Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 29

Lineare Gruppen und Operationen

Wir besprechen einige Beispiele von typischen Operationen von unendlichen algebraischen Gruppen wie der allgemeinen linearen Gruppe oder der speziellen linearen Gruppe. Ein solches Beispiel - die Operation auf der Menge der Dreiecke - haben wir schon in Beispiel 1.1 und in der fünften Vorlesung besprochen.

Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Die natürliche Operation der allgemeinen linearen Gruppe  ${}G=\operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}$  auf ${}V$ besitzt nur zwei Bahnen, nämlich den Nullpunkt ${}0$ und ${}V\setminus \{0\}$. Je zwei von ${}0$ verschiedene Vektoren können ja mit einem geeigneten  ${}g\in G$  ineinander überführt werden. Hier sind also keine interessanten Invarianten zu erwarten.

Ein  ${}g\in G$  transformiert aber nicht nur einen einzigen Punkt  ${}v\in V$  (einen Vektor), sondern beliebige Teilmengen  ${}T\subseteq V$.  Die Frage, ob zwei Teilmengen  ${}T_{1},T_{2}\subseteq V$  mittels einem  ${}g\in G$  ineinander überführt werden können, wird schnell kompliziert (die Menge der betrachteten Objekte muss im Allgemeinen kein Vektorraum mehr sein). Hier betrachten wir endliche geordnete Punktmengen. Wir fixieren eine Zahl  ${}n\in \mathbb {N}$  und betrachten Punkttupel

${}(P_{1},\ldots ,P_{n})\in V^{n}\,,$

die wir uns als eine geordnete Punktkonfiguration in ${}V$ vorstellen. Die Punkte sind also durchnummeriert, und es ist auch der Fall erlaubt, dass  ${}P_{i}=P_{j}$  ist. Die Operation der allgemeinen linearen Gruppe dehnt sich sofort auf diese Situation aus, und zwar ist die Operation durch

$\operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}\times V^{n}\longrightarrow V^{n},\,(g,v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})\longmapsto (g(v_{1}),g(v_{2}),\ldots ,g(v_{n})),$

gegeben.

Im einfachsten Fall, bei  ${}V=K$,  geht es um die Operation der Einheitengruppe ${}K^{\times }$ auf ${}K^{n}$ durch skalare komponentenweise Multiplikation. Die Bahnen sind neben dem Nullpunkt die punktierten Geraden durch den Nullpunkt. Außer den konstanten Funktionen gibt es keine invarianten Polynome. Die auf ${}K^{n}\setminus \{0\}$ eingeschränkte Operation besitzt den ${}n-1$-dimensionalen projektiven Raum als Quotienten.

Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}n$- dimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei  ${}r\in \mathbb {N}$  (man denke an ${}r\leq n$), wir betrachten die Wirkungsweise von ${}\operatorname {GL} _{r}\!{\left(K\right)}$ auf dem ${}r$-fachen Produkt von ${}V$ mit sich selbst, bei der ein ${}r$-Tupel ${}v_{1},\ldots ,v_{r}$ von ${}r$ Vektoren aus ${}V$ auf ein anderes, durch die Matrix  ${}g\in \operatorname {GL} _{r}\!{\left(K\right)}$  bestimmtes ${}r$-Tupel abgebildet wird. Mit  ${}g={\begin{pmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1r}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{r1}&\ldots &a_{rr}\end{pmatrix}}$  interessieren wir uns also für die Abbildung

$\operatorname {GL} _{r}\!{\left(K\right)}\times V^{r}\longrightarrow V^{r},\,({\begin{pmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1r}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{r1}&\ldots &a_{rr}\end{pmatrix}},v_{1},v_{2},\ldots ,v_{r})\longmapsto \left(\sum _{i=1}^{r}a_{1i}v_{i},\,\sum _{i=1}^{r}a_{2i}v_{i},\,\ldots ,\,\sum _{i=1}^{r}a_{ri}v_{i}\right).$

