Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 28

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Finde einen Bruch ${}{\frac {a}{p}}$ mit einer Primzahl ${}p$ derart, dass bei der schriftlichen Division eine Periodenlänge ${}\ell$ mit ${}2\leq \ell <p-1$ auftritt.

Übungsaufgaben

Aufgabe

Führe den Divisionsalgorithmus zu ${}1:p$ für jede Primzahl ${}p<20$ durch. Was kann man an den Periodenlängen beobachten?

Aufgabe

Führe die schriftlichen Divisionen

$1:7,\,2:7,\,3:7,\,4:7,\,5:7,\,6:7$

durch. Was fällt bei der Ziffernentwicklung auf? Wie kann man das erklären?

Aufgabe

Führe den Divisionsalgorithmus zu ${}5:7$ und zu ${}15:21$ durch. Notiere die Restfolge und die Ziffernfolge. Welche Gemeinsamkeiten und welche Unterschiede treten auf?

Aufgabe

Finde eine Primzahl ${}p$ derart, dass sich beim Divisionsalgorithmus zu ${}1:p$ eine von ${}0$ verschiedene Ziffer wiederholt, dies aber nicht Teil der Periodizität ist.

Aufgabe

Bestimme die ${}1000$. Nachkommastelle bei der schriftlichen Division ${}1:7$.

Aufgabe *

1. Führe sämtliche Divisionen mit Rest

   ${}10\cdot k=q\cdot 17+r\,$

   für

   ${}k=1,\ldots ,16\,$

   aus.

2. Bestimme mit Hilfe von Teil (1) die Dezimalentwicklung von ${}{\frac {3}{17}}$.
3. Bestimme mit Hilfe von Teil (1) die Dezimalentwicklung von ${}{\frac {11}{17}}$.

Aufgabe

Berechne ${}1$ durch ${}37$ mit dem Divisionsalgorithmus.

Aufgabe *

Berechne ${}1$ durch ${}41$ mit dem Divisionsalgorithmus.

Aufgabe *

Berechne ${}1$ durch ${}81$ mit dem Divisionsalgorithmus.

Aufgabe

Berechne ${}1$ durch ${}101$ mit dem Divisionsalgorithmus.

Aufgabe *

Es seien ${}a$ und ${}b$ natürliche Zahlen mit ${}b$ positiv. Zeige durch Induktion nach ${}i$, dass man die Restfolgenglieder ${}r_{-i}$ im Divisionsalgorithmus direkt durch die Division mit Rest

${}10^{i}a=xb+r_{-i}\,$

erhalten kann.

Aufgabe

Es sei ${}a$ und ${}b$ natürliche Zahlen mit ${}b$ positiv. Zeige, dass beim Divisionsalgorithmus zu

$a:b,\,10^{k}a:b,\,a:10^{n}b$

die gleiche Ziffernfolge auftritt, allerdings mit veränderter Indizierung.

Aufgabe

Es sei ${}b$ eine zu ${}10$ teilerfremde positive Zahl. Zeige, dass die Periodenlänge ${}\ell$ beim Divisionsalgorithmus zu ${}1:b$ gleich der kleinsten positiven Zahl ${}k$ ist, für die ${}10^{k}$ bei der Division durch ${}b$ den Rest ${}1$ besitzt.

Aufgabe *

Frau Maier-Sengupta ist für ein halbes Jahr in Elternzeit. Ihr Sohn Siddhartha kam mit einem Gewicht von drei Kilogramm auf die Welt und wurde in den sechs Monaten ausschließlich von Muttermilch ernährt. Nach den sechs Monaten wiegt er zehn Kilogramm. Jeden Tag hat das Kind ${}150$ Milliliter Milch getrunken. Wie viel Milch hat Siddhartha in den sechs Monaten getrunken und wie viel Prozent davon ging in die Gewichtszunahme? (Rechne mit Monat = ${}30$ Tage und setze das Milchgewicht gleich dem Gewicht von Wasser an).

Aufgabe

Die natürlichen Zahlen ${}a,b$ seien teilerfremd und ${}b$ sei teilerfremd zu ${}10$. Zeige, dass dann sämtliche Reste ${}r_{-i}$ im Divisionsalgorithmus zu ${}a:b$ teilerfremd zu ${}b$ sind.

Aufgabe *

Führe die schriftliche Division

$53,4:0,07$

durch.

