist

nach Lemma 10.3  (2) und somit ist

nach Satz 10.5  (4).


Die folgende Eigenschaft heißt Kürzungsregel.



Lemma  

Aus einer Gleichung mit und mit folgt

.

Beweis  

Dies folgt unmittelbar aus Satz 10.5  (5) und daraus, dass eine totale Ordnung vorliegt.




Maxima und Minima

Definition  

Zu einer endlichen nichtleeren Teilmenge heißt das Maximum von , wenn ist und wenn für alle gilt.


Definition  

Zu einer nichtleeren Teilmenge heißt das Minimum von , wenn ist und wenn für alle gilt.

Die leere Menge besitzt weder ein Maximum noch ein Minimum. Die Gesamtmenge besitzt das Minimum und kein Maximum.



Die Differenz von natürlichen Zahlen
Aus einer Menge mit Elementen wird eine Teilmenge mit Elementen () herausgenommen. Zurück bleibt eine Menge mit Elementen.

Definition  

Für natürliche Zahlen

ist diejenige natürliche Zahl für die

gilt. Sie heißt die Differenz zwischen und .

Man mache sich hier die Logik dieser Definition klar: Die Voraussetzung

bedeutet nach Lemma 10.2 die Existenz einer natürlichen Zahl mit

Dieses ist aufgrund der Abziehregel durch diese Eigenschaft eindeutig bestimmt. Die Differenz gibt an, wie oft man von aus den Nachfolger nehmen muss, um zu zu gelangen. Die charakteristische Eigenschaft ist die Gleichheit

Dabei ist die einzige Lösung für die Gleichung[1]

Ferner ist . Für ist der Ausdruck innerhalb der natürlichen Zahlen nicht definiert. Da zu stets

oder

gilt, ist einer der Ausdrücke oder eine wohldefinierte natürliche Zahl. Oft nennt man auch diese Zahl, die sich ergibt, wenn man die beiden Zahlen richtig geordnet hat, die Differenz der beiden Zahlen.

Für die Differenz können wir einfach eine mengentheoretische Interpretation angeben.



Satz  

Es sei eine endliche Menge mit Elementen und es sei

eine Teilmenge, die Elemente besitze.

Dann besitzt

genau Elemente.

Beweis  

Es ist

eine disjunkte Zerlegung. Daher gilt nach Satz 8.12

Somit erfüllt die charakteristische Eigenschaft der Differenz und ist daher gleich .




Lemma  

  1. Für natürliche Zahlen mit

    ist

    Insbesondere ist .

  2. Für natürliche Zahlen mit

    und

    ist

    Insbesondere ist bei stets und .

  3. Bei

    ist und es ist

Beweis  

  1. Aus

    ergibt sich direkt

    Der Zusatz ergibt sich aus der Eindeutigkeit der Differenz.

  2. Wegen Satz 10.5  (2) ist

    so dass der Ausdruck rechts einen Sinn ergibt. Die Rechnung

    unter Verwendung der ersten Teils zeigt, dass die charakteristische Eigenschaft von erfüllt, also wegen der Eindeutigkeit damit übereinstimmt.

  3. Nach Teil (2) folgt aus und die Beziehung

    Beidseitiges Abziehen von ergibt


Die folgende Aussage ist das Distributivgesetz für die Differenz.



Lemma  

Es seien natürliche Zahlen mit .

Dann ist

Beweis  

Nach Satz 10.5 ist mit auch , so dass wohldefiniert ist. Es ist

und daher ist

Also ist



Fußnoten
  1. Das Gleichungskonzept werden wir später genauer besprechen.


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