Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Vorlesung 13
- Elementare Kombinatorik
In dieser Vorlesung beschäftigen wir uns mit elementarer Kombinatorik, dabei ist ein wichtiges Ziel, die Binomialkoeffizienten einzuführen, um die allgemeine binomische Formel formulieren und beweisen zu können. Die Kombinatorik beschäftigt sich mit dem systematischen Abzählen (Anzahl bestimmen) von endlichen Mengen. Zwei wichtige Prinzipien haben wir schon kennengelernt, nämlich das Additivitätsprinzip für disjunkte Mengen (Satz 8.13) und das Multiplikativitätsprinzip für Produktmengen (Satz 9.4). In der folgenden Aussage bezeichnen wir zu einer Abbildung
zu die Menge
als Urbildmenge zu .
Da jedes Element auf genau ein Element aus abgebildet wird, liegt eine disjunkte Vereinigung
vor. Nach Satz 8.13 ist daher die Gesamtanzahl der Menge gleich der Summe der Anzahlen der disjunkten Teilmengen.
- Die Fakultät
Bei einem Tanzkurs mit Damen und Herren gilt heute beim Schneewalzer Damenwahl, wobei die Damen in der Reihenfolge ihrer Sitzordnung wählen dürfen. Die erste Dame hat Wahlmöglichkeiten, die zweite Möglichkeiten, die dritte Möglichkeiten, u.s.w., die vorletze Dame hat noch zwei Möglichkeiten und für die letzte Dame verbleibt eine Möglichkeit.
Zu einer natürlichen Zahl nennt man die Zahl
die Fakultät von (sprich Fakultät).
Es ist . Man setzt . Für kleine erhält man die folgende Wertetabelle.
Auf einer endlichen Menge mit Elementen
gibt es bijektive Abbildungen von nach .
Wir zeigen etwas allgemeiner, dass es zwischen zwei endlichen Mengen und , die beide Elemente besitzen, bijektive Abbildungen gibt. Dies zeigen wir durch Induktion nach , wobei der Fall[1] klar ist. Die Aussage sei nun für schon bewiesen und es liegen zwei -elementige Mengen und vor. Es sei ein fixiertes Element. Dann gibt es für die Bilder genau Möglichkeiten, nämlich die Anzahl der Menge . Wenn dies festgelegt ist, so entsprechen die bijektiven Abbildungen von nach mit
den bijektiven Abbildungen von nach . Nach Induktionsvoraussetzung gibt es solche bijektiven Abbildungen. Daher ist die Anzahl der bijektiven Abbildungen zwischen und gleich
Gleichbedeutend damit ist, dass es Möglichkeiten gibt, Objekte auf Plätze zu verteilen, oder Möglichkeiten, eine Menge von Objekten abzuzählen
(durchzunummerieren).
Wir möchten eine vollständige Liste von allen bijektiven Abbildungen von der Menge in die Menge in der Form von Wertetabellen angeben. Wegen
gibt es sechs solche Abbildungen. Es gibt keine natürliche Reihenfolge dieser Abbildungen, dennoch kann man hier mehr oder weniger systematisch vorgehen. Beispielsweise kann man den Wert an der Stelle zuerst festlegen und dann die möglichen Kombinationen für und durchgehen. Dies führt auf die folgenden Wertetabellen.
- Die Binomialkoeffizienten
Es seien und natürliche Zahlen mit . Dann nennt man
den Binomialkoeffizienten „ über “.
Von der Definition her ist es nicht sofort klar, dass ein Teiler von ist und dass es sich somit bei den Binomialkoeffizienten um natürliche Zahlen handelt. Dies folgt aus der folgenden Beziehung.
Die Anzahl der -elementigen Teilmengen in einer -elementigen Menge ist
Insbesondere sind die Binomialkoeffizienten natürliche Zahlen.