Aufgabe

Es sei ${}z=999\ldots 999$ diejenige Zahl im Zehnersystem, die aus ${}n\geq 1$ Neunen bestehe. Bestimme das Ergebnis der schriftlichen Division ${}1:z$.

In Satz 47.7 werden wir zeigen, dass die rationalen Zahlen diejenigen reellen Zahlen sind, für die die Dezimalentwicklung periodisch ist. Die folgende Aufgabe bietet eine algorithmische Vorwegnahme dieses Satzes.

Aufgabe

Zeige, dass jede endliche Ziffernfolge ${}z_{1}z_{2}\ldots z_{\ell }$ als Periode bei einer schriftlichen Division auftritt.

Aufgabe

Führe im ${}3$-er System den Divisionsalgorithmus ${}121:102$ aus.

Aufgabe

Führe im ${}5$-er System den Divisionsalgorithmus ${}1:3$ aus.

Aufgabe

Führe im ${}7$-er System den Divisionsalgorithmus ${}6563203:1000$ aus.

Aufgabe

Welche Bedeutung würden Sie dem Ausdruck

$0,101001000100001...$

(die Punkte bedeuten, dass die Ziffern in der erkennbaren Regelmäßigkeit unendlich weiter fortgesetzt werden) zuordnen? Gibt es dafür eine Interpretation als rationale Zahl, als reelle Zahl, als Folge?

Aufgabe

Welche Bedeutung würden Sie dem Ausdruck

$...1212121212121212121212121212121212121212,0$

zuordnen (die Periode ${}12$ wiederholt sich also unendlich oft nach links)?

Aufgabe

Wo tritt in der Mathematik (und in anderen Gebieten) Periodizität auf? Sind die Periodizitäten dabei „diskret“ oder „kontinuierlich“?

Aufgabe

Es seien die ${}z_{-i}$, ${}i\in \mathbb {N}$, die im Divisionsalgorithmus zu ${}a:b$ berechneten Ziffern. Ist

${}\sum _{i=0}^{n}z_{-i}10^{-i}={\left(\sum _{i=0}^{n}z_{-i}10^{n-i}\right)}10^{-n}\,$

stets die beste Approximation von ${}{\frac {a}{b}}$ unter allen ganzzahligen Vielfachen von ${}10^{-n}$?

Aufgabe

Es seien ${}a,b$ natürliche Zahlen mit ${}b$ positiv und es seien ${}z_{-i}$, ${}i\in \mathbb {N}$, und ${}r_{-i}$, ${}i\in \mathbb {N}$, die im Divisionsalgorithmus berechneten Folgen. Zeige durch Induktion nach ${}n$, dass

${}a=b{\left(\sum _{i=0}^{n}z_{-i}10^{-i}\right)}+r_{-n}10^{-n}\,$

gilt.

Aufgabe

Bestimme die ersten acht Glieder der Dezimalbruchfolge zu ${}{\frac {1}{11}}$.

Aufgabe

Berechne mit dem Divisionsalgorithmus zu ${}2:13$ die Ziffernfolge, die Restefolge und die Dezimalbruchfolge.

Aufgabe

Zeige, dass die Folge der Stammbrüche ${}{\frac {1}{n}}$, ${}n\in \mathbb {N} _{+}$, gegen ${}0$ (in ${}\mathbb {Q}$) konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper und ${}x\in K$ mit ${}\vert {x}\vert <1$. Zeige, dass die Folge

${}x_{n}:=x^{n}\,$

gegen ${}0$ konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Zeige, dass die Folge

${\left({\frac {n}{2^{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$

gegen ${}0$ konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in ${}K$ mit Grenzwert ${}x$. Zeige, dass dann auch die Folge

${\left(\vert {x_{n}}\vert \right)}_{n\in \mathbb {N} }$

konvergiert, und zwar gegen ${}\vert {x}\vert$.

Aufgabe

Es sei ${}z_{-i}$, ${}i\in \mathbb {N}$, die Ziffernfolge, die sich beim Divisionsalgorithmus ${}a:b$ ergibt. Wann ist diese konvergent?

Aufgabe

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem archimedisch angeordneten Körper. Zeige, dass die Folge genau dann gegen ${}x$ konvergiert, wenn es für jedes ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Abschätzung ${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq {\frac {1}{k}}$ gilt.

Aufgabe *

Negiere die Aussage, dass eine Folge ${}x_{n}$ in einem angeordneten Körper gegen ${}x$ konvergiert, durch Umwandlung der Quantoren.

