Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 20

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von $5$ und der andere ein Fassungsvermögen von $7$ Litern. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.

Übungsaufgaben

Aufgabe

Interpretiere das Lemma von Bézout als eine Lösungsaussage über eine Gleichung.

Aufgabe *

Finde eine Darstellung der $1$ für das Zahlenpaar $11$ und $13$.

Aufgabe

Man gebe eine Darstellung des $\mathrm{ggT}$ von $5$ und $7$ an. Wie viele solche Darstellungen gibt es?

Aufgabe

Finde eine Darstellung der $1$ für die folgenden Zahlenpaare: $5$ und $7$; $20$ und $27$; $23$ und $157$.

Aufgabe

Die Wasserspedition „Alles im Eimer“ verfügt über $77$-, $91$- und $143$-Liter-Eimer, die allerdings keine Markierungen haben. Sie erhält den Auftrag, insgesamt genau einen Liter Wasser von der Nordsee in die Ostsee zu transportieren. Wie kann sie den Auftrag erfüllen?

Aufgabe

Es seien $a$ und $b$ teilerfremde natürliche Zahlen. Es stehen beliebig viele Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, deren Fassungsvermögen $a$ bzw. $b$ ist. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.

Aufgabe *

Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von $a$ und der andere ein Fassungsvermögen von $b$ Litern, wobei $a$ und $b$ teilerfremd seien. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.

Aufgabe *

Zeige, dass es zu ganzen Zahlen $d,n$ mit  $d>0$  eindeutig bestimmte ganze Zahlen $q,r$ mit  $0\le r<d$  und mit

$n=dq+r$

gibt.

Aufgabe

Es seien $n,d$ positive Zahlen und es sei

$n=qd+r$

mit $q\in \mathbb{N}$ und $r$ zwischen $0$ und $d-1$. Wie erhält man daraus die Division mit Rest von $-n$ durch $d$?

Aufgabe *

Zeige, dass es zu ganzen Zahlen $d,n$ mit $d>0$ eindeutig bestimmte ganze Zahlen $k,s$ mit

$n=kd+s$

und mit

$-\frac{d}{2}<s\le \frac{d}{2}$

gibt.

Aufgabe

Zeige, dass für zwei ganze Zahlen $a,b\in \mathbb{Z}$ die folgenden Beziehungen äquivalent sind.

1. $a$ teilt $b$ (also $a\mid b$).
2. $b\in \mathbb{Z}a$.
3. $\mathbb{Z}b\subseteq \mathbb{Z}a$.

Aufgabe

Beweise das folgende Untergruppenkriterium. Eine nichtleere Teilmenge  $H\subseteq G$  einer Gruppe $G$ ist genau dann eine Untergruppe, wenn gilt:

$\text{ für alle }g,h\in H\text{ ist }g{h}^{-1}\in H.$

Aufgabe

Es sei $G$ eine Gruppe und es seien $H_1$ und $H_2$ Untergruppen von $G$. Zeige, dass der Durchschnitt

$H_1\cap H_2$

ebenfalls eine Untergruppe von $G$ ist.

Aufgabe

Es seien (beliebig viele) gemalte Pfeile der Länge $7$ und der Länge $12$ gegeben. Wie muss man die Pfeile hintereinanderlegen (wobei immer ein Pfeilende an der Pfeilspitze des Vorgängerpfeils anliegt), damit insgesamt ein Gesamtpfeil der Länge $-1$ entsteht?

Aufgabe *

Auf einer Baustelle gibt es eine große Waage mit zwei Schalen und (beliebig viele) Gewichte der Masse $12$ bzw. $50$ Kilogramm.

1. Erläutere, wie man damit sechs Kilogramm Sand abwiegen kann.
2. Bestimme, welche Massen man damit abwiegen kann.

Aufgabe

Auf den ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ lebe eine Kolonie von Flöhen, und jeder Flohsprung geht fünf Einheiten weit (in beide Richtungen). Wie viele Flohpopulationen gibt es? Wie kann man einfach charakterisieren, ob zwei Flöhe zur gleichen Population gehören oder nicht?

