Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 29

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Lineare Gruppen und Operationen

Wir besprechen einige Beispiele von typischen Operationen von unendlichen algebraischen Gruppen wie der allgemeinen linearen Gruppe oder der speziellen linearen Gruppe. Ein solches Beispiel - die Operation auf der Menge der Dreiecke - haben wir schon in Beispiel 1.1 und in der fünften Vorlesung besprochen.


Beispiel  

Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Die natürliche Operation der allgemeinen linearen Gruppe besitzt nur zwei Bahnen, nämlich den Nullpunkt und . Je zwei von verschiedene Vektoren können ja mit einem geeigneten ineinander überführt werden. Hier sind also keine interessanten Invarianten zu erwarten.

Ein transformiert aber nicht nur einen einzigen Punkt (einen Vektor), sondern beliebige Teilmengen . Die Frage, ob zwei Teilmengen mittels einem ineinander überführt werden können, wird schnell kompliziert (die Menge der betrachteten Objekte muss im Allgemeinen kein Vektorraum mehr sein). Hier betrachten wir endliche geordnete Punktmengen. Wir fixieren eine Zahl und betrachten Punkttupel

die wir uns als eine geordnete Punktkonfiguration in vorstellen. Die Punkte sind also durchnummeriert, und es ist auch der Fall erlaubt, dass ist. Die Operation der allgemeinen linearen Gruppe dehnt sich sofort auf diese Situation aus, und zwar ist die Operation durch

gegeben.

Im einfachsten Fall, bei , geht es um die Operation der Einheitengruppe auf durch skalare komponentenweise Multiplikation. Die Bahnen sind neben dem Nullpunkt die punktierten Geraden durch den Nullpunkt. Außer den konstanten Funktionen gibt es keine invarianten Polynome. Die auf eingeschränkte Operation besitzt den -dimensionalen projektiven Raum als Quotienten.



Beispiel  

Es sei ein Körper und ein -dimensionaler -Vektorraum. Es sei (man denke an ) und wir betrachten die Wirkungsweise von auf dem -fachen Produkt von mit sich selbst, bei der ein -Tupel von Vektoren aus auf ein anderes, durch die Matrix bestimmtes -Tupel abgebildet wird. Mit interessieren wir uns also für die Abbildung

Ein Tupel wird also stets auf ein Tupel aus Linearkombinationen der Einträge abgebildet. Daher ist der von erzeugte -Untervektorraum gleich dem vom Bildtupel erzeugten Untervektorraum. Wenn die linear unabhängig sind, so gilt dies auch für das Bildtupel. Für einen -dimensionalen Untervektorraum und zwei Basen von gibt es stets einen Automorphismus von , der die eine Basis in die andere Basis überführt. Wenn man also die Operation von auf die (offene und dichte) Teilmenge einschränkt, die aus allen linear unabhängigen -Tupeln besteht, so entsprechen die Bahnen der Operation den -dimensionalen Untervektorräumen von , und die Elemente der einzelnen Bahnen durchlaufen sämtliche Basen des zugehörigen Raumes. Die Bahnen der Operation auf ganz sind schwieriger zu charakterisieren.

Wir beschreiben die algebraische Version dieser Operation. Die linearen Funktionen auf dem der Operation zugrunde liegenden Vektorraum sind die Linearformen mit

Dabei sind die Linearformen auf , die wir direkt als Linearformen auf über die -te Projektion auffassen. Zu und ist die verknüpfte Abbildung gleich

Daher ist

Es sei nun , so dass wir die Gesamtsituation mit Variablen schreiben können. Zum Vektorraum gehört der Polynomring

Dabei repräsentieren die , , die Koordinatenfunktionen der -ten Kopie des Vektorraums . Die Variable ist die -te Projektion von auf gefolgt von der -ten Projektion von auf . Somit ist (es steht an der -ten Stelle)

Wenn eine Linearform (also eine Linearkombination aller ) in Matrixform als

gegeben ist, wobei die die Koeffizienten zu bezeichnen, so erhält man die durch transformierte Linearform, indem man die Matrix von rechts mit der transponierten Matrix zu multipliziert, also

Damit liegt eine Operation der auf dem Polynomring in Variablen vor. Um invariante Polynome zu bekommen, schränken wir die Operation auf die spezielle lineare Gruppe ein. Dann sind sämtliche -Minoren der Variablenmatrix

invariant unter der Gruppenoperation. Dazu betrachten wir die universelle alternierende Abbildung

Diese Abbildung ist nach einer geeigneten Verallgemeinerung von Korollar 80.7 (Mathematik (Osnabrück 2009-2011)) invariant unter der Gruppenoperation (dafür braucht man, dass die Determinanten von gleich sind). Die -Minoren sind Linearformen auf dem -ten Dachprodukt.



