Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II/Liste der Hauptsätze/Zufallsabfrage
Es sei ein Körper und
eine lineare Gleichung über in den Variablen . Es sei .
Dann steht die Lösungsmenge der Gleichung in einer natürlichen Bijektion zum , und zwar über die Abbildungen
und
Es sei ein Körper und ein (inhomogenes) lineares Gleichungssystem über in den Variablen . Es sei eine Variable, die in mindestens einer Gleichung mit einem von verschiedenen Koeffizienten vorkommt.
Dann lässt sich jede von verschiedene Gleichung durch eine Gleichung ersetzen, in der nicht mehr vorkommt, und zwar so, dass das neue Gleichungssystem , das aus und den Gleichungen besteht, äquivalent zum Ausgangssystem ist.
Jedes (inhomogene) lineare Gleichungssystem über einem Körper
lässt sich durch die in Lemma 32.3 beschriebenen elementaren Umformungen und durch das Weglassen von überflüssigen Gleichungen in ein äquivalentes lineares Gleichungssystem der Stufenform
überführen, bei dem alle Startkoeffizienten von verschieden sind.
Dabei ist (bei ) die letzte Zeile überflüssig oder aber (bei ) das System besitzt keine Lösung.
Durch Variablenumbenennungen erhält man ein äquivalentes System der Form
mit Diagonalelementen .
Es sei ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über einem Körper in Dreiecksgestalt
mit gegeben, wobei vorne die Diagonalelemente alle ungleich seien.
Dann stehen die Lösungen in Bijektion zu den Tupeln . D.h. die hinteren Einträge sind frei wählbar und legen eine eindeutige Lösung fest, und jede Lösung wird dabei erfasst.
Es seien Vektoren im . Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
- Die Vektoren bilden ein Erzeugendensystem des .
- Für jeden Standardvektor gibt es eine Darstellung als
Linearkombination
- Für jedes
ist das lineare Gleichungssystem
lösbar.
Es seien Vektoren im . Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
- Die Vektoren bilden eine Basis des .
- Die Vektoren bilden ein
Erzeugendensystem
des , und die einzige Darstellung des Nullvektors als
Linearkombination
der ist die triviale Darstellung
- Für jedes
besitzt das lineare Gleichungssystem
eine eindeutige Lösung.
Es sei ein Körper und
ein homogenes lineares Gleichungssystem über .
Dann ist die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des (mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).
Es sei ein Körper und
ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über .
Dann ist die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein (affiner) Unterraum des . Dabei kann man jede Lösung als Aufpunkt nehmen, und der zugehörige Untervektorraum ist der Lösungsraum zum zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystem.
Es sei ein Körper und sei
eine lineare Gleichung in zwei Variablen über mit .
Dann ist die Lösungsmenge eine Gerade in . Als Richtungsvektor kann man den Vektor nehmen.
Es sei ein Körper und sei
eine lineare Gleichung in drei Variablen über mit .
Dann ist die Lösungsmenge eine Ebene im . Wenn ist, so kann man als Richtungsvektoren die beiden Vektoren und nehmen.
Es sei ein Körper und sei
eine lineare Abbildung.
Dann ist genau dann injektiv, wenn ist.
Es sei ein Körper und . Es seien , , Elemente in .
Dann gibt es genau eine lineare Abbildung
mit
wobei den -ten Standardvektor bezeichnet.
Es sei eine - Matrix und eine -Matrix und es seien
die zugehörigen linearen Abbildungen.
Dann beschreibt das Matrixprodukt die Hintereinanderschaltung der beiden linearen Abbildungen.
Es sei ein Körper und sei eine lineare Abbildung mit zugehöriger Matrix .
Dann ist genau dann bijektiv, wenn invertierbar ist.
Es sei ein Körper und eine - Matrix mit Einträgen in . Dann hat die Multiplikation mit den - Elementarmatrizen von links mit folgende Wirkung.
- Vertauschen der -ten und der -ten Zeile von .
- Multiplikation der -ten Zeile von mit .
- Addition des -fachen der -ten Zeile von zur -ten Zeile ().
Es seien und Mengen und sei eine Abbildung.
Dann wird durch die Festlegung
wenn
eine Äquivalenzrelation auf definiert.
Es sei eine Menge und eine Äquivalenzrelation auf mit der Quotientenmenge . Es sei eine Abbildung mit für alle mit .
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Abbildung mit .
Das Äquivalenzklassenmodell von ist mit der Addition
der Multiplikation
dem Nullelement , dem Einselement und der durch
falls
definierten Ordnung
ein angeordneter Ring.