Aufgabe

Bestimme in $\mathbb{Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von $5439$ und $3871$.

Aufgabe

Bestimme in $\mathbb{Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von $2956$ und $2444$.

Aufgabe *

Bestimme in $\mathbb{Z}$ mithilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von $1085$ und $806$ und schreibe die beiden Zahlen als Vielfache des größten gemeinsamen Teilers.

Aufgabe

Es sei

$p\ne 2,5$

eine Primzahl. Zeige, dass es eine natürliche Zahl der Form (im Dezimalsystem)

$111\dots 111$

gibt, die ein Vielfaches von $p$ ist.

Aufgabe

Kaninchen werden bekanntlich immer zur Monatsmitte geboren, die Tragzeit beträgt einen Monat und die Geschlechtsreife erreichen sie im Alter von zwei Monaten. Jeder Wurf besteht aus genau einem Paar, und alle leben ewig.

Wir starten im Monat $1$ mit einem Paar, das einen Monat alt ist. Es sei $f_n$ die Anzahl der Kaninchenpaare im $n$-ten Monat, also  $f_1=1$,   $f_2=1$.  Beweise durch Induktion die Rekursionsformel

$f_{n+2}=f_{n+1}+f_n.$

Diese Zahlfolge nennt man die Folge der Fibonacci-Zahlen. Wie viele der $f_n$ Paare sind im $n$-ten Monat reproduktionsfähig?

Die Fibonacci-Zahlen sind somit $1,1,2,3,5,8,13,21,34,\dots$

Aufgabe

Wende auf zwei aufeinander folgende Fibonacci-Zahlen den euklidischen Algorithmus an. Welche Gesetzmäßigkeit tritt auf?

Aufgabe *

Beweise durch Induktion die Simpson-Formel oder Simpson-Identität für die Fibonacci-Zahlen $f_n$. Sie besagt (für $n\ge 2$)

$f_{n+1}{f}_{n-1}-f_n^2=(-1{)}^n.$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme in $\mathbb{Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von $1983$ und $1528$.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von $4199,2431$ und $3553$, sowie eine Darstellung desselben als Linearkombination der gegebenen Zahlen.

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien $a_1,a_2,\dots ,a_k$ ganze Zahlen. Zeige, dass die Menge

$H:=\{n_1{a}_1+n_2{a}_2+\cdots +n_k{a}_k\mid n_j\in \mathbb{Z}\}$

eine Untergruppe von $\mathbb{Z}$ ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Es seien $a,b$ teilerfremde natürliche Zahlen. Zeige, dass jede natürliche Zahl

$n\ge ab$

eine Darstellung

$n=xa+yb$

mit $x,y\in \mathbb{N}$ besitzt.

Aufgabe (4 Punkte)

Alle Flöhe leben auf einem unendlichen Zentimeter-Band. Ein Flohmännchen springt bei jedem Sprung $78$ cm und die deutlich kräftigeren Flohweibchen springen mit jedem Sprung $126$ cm. Die Flohmännchen Florian, Flöhchen und Carlo sitzen in den Positionen $-123,55$ und $-49$. Die Flohweibchen Flora und Florentina sitzen in Position $17$ bzw. $109$. Welche Flöhe können sich treffen?

Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten eine digitale Uhr, die $24$ Stunden, $60$ Minuten und $60$ Sekunden anzeigt. Zur Karnevalszeit läuft sie aber nicht in Sekundenschritten, sondern addiert, ausgehend von der Nullstellung, in jedem Zählschritt immer $11$ Stunden, $11$ Minuten und $11$ Sekunden dazu. Wird bei dieser Zählweise jede mögliche digitale Anzeige erreicht? Nach wie vielen Schritten kehrt zum ersten Mal die Nullstellung zurück?