Es sei eine -elementige Menge und
eine -elementige Teilmenge. Wir betrachten die Menge aller bijektiven Abbildungen
die zusätzlich auf (und damit) auf abbilden. Nach Lemma 13.3 und nach Satz 9.4 gibt es solche Abbildungen. Insgesamt gibt es bijektive Abbildungen von nach . Daher ist
Insbesondere ist ein Teiler von und es ist
die Anzahl der -elementigen Teilmengen von .
Für die Binomialkoeffizienten gilt die Regel
wie unmittelbar aus der Definition folgt. Dies kann man sich auch mit Hilfe von Satz 13.6 klar machen. Die Komplementabbildung
auf einer -elementigen Menge ist bijektiv und bildet -elementige Teilmengen auf -elementige Teilmengen ab.
Den Binomialkoeffizienten kann man auch als
schreiben, da die Faktoren aus auch in vorkommen und daher kürzbar sind. In dieser Darstellung stehen im Zähler und im Nenner gleich viele Faktoren. Gelegentlich ist es sinnvoll, auch negative oder zuzulassen und in diesen Fällen die Binomialkoeffizienten gleich zu setzen. Dies passt zur Interpretation in Satz 13.6.
In der vierelementigen Menge gibt es
zweielementige Teilmengen. Diese sind
In einer -elementigen Menge gibt es genau
-elementige Teilmengen. Es gibt also so viele mögliche Zahlenkombinationen beim Lotto „Sechs aus 49“. Der Kehrwert von dieser Zahl ist die Wahrscheinlichkeit, beim Lotto sechs Richtige zu haben. Es werden dabei die Teilmengen gezählt, nicht die möglichen Ziehreihenfolgen. Die Anzahl der möglichen Ziehreihenfolgen ist
zu jeder sechselementigen Teilmenge gibt es mögliche Ziehreihenfolgen die auf diese Teilmenge führen.
Wir geben noch einen zweiten Beweis für diese Aussage, der sich an der inhaltlichen Beschreibung als Teilmengenanzahl orientiert.
Es sei eine -elementige Menge und ein fixiertes Element. Nach Satz 13.6 ist die Anzahl der -elementigen Teilmengen von gleich . Eine solche Teilmenge enthält entweder oder aber nicht. Im ersten Fall entspricht dann eine solche Teilmenge einer -elementigen Teilmenge von , das ergibt den Summanden . Im zweiten Fall entspricht eine solche Teilmenge einer -elementigen Teilmenge von , das ergibt den Summanden .
- Der binomische Lehrsatz
Die folgende allgemeine binomische Formel oder binomischer Lehrsatz bringt die Addition, die Multiplikation und die Potenzierung in einem kommutativen Halbring und insbesondere für die natürlichen Zahlen miteinander in Beziehung.
Wir führen Induktion nach . Für steht einerseits und andererseits . Es sei die Aussage bereits für bewiesen. Dann ist
Den vorstehenden Satz kann man sich auf folgendermaßen klar machen. Beim Ausmultiplizieren von
muss jeder Summand (in jedem Faktor) mit jedem Summanden multipliziert werden. Für jedes Teilprodukt muss man sich bei jedem Faktor entscheiden, ob man den vorderen Summanden oder den hinteren Summanden nimmt. Die einzelnen Produkte haben die Form , wobei die Anzahl der Faktoren ist, bei denen gewählt wurde und die Anzahl der Faktoren ist, bei denen gewählt wurde. Wenn man fixiert, so kann man sich fragen, auf wie viele Arten das Produkt zustande kommen kann. Eine solche Möglichkeit ist dadurch gegeben, dass man unter den Faktoren bestimmt, an welchen von ihnen gewählt wird. Die Anzahl der Möglichkeiten ist also die Anzahl der -elementigen Teilmengen von , also gleich .
- Fußnoten
- ↑ Man kann auch bei beginnen, dann geht es um die Anzahl der Abbildungen von einer leeren Menge in eine leere Menge. Da gibt es in der Tat eine Abbildung, nämlich die leere Abbildung, was auch der Grund ist, warum man setzt.
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