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Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 13/latex

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\setcounter{section}{13}






\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und ${\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {Ideal}{}{.} Zeige, dass ${\mathfrak p}$ genau dann ein \definitionsverweis {Primideal}{}{} ist, wenn der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $R/{\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei ${\mathfrak a}$ ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$. Zeige, dass ${\mathfrak a}$ genau dann ein \definitionsverweis {Primideal}{}{} ist, wenn ${\mathfrak a}$ der \definitionsverweis {Kern}{}{} eines \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabb {\varphi} {R} {K } {} in einen \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass ein Primideal ein Radikal ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I }
{ \subseteq }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in $R$. Zeige, dass $I$ genau dann ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{} ist, wenn der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $R/I$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ \neq }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in $R$. Zeige: ${\mathfrak a}$ ist genau dann ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{,} wenn es zu jedem
\mathbed {g \in R} {}
{g \not\in \mathfrak a} {}
{} {} {} {,} ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ \in }{ {\mathfrak a} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r }
{ \in }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ rg+f }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein vom Nullring verschiedener \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Zeige unter Verwendung des \definitionsverweis {Lemmas von Zorn}{}{,} dass es \definitionsverweis {maximale Ideale}{}{} in $R$ gibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq R}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} und
\mathl{M \subseteq R}{} ein \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} \cap M }
{ = }{ \emptyset }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige mit dem Lemma von Zorn, dass es dann auch ein \definitionsverweis {Primideal}{}{} ${\mathfrak p}$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ \subseteq }{ {\mathfrak p} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p} \cap M }
{ = }{ \emptyset }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $\mathfrak a$ ein \definitionsverweis {Radikal}{}{} in einem kommutativen Ring. Zeige, dass $\mathfrak a$ der Durchschnitt von \definitionsverweis {Primidealen}{}{} ist.

}
{} {}

Vor den nächsten Aufgaben erinnern wir an den Begriff eines \stichwort {lokalen Ringes} {} und einer Lokalisierung.


Ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} $R$ heißt \definitionswort {lokal}{}, wenn $R$ genau ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{} besitzt.


Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei ${\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {Primideal}{}{.} Dann nennt man die \definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{} an
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S }
{ = }{ R \setminus {\mathfrak p} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionswort {Lokalisierung}{} von $R$ an ${\mathfrak p}$. Man schreibt dafür $R_{\mathfrak p}$. Es ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R_{\mathfrak p} }
{ \defeq} { { \left\{ \frac{f}{g} \mid f \in R , \, g \not\in {\mathfrak p} \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}





\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Zeige, dass $R$ genau dann ein \definitionsverweis {lokaler Ring}{}{} ist, wenn
\mathl{a+b}{} nur dann eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} ist, wenn $a$ oder $b$ eine Einheit ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei ${\mathfrak m}$ ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{} mit \definitionsverweis {Lokalisierung}{}{} $R_{\mathfrak m}$. Es sei ${\mathfrak a}$ ein Ideal, dass unter der Lokalisierungsabbildung zum Kern gehört. Zeige, dass dann $R_{\mathfrak m}$ auch eine Lokalisierung von $R/{\mathfrak a}$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Beschreibe das \definitionsverweis {Spektrum}{}{} eines \definitionsverweis {diskreten Bewertungsringes}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Beschreibe das \definitionsverweis {Spektrum}{}{} von
\mathdisp {K[X,Y]/(XY)} { . }

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,} sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei ${\mathfrak a}$ ein \definitionsverweis {Ideal}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{{\mathfrak a} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann gilt, wenn für alle \definitionsverweis {Lokalisierungen}{}{} $R_{\mathfrak p}$ gilt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{ {\mathfrak a} R_{\mathfrak p} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei ${\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {Primideal}{}{.} Dann ist der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S }
{ = }{ R/{\mathfrak p} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} mit \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q }
{ = }{Q(S) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und $R_{\mathfrak p}$ ist ein \definitionsverweis {lokaler Ring}{}{} mit dem \definitionsverweis {maximalen Ideal}{}{}
\mathl{{\mathfrak p}R_{\mathfrak p}}{.} Zeige, dass eine natürliche Isomorphie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Q(S) }
{ \cong} { R_{\mathfrak p}/ {\mathfrak p} R_{\mathfrak p} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} vorliegt.

}
{} {}

Den in der vorstehenden Aufgabe auf zweifache Weise konstruierten Körper nennt man auch den \stichwort {Restekörper} {} in ${\mathfrak p}$. Er wird mit
\mathl{\kappa { \left( {\mathfrak p} \right) }}{} bezeichnet.



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