Definition  

Zu einem -Vektorraum und einer natürlichen Zahl nennt man die Menge der -dimensionalen Untervektorräume die -te Graßmann-Varietät. Sie wird mit und bei mit bezeichnet.

Nach Beispiel 29.2 ist der Bahnenraum zur dort beschriebenen Operation der auf , wobei aus den linear unabhängigen -Tupeln besteht. Dieses ist in der Zariski-Topologie eine offene Teilmenge und bei oder auch in der metrischen Topologie offen. Man kann mit der Quotiententopologie unter der Quotientenabbildung versehen. Im metrischen Fall erhält man sogar eine Mannigfaltigkeitsstruktur auf , man spricht dann von der Graßmann-Mannigfaltigkeit.


Beispiel  

Sei ein Körper. Wir betrachten Paare von Matrizen

wobei eine -Matrix und eine -Matrix ist. Es gibt also insgesamt Koordinaten. Die allgemeine lineare Gruppe operiert auf der Menge dieser Matrizenpaare in folgender Weise: Zu setzen wir

Dass eine Operation vorliegt, folgt aus

woraus auch die Wahl der Reihenfolge und der Grund der Invertierung klar wird. Mit Hilfe der Variablenmatrizen

kann man einfach invariante Polynome aus angeben, nämlich die Einträge der Produktmatrix , also die Ausdrücke der Form

Die Invarianz dieser Formen folgt direkt aus der Invarianz der Produktabbildung

welche sich direkt aus

ergibt. Darüber hinaus kann man zeigen, dass der Invariantenring von den erzeugt wird und auch eine explizite Restklassendarstellung ist bekannt: Wenn man den Polynomring heranzieht und die surjektive Abbildung

betrachtet, so wird der Kern von durch sämtliche -Minoren der Variablenmatrix erzeugt. Dieser Invariantenring ist daher ein sogenannter Minorenring (oder Determinantenring), und insbesondere lassen sich Minorenringe als Invariantenringe realisieren.

Wenn beispielsweise ist, so gibt es die Variablen und und es ist

Zwischen den bestehen die Relationen

d.h.

Diese Relationen sind die -Minoren der Matrix . In diesem Fall ist der Invariantenring sogar ein Monoidring.




Affin-algebraische Gruppen

Definition  

Sei ein Körper. Eine affin-algebraische Gruppe (über ) ist eine Gruppe der Form

wobei eine kommutative endlich erzeugte -Hopf-Algebra ist.

Eine affin-algebraische Gruppe ist also die Menge der -Punkte eines affinen Gruppenschemas von endlichem Typ. Dazu gehören die endlichen Gruppen, die additive Gruppe , die multiplikative Gruppe , die allgemeine lineare Gruppe, die spezielle lineare Gruppe.


Definition  

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und die Gruppe der invertierbaren -Matrizen. Eine Zariski-abgeschlossene Untergruppe nennt man eine lineare Gruppe (oder eine linear-algebraische Gruppe).

Man kann zeigen, dass affin-algebraische Gruppen und lineare Gruppen äquivalente Konzepte sind. Das erste Konzept ist begrifflich stärker, während das zweite Konzept die typischen Beispiele abdeckt. Der Zusammenhang beruht im Wesentlichen auf der Hopf-Interpretation der allgemeinen linearen Gruppe, siehe Beispiel 18.6.

Wir reformulieren Definition 18.9 für eine affin-algebraische Gruppe.


Definition  

Zu einer affin-algebraischen Gruppe über einem Körper , die durch die kommutative -Hopf-Algebra gegeben sei, nennt man eine Operation von auf einer kommutativen -Algebra algebraisch (oder regulär), wenn sie durch eine Kooperation von auf gegeben ist.



<< | Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013) | >>

PDF-Version dieser Vorlesung

Arbeitsblatt zur Vorlesung (PDF)