Ein Tupel von ${}r$ Vektoren wird also stets auf ein Tupel aus Linearkombinationen dieser Vektoren abgebildet. Daher ist der von ${}v_{1},\ldots ,v_{r}$ erzeugte ${}K$- Untervektorraum gleich dem vom Bildtupel ${}g(v_{1},\ldots ,v_{r})$ erzeugten Untervektorraum. Wenn die ${}v_{1},\ldots ,v_{r}$ linear unabhängig sind, so gilt dies auch für das Bildtupel. Für einen ${}r$-dimensionalen Untervektorraum  ${}U\subseteq V$  und zwei Basen von ${}U$ gibt es stets einen Automorphismus von ${}U$, der die eine Basis in die andere Basis überführt. Wenn man also die Operation von ${}\operatorname {GL} _{r}\!{\left(K\right)}$ auf die (offene und dichte) Teilmenge  ${}T\subseteq V^{r}$  einschränkt, die aus allen linear unabhängigen ${}r$-Tupeln besteht, so entsprechen die Bahnen der Operation den ${}r$-dimensionalen Untervektorräumen von ${}V$, und die Elemente der einzelnen Bahnen durchlaufen sämtliche Basen des zugehörigen Untervektorraumes. Die Bahnen der Operation auf ganz ${}V^{r}$ sind schwieriger zu charakterisieren.

Wir beschreiben die algebraische Version dieser Operation. Die linearen Funktionen auf dem der Operation zugrunde liegenden Vektorraum  ${}W=V^{r}$  sind die Linearformen  ${}f=(f_{1},\ldots ,f_{r})$  mit

${}f(v_{1},\ldots ,v_{r})=f_{1}(v_{1})+\cdots +f_{r}(v_{r})\,.$

Dabei sind die ${}f_{i}$ Linearformen auf ${}V$, die wir direkt als Linearformen auf ${}V^{r}$ über die ${}i$-ten Projektionen auffassen. Zu  ${}g\in \operatorname {GL} _{r}\!{\left(K\right)}$  und

${}f=\left(f_{1},\,\ldots ,\,f_{r}\right)\,$

ist die verknüpfte Abbildung gleich

${}{\begin{aligned}(fg)\left(v_{1},\,\ldots ,\,v_{r}\right)&=f\left(\sum _{i=1}^{r}a_{1i}v_{i},\,\sum _{i=1}^{r}a_{2i}v_{i},\,\ldots ,\,\sum _{i=1}^{r}a_{ri}v_{i}\right)\\&=f_{1}{\left(\sum _{i=1}^{r}a_{1i}v_{i}\right)}+f_{2}{\left(\sum _{i=1}^{r}a_{2i}v_{i}\right)}+\cdots +f_{r}{\left(\sum _{i=1}^{r}a_{ri}v_{i}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{r}a_{1i}f_{1}{\left(v_{i}\right)}+\sum _{i=1}^{r}a_{2i}f_{2}{\left(v_{i}\right)}+\cdots +\sum _{i=1}^{r}a_{ri}f_{r}{\left(v_{i}\right)}\\&=\sum _{i,j}a_{ji}f_{j}{\left(v_{i}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{r}a_{j1}f_{j}{\left(v_{1}\right)}+\sum _{j=1}^{r}a_{j2}f_{j}{\left(v_{2}\right)}+\cdots +\sum _{j=1}^{r}a_{jr}f_{j}{\left(v_{r}\right)}\\&=\left(\sum _{j=1}^{r}a_{j1}f_{j},\,\sum _{j=1}^{r}a_{j2}f_{j},\,\ldots ,\,\sum _{j=1}^{r}a_{jr}f_{j}\right)\left(v_{1},\,\ldots ,\,v_{r}\right).\end{aligned}}$

Daher ist

${}{\begin{aligned}fg&=\left(f_{1},\,\ldots ,\,f_{r}\right)g\\&=\left(\sum _{j=1}^{r}a_{j1}f_{j},\,\sum _{j=1}^{r}a_{j2}f_{j},\,\ldots ,\,\sum _{j=1}^{r}a_{jr}f_{j}\right).\end{aligned}}$

Es sei nun  ${}V=K^{n}$,  sodass wir die Gesamtsituation mit Variablen schreiben können. Zum Vektorraum ${}V^{r}$ gehört der Polynomring

$K[X_{ij}\,,1\leq i\leq n,\,1\leq j\leq r].$

Dabei repräsentieren die ${}X_{ij}$, ${}1\leq i\leq n$, die Koordinatenfunktionen der ${}j$-ten Kopie des Vektorraums ${}K^{n}$. Die Variable ${}X_{ij}$ ist die ${}j$-te Projektion von ${}V^{r}$ auf  ${}V=K^{n}$  gefolgt von der ${}i$-ten Projektion ${}p_{i}$ von ${}K^{n}$ auf ${}K$. Somit ist (es steht ${}p_{i}$ an der ${}j$-ten Stelle)