Das Äquivalenzklassenmodell von ist mit der Addition
der Multiplikation
dem Nullelement , dem Einselement und der durch
falls
definierten Ordnung
ein angeordneter Körper.
Es sei eine kommutative Gruppe, eine Untergruppe und die Quotientenmenge zur durch definierten Äquivalenzrelation auf mit der kanonischen Projektion
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Gruppenstruktur auf derart, dass ein Gruppenhomomorphismus ist.
Es sei ein kommutativer Ring, ein Ideal und die Quotientenmenge zur durch definierten Äquivalenzrelation auf mit der kanonischen Projektion
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Ringstruktur auf derart, dass ein Ringhomomorphismus ist.
Es sei . Der Restklassenring ist genau dann ein Körper,
wenn eine Primzahl ist.
Es sei ein angeordneter Körper und es sei . Ferner sei .
Dann gibt es höchstens ein mit
Es sei die kanonische Primfaktorzerlegung der natürlichen Zahl . Es sei eine positive natürliche Zahl und sei vorausgesetzt, dass nicht alle Exponenten ein Vielfaches von sind. Dann gibt es keine rationale Zahl mit der Eigenschaft
d.h. innerhalb der rationalen Zahlen besitzt keine -te Wurzel.
Es sei ein angeordneter Körper und . Es sei ein positiver Startwert und die zugehörige Heron-Folge. Dann gelten folgende Aussagen.
- Für
ist
und
- Die Heron-Folge ist ab dem ersten Glied fallend.
- Es ist
für .
- Für die Intervalllängen
gilt die Beziehung
und bei gilt insbesondere
Es sei ein angeordneter Körper und sei eine Folge in .
Dann besitzt maximal einen Grenzwert.
Es sei ein angeordneter Körper. Wenn eine Folge in konvergent ist,
so ist sie auch beschränkt.
Es sei ein angeordneter Körper und es seien und konvergente Folgen in . Dann gelten folgende Aussagen.
- Die Folge ist konvergent und es gilt
- Die Folge ist konvergent und es gilt
- Für
gilt
- Es sei
und
für alle
.
Dann ist ebenfalls konvergent mit
- Es sei
und
für alle
.
Dann ist ebenfalls konvergent mit
Es sei ein angeordneter Körper und es seien und drei Folgen in . Es gelte
und und konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert .
Dann konvergiert auch gegen diesen Grenzwert .
Eine Dezimalbruchfolge
archimedisch angeordneten Körper
ist eine Cauchy-Folge.
Es sei ein archimedisch angeordneter Körper. Es sei eine wachsende, nach oben beschränkte Folge.
Dann ist eine Cauchy-Folge.
Es sei ein angeordneter Körper und es sei eine Cauchy-Folge in . Dann gibt es die drei folgenden Alternativen.
- Die Folge ist eine Nullfolge.
- Es gibt eine positive Zahl derart, dass ab einem gewissen die Abschätzung
für alle gilt.
- Es gibt eine positive Zahl derart, dass ab einem gewissen die Abschätzung
für alle gilt.
Es sei eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper mit der Eigenschaft, dass es ein und ein derart gibt, dass für alle die Abschätzung
gilt.
Dann ist auch die durch (für hinreichend groß)
gegebene inverse Folge eine Cauchy-Folge.
Das Cauchy-Folgen-Modell der reellen Zahlen ist ein vollständiger, archimedisch angeordneter Körper.
Es gibt genau einen vollständigen archimedisch angeordneten Körper, die reellen Zahlen.
Genauer: Wenn zwei vollständige archimedisch angeordnete Körper und vorliegen, so gibt es einen eindeutig bestimmten bijektiven Ringhomomorphismus
Eine beschränkte und monotone Folge in
konvergiert.
Für alle reellen Zahlen mit konvergiert die Reihe und es gilt
Eine reelle Zahl ist
genau dann eine rationale Zahl, wenn sie eine periodische Ziffernentwicklung (im Dezimalsystem) besitzt.
Es sei , , eine Intervallschachtelung in .
Dann besteht der Durchschnitt
.
Eine reelle Intervallschachtelung bestimmt also genau eine reelle Zahl.
In den reellen Zahlen ist jeder Dedekindsche Schnitt
ein Punktschnitt, d.h. es gibt ein mit
Zu jeder nichtnegativen reellen Zahl und jedem
gibt es eine eindeutige nichtnegative reelle Zahl mit
Die Intervalle , , mit den Grenzen
definieren eine Intervallschachtelung.