Aufgabe *

Wir beschreiben eine Konstruktion von ineinander enthaltenen Intervallen, und gehen vom Einheitsintervall ${}[0,1]$ aus. Das Intervall wird in zehn gleichlange Teilintervalle zerlegt und davon nehmen wir das achte Teilintervall. Das entstehende Intervall teilen wir ebenfalls in zehn gleichlange Teilintervalle und nehmen davon wieder das achte Teilintervall. Dieser Teilungsprozess wird unendlich oft durchgeführt, wobei eine Folge von Intervallen ${}I_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, entsteht (${}I_{0}$ ist das Einheitsintervall, das als Startintervall dient).

1. Bestimme die Intervallgrenzen des Intervalls, das im zweiten Schritt konstruiert wird.
2. Erstelle eine Formel, die die untere und die obere Intervallgrenze des Intervalls ${}I_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, ausdrückt.
3. Es gibt genau eine rationale Zahl ${}c$, die in jedem Intervall ${}I_{n}$ enthalten ist. Bestimme ${}c$ als Bruch.

Aufgabe

Wir beschreiben eine Konstruktion von ineinander enthaltenen Intervallen, und gehen vom Einheitsintervall ${}[0,1]$ aus. Das Intervall wird in sieben gleichlange Teilintervalle zerlegt und davon nehmen wir das sechste Teilintervall. Das entstehende Intervall teilen wir ebenfalls in sieben gleichlange Teilintervalle und nehmen davon wieder das sechste Teilintervall. Dieser Teilungsprozess wird unendlich oft durchgeführt, wobei eine Folge von Intervallen ${}I_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, entsteht (${}I_{0}$ ist das Einheitsintervall, das als Startintervall dient).

1. Bestimme die Intervallgrenzen des Intervalls, das im ersten Schritt konstruiert wird.
2. Erstelle eine Formel, die die untere und die obere Intervallgrenze des Intervalls ${}I_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, ausdrückt.
3. Es gibt genau eine rationale Zahl ${}c$, die in jedem Intervall ${}I_{n}$ enthalten ist. Bestimme ${}c$ als Bruch.

Aufgabe *

Wir beschreiben eine Konstruktion von ineinander enthaltenen Intervallen, und gehen vom Einheitsintervall ${}[0,1]$ aus. Das Intervall wird in drei gleichlange Teilintervalle zerlegt und davon nehmen wir das dritte (Regel 1). Das entstehende Intervall teilen wir in fünf gleichlange Teilintervalle ein und davon nehmen wir das vierte (Regel 2). Jetzt wenden wir abwechselnd Regel 1 und Regel 2 an, immer bezogen auf das zuvor konstruierte Intervall. Dabei entsteht eine Folge von Intervallen ${}I_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$ (${}I_{0}$ ist das Einheitsintervall, das als Startintervall dient).

1. Bestimme die Intervallgrenzen des Intervalls, das im zweiten Schritt konstruiert wird (also von ${}I_{2}$, nachdem einmal die Regel ${}1$ und einmal die Regel 2 angewendet wurde).
2. Wie kann man den Konstruktionsschritt, der durch die einmalige Hintereinanderausführung von Regel 1 und von Regel 2 gegeben ist, mit einer einzigen Regel ausdrücken?
3. Bestimme ein Intervall der Form ${}[{\frac {a}{100}},{\frac {a}{100}}+{\frac {1}{100}}]$ mit ${}a\in \mathbb {N}$, das ganz in ${}I_{2}$ enthalten ist.
4. Erstelle eine Formel, die die untere Intervallgrenze des Intervalls ${}I_{2k}$, ${}k\in \mathbb {N}$, ausdrückt.
5. Es gibt genau eine rationale Zahl ${}c$, die in jedem Intervall ${}I_{n}$ enthalten ist. Bestimme ${}c$ als Bruch.
6. Gibt es ein Ziffernsystem, in dem die rationale Zahl ${}c$ aus (5) eine Ziffernentwicklung mit Periodenlänge ${}1$ besitzt?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne ${}1$ durch ${}271$ mit dem Divisionsalgorithmus.

Aufgabe * (1 Punkt)

Führe die schriftliche Division

$162,017:0,23$

durch.

Aufgabe (3 Punkte)

Führe im ${}3$-er System den Divisionsalgorithmus ${}2012:112$ aus.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Zeige, dass die Folge

${\left({\frac {n^{2}}{2^{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$

gegen ${}0$ konvergiert.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Folge ${}(-1)^{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, in einem angeordneten Körper nicht konvergiert.