Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 29/latex

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\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

Die folgende Aufgabe liefert eine Verallgemeinerung von Korollar 80.7 (Mathematik (Osnabrück 2009-2011)).


\inputaufgabe
{}
{

Zeige folgende Aussage über das Dachprodukt: Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} der \definitionsverweis {Dimension}{}{} $n$. Es seien \mathkor {} {v_1 , \ldots , v_r} {und} {w_1 , \ldots , w_r} {} Vektoren in $V$, die miteinander in der Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} w_1 \\\vdots\\ w_r \end{pmatrix} }
{ =} { M \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots\\ v_r \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} stehen, wobei $M$ eine $r \times r$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} bezeichnet. Dann gilt in
\mathl{\bigwedge^r V}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{w_1 \wedge \ldots \wedge w_r }
{ =} { ( \det M) v_1 \wedge \ldots \wedge v_r }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {multiplikative Gruppe}{}{}
\mathl{( {\mathbb C}^{\times},1,\cdot )}{} eine \definitionsverweis {lineare Gruppe}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {additive Gruppe}{}{}
\mathl{( {\mathbb C},0,+)}{} eine \definitionsverweis {lineare Gruppe}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass
\mathl{(\Z,+,0)}{} keine \definitionsverweis {lineare Gruppe}{}{} über ${\mathbb C}$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass
\mathl{(\Z,+,0)}{} keine \definitionsverweis {affin-algebraische Gruppe}{}{} über ${\mathbb C}$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass
\mathl{(\Z,+,0)}{,} versehen mit der \definitionsverweis {diskreten Topologie}{}{,} über keinem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ eine \definitionsverweis {affin-algebraische Gruppe}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Zariski-Abschluss}{}{} der von der Matrix
\mathl{\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}{} erzeugten Untergruppe $G \subseteq \operatorname{GL}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) }$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das Produkt von zwei \definitionsverweis {linearen Gruppen}{}{} wieder eine lineare Gruppe ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

a) Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass die Einheitengruppe von $K$ nicht zyklisch unendlich ist.

b) Es sei $R$ ein kommutativer Ring, dessen Charakteristik nicht zwei ist. Zeige, dass die Einheitengruppe von $R$ nicht zyklisch unendlich ist.

c) Beschreibe einen kommutativen Ring, dessen Einheitengruppe zyklisch unendlich ist.

}
{} {}

Wir erinnern an zwei Definitionen für Matrizen.

Eine $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} der Form
\mathdisp {\begin{pmatrix} b_1 & \ast & \cdots & \cdots & \ast \\ 0 & b_2 & \ast & \cdots & \ast \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & b_{ n-1} & \ast \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & b_{ n } \end{pmatrix}} { }
nennt man \definitionswort {obere Dreiecksmatrix}{.}

Eine $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} der Form
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & * & \cdots & \cdots & * \\ 0 & 1 & * & \cdots & * \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & * \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix}} { }
nennt man \zusatzklammer {obere} {} {} \definitionswort {Scherungsmatrix}{.}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {invertierbaren}{}{} $n \times n$-\definitionsverweis {oberen Dreiecksmatrizen}{}{} über $K$ eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} der
\mathl{\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{\operatorname{ODG}_{ n } \! { \left( K \right) }}{} die Gruppe der \definitionsverweis {invertierbaren}{}{} $n \times n$-\definitionsverweis {oberen Dreiecksmatrizen}{}{} über $K$. Zeige, dass es einen \zusatzklammer {natürlichen} {} {} \definitionsverweis {surjektiven}{}{} \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} { \operatorname{ODG}_{ n } \! { \left( K \right) } } { { \left( K^{\times}, \cdot, 1 \right) }^n } {} gibt. Bestimme den Kern von $\varphi$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {invertierbaren}{}{} $n \times n$-\definitionsverweis {oberen Scherungsmatrizen}{}{} über $K$ eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} der
\mathl{\operatorname{SL}_{ n } \! { \left( K \right) }}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{\operatorname{OSG}_{ n } \! { \left( K \right) }}{} die Gruppe der $n \times n$-\definitionsverweis {oberen Scherungsmatrizen}{}{} über $K$. Zeige, dass es einen \zusatzklammer {natürlichen} {} {} \definitionsverweis {surjektiven}{}{} \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} { \operatorname{OSG}_{ n } \! { \left( K \right) } } { { \left( K, +, 0 \right) }^{n-1} } {} gibt. Bestimme den Kern von $\varphi$.

}
{} {}

Zeige in den vorstehenden Aufgaben, dass jeweils eine lineare Gruppe \zusatzklammer {über einem nicht notwendigerweise algebraisch abgeschlossenen Körper} {} {} vorliegt, und dass die Gruppenhomomorphismen algebraisch definiert sind.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{\operatorname{OSG}_{ 3 } \! { \left( K \right) }}{} die Gruppe der $3 \times 3$-\definitionsverweis {oberen Scherungsmatrizen}{}{} über $K$. Zeige, dass es eine \definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{}
\mathdisp {0 \longrightarrow K \longrightarrow \operatorname{OSG}_{ 3 } \! { \left( K \right) } \longrightarrow K^2 \longrightarrow 0} { }
gibt, und dass
\mathl{\operatorname{OSG}_{ 3 } \! { \left( K \right) }}{} nicht \definitionsverweis {isomorph}{}{} zu
\mathl{K^3}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Zariski-Abschluss}{}{} der von der Matrix
\mathl{\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}{} erzeugten Untergruppe $G \subseteq \operatorname{GL}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) }$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {zyklische Untergruppe}{}{}
\mathl{G \subseteq \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{} bei
\mathl{n \geq 2}{} nicht \definitionsverweis {Zariski-dicht}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{.} Zeige, dass
\mathl{(\Z,+,0)}{} keine \definitionsverweis {lineare Gruppe}{}{} über $K$ ist.

}
{} {}