Der Polynomring über einem Körper
ist ein kommutativer Ring.
Es sei
eine reelle quadratische Gleichung.
Dann gilt folgendes Lösungsverhalten.
- Bei
gibt es keine reelle Lösung.
- Bei
gibt es die eine Lösung
- Bei
gibt es die beiden Lösungen
Es sei eine quadratische Gleichung in der Form
gegeben und es seien und die Lösungen.
Dann gilt
und
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es seien Polynome mit .
Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome mit
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei ein Polynom und .
Dann ist genau dann eine Nullstelle von , wenn ein Vielfaches des linearen Polynoms ist.
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei ein Polynom () vom Grad .
Dann besitzt maximal Nullstellen.
Es sei ein Körper und es seien verschiedene Elemente und Elemente gegeben.
Dann gibt es ein eindeutiges Polynom vom Grad derart, dass für alle ist.
Es sei eine Teilmenge,
eine Funktion und . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- ist stetig im Punkt .
- Für jede konvergente Folge in mit ist auch die Bildfolge konvergent mit dem Grenzwert .
Es sei und seien
stetige Funktionen.
Dann sind auch die Funktionen
stetig. Für eine Teilmenge , auf der keine Nullstelle besitzt, ist auch die Funktion
stetig.
Polynomfunktionen
sind stetig.
Es seien reelle Zahlen und sei eine stetige Funktion. Es sei eine reelle Zahl zwischen und .
Dann gibt es ein mit .
Es sei ein Intervall und
eine stetige, streng wachsende Funktion.
Dann ist das Bild
ebenfalls ein Intervall, und die Umkehrabbildung
ist ebenfalls stetig.
Es sei . Für ungerade ist
die Potenzfunktion
stetig, streng wachsend, bijektiv und die Umkehrfunktion
ist streng wachsend und stetig.
Für gerade ist die Potenzfunktion
stetig, streng wachsend, bijektiv und die Umkehrfunktion
ist streng wachsend und stetig.
Es sei eine positive reelle Zahl. Dann besitzt die Exponentialfunktion
folgende Eigenschaften.
- Es ist für alle .
- Es ist .
- Für und ist .
- Für und ist .
- Für ist streng wachsend.
- Für ist streng fallend.
- Es ist für alle .
- Für ist .
Es sei eine positive reelle Zahl. Dann ist die Exponentialfunktion
stetig.
Es sei eine positive reelle Zahl. Dann ist die Exponentialfunktion
ein bijektiver Gruppenhomomorphismus.
Für die Exponentialfunktion zur Basis gilt die Darstellung
Die Funktionen
und
besitzen für folgende Eigenschaften.
- Es gilt
für alle .
- Es ist
- Es ist und .
Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion erfüllen in folgende Periodizitätseigenschaften.
- Es ist und für alle .
- Es ist und für alle .
- Es ist und für alle .
- Es ist , , , und .
- Es ist , , , und .
Die reelle Sinusfunktion
induziert eine bijektive, streng wachsende Funktion
und die reelle Kosinusfunktion induziert eine bijektive streng fallende Funktion
Für die trigonometrischen Funktionen
und
gelten die Additionstheoreme
und
Es sei ein Experiment gegeben, das nur die Werte und annehmen kann und bei dem der Wert die Wahrscheinlichkeit besitzt.
Dann ist die Verteilung auf , die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, dass bei der -fachen (unabhängigen) Hintereinaderausführung des Experimentes -fach das Ereignis eintritt, durch die Binomialverteilung zur Stichprobenlänge und zur Erfolgswahrscheinlichkeit gegeben.
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem -fachen Münzwurf genau -fach Kopf fällt,
beträgt
Zu jedem
konvergiert die Folge
gegen .
Das bedeutet, dass die relative Häufigkeit bei einem -fach wiederholten Bernoulli-Experiment zur Wahrscheinlichkeit bei hinreichend groß mit beliebig hoher Wahrscheinlichkeit im Intervall liegt.
Es seien endliche Wahrscheinlichkeitsräume und
der Produktraum. Es seien Ereignisse , ,..., gegeben und es seien die zugehörigen Zylindermengen im Produktraum, also
Dann sind die Ereignisse vollständig unabhängig.
Es sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und
eine Zerlegung in disjunkte Teilmengen, die alle positive Wahrscheinlichkeiten haben mögen.
Dann ist für jedes Ereignis
Es sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und
eine Zerlegung in disjunkte Teilmengen, die alle positive Wahrscheinlichkeiten haben mögen.
Dann ist für jedes Ereignis mit positiver Wahrscheinlichkeit