${}{\begin{aligned}X_{ij}g&=\left(0,\,\ldots ,\,p_{i},\,0,\,\ldots ,\,0\right)g\\&=\left(a_{j1}p_{i},\,\ldots ,\,a_{jr}p_{i}\right)\\&=\sum _{k=1}^{r}a_{jk}X_{ik}.\end{aligned}}$

Wenn eine Linearform auf ${}V^{r}$ (also eine Linearkombination aller ${}X_{ij}$) in Matrixform als

${\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\ldots &c_{1r}\\c_{21}&c_{22}&\ldots &c_{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{n1}&c_{n2}&\ldots &c_{nr}\end{pmatrix}}$

gegeben ist, wobei die ${}c_{ij}$ die Koeffizienten zu ${}X_{ij}$ bezeichnen, so erhält man die durch ${}g$ transformierte Linearform, indem man diese Matrix von rechts mit der transponierten Matrix zu ${}g$ multipliziert, also

${}{\begin{pmatrix}c'_{11}&c'_{12}&\ldots &c'_{1r}\\c'_{21}&c'_{22}&\ldots &c'_{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c'_{n1}&c'_{n2}&\ldots &c'_{nr}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\ldots &c_{1r}\\c_{21}&c_{22}&\ldots &c_{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{n1}&c_{n2}&\ldots &c_{nr}\end{pmatrix}}\circ {{\begin{pmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1r}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{r1}&\ldots &a_{rr}\end{pmatrix}}^{\text{tr}}}\,.$

Damit liegt eine Operation der ${}\operatorname {GL} _{r}\!{\left(K\right)}$ auf dem Polynomring in ${}nr$ Variablen vor. Um invariante Polynome zu bekommen, schränken wir die Operation auf die spezielle lineare Gruppe  ${}\operatorname {SL} _{r}\!{\left(K\right)}\subseteq \operatorname {GL} _{r}\!{\left(K\right)}$  ein. Dann sind sämtliche ${}r$- Minoren der Variablenmatrix

${\begin{pmatrix}X_{11}&X_{12}&\ldots &X_{1r}\\X_{21}&X_{22}&\ldots &X_{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\X_{n1}&X_{n2}&\ldots &X_{nr}\end{pmatrix}}$

invariant unter der Gruppenoperation. Dazu betrachten wir die universelle alternierende Abbildung

$V^{r}\longrightarrow \bigwedge ^{r}V,\,(v_{1},\ldots ,v_{r})\longmapsto v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{r}.$

Diese Abbildung ist nach Korollar 57.6 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) invariant unter der Gruppenoperation (dafür braucht man, dass die Determinanten von ${}g$ gleich ${}1$ sind). Die ${}r$-Minoren sind Linearformen auf dem ${}r$-ten Dachprodukt.

Definition

Zu einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ und einer natürlichen Zahl ${}r$ nennt man die Menge der ${}r$- dimensionalen Untervektorräume  ${}U\subseteq V$  die ${}r$-te Graßmann-Varietät. Sie wird mit ${}G(r,V)$ und bei  ${}V=K^{n}$  mit ${}G(r,n)$ bezeichnet.

Nach Beispiel 29.2 ist ${}G(r,V)$ der Bahnenraum zur dort beschriebenen Operation der ${}\operatorname {GL} _{r}\!{\left(K\right)}$ auf  ${}T\subseteq V^{r}$,  wobei ${}T$ aus den linear unabhängigen ${}r$-Tupeln besteht. Dieses ${}T$ ist in der Zariski-Topologie eine offene Teilmenge und bei  ${}K=\mathbb {R}$  oder ${}{\mathbb {C} }$ auch in der metrischen Topologie offen. Man kann ${}G(r,V)$ mit der Quotiententopologie unter der Quotientenabbildung versehen. Im metrischen Fall erhält man sogar eine Mannigfaltigkeitsstruktur auf ${}G(r,V)$, man spricht dann von der Graßmann-Mannigfaltigkeit.

Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper. Wir betrachten Paare von Matrizen

$(B,C),$

wobei ${}B$ eine ${}m\times n$-Matrix und ${}C$ eine ${}n\times k$-Matrix ist. Es gibt also insgesamt ${}n(k+m)$ Koordinaten. Die allgemeine lineare Gruppe  ${}G=\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$  operiert auf der Menge dieser Matrizenpaare in folgender Weise: Zu  ${}A\in \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$  setzen wir

${}A\cdot (B,C):=(BA^{-1},AC)\,.$

Dass eine Operation vorliegt, folgt aus

${}{\begin{aligned}A_{1}\cdot {\left(A_{2}\cdot (B,C)\right)}&=A_{1}\cdot {\left(BA_{2}^{-1},A_{2}C\right)}\\&=((BA_{2}^{-1})A_{1}^{-1},A_{1}(A_{2}C))\\&=(B(A_{2}^{-1})A_{1}^{-1}),(A_{1}A_{2})C)\\&=(B(A_{1}A_{2})^{-1},(A_{1}A_{2})C)\\&=(A_{1}A_{2})\cdot (B,C),\end{aligned}}$

woraus auch die Wahl der Reihenfolge und der Grund der Invertierung klar wird. DIe Situation kann man sich auch gut anhand des folgenden Diagramms klarmachen.

${\begin{matrix}K^{k}&{\stackrel {C}{\longrightarrow }}&K^{n}&{\stackrel {B}{\longrightarrow }}&K^{m}\\&\searrow &A\downarrow \uparrow A^{-1}&\nearrow &\\&&K^{n}&&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

Die Gesamtabbildung ${}BC$ stimmt mit der Abbildung ${}(BA^{-1})(AC)$ überein, die invertierbare Matrix ${}A$ beschreibt einen Basiswechsel für den mittleren Raum. Aus dieser Interpretation ergibt sich direkt, dass die Produktabbildung

$\psi \colon \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)\times \operatorname {Mat} _{n\times k}(K)\longrightarrow \operatorname {Mat} _{m\times k}(K),\,(B,C)\longmapsto BC$

mit der Operation der Gruppe verträglich (hinten liegt die triviale Operation vor) ist, was rechnerisch auch aus

${}\psi (A\cdot (B,C))=\psi (BA^{-1},AC)=BA^{-1}AC=BC=\psi (B,C)\,$

folgt.

Mit Hilfe der Variablenmatrizen

$X={\begin{pmatrix}X_{11}&X_{12}&\ldots &X_{1n}\\X_{21}&X_{22}&\ldots &X_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\X_{m1}&X_{m2}&\ldots &X_{mn}\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,Y={\begin{pmatrix}Y_{11}&Y_{12}&\ldots &Y_{1k}\\Y_{21}&Y_{22}&\ldots &Y_{2k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\Y_{n1}&Y_{n2}&\ldots &Y_{nk}\end{pmatrix}}$

kann man einfach invariante Polynome aus  ${}R=K[X,Y]$  angeben, nämlich die Einträge der Produktmatrix ${}XY$, also die Ausdrücke der Form

${}F_{ij}:=X_{i1}Y_{1j}+X_{i2}Y_{2j}+\cdots +X_{in}Y_{nj}\,.$

Die Invarianz dieser Formen folgt direkt aus der Invarianz der obigen Produktabbildung. Darüber hinaus kann man zeigen, dass der Invariantenring von den ${}F_{ij}$ erzeugt wird und auch eine explizite Restklassendarstellung ist bekannt: Wenn man den Polynomring  ${}K[W]=K[W_{ij},\,1\leq i\leq m,\,1\leq j\leq k]$  heranzieht und die surjektive Abbildung

$\pi \colon K[W]\longrightarrow R^{G},\,W_{ij}\longmapsto F_{ij},$

betrachtet, so wird der Kern von ${}\pi$ durch sämtliche ${}n+1$- Minoren der Variablenmatrix ${}W$ erzeugt. Dieser Invariantenring ist daher ein sogenannter Minorenring (oder Determinantenring), und insbesondere lassen sich Minorenringe als Invariantenringe realisieren.

Wenn beispielsweise  ${}n=1$  ist, so gibt es die Variablen ${}X_{1},\ldots ,X_{m}$ und ${}Y_{1},\ldots ,Y_{k}$ und es ist

${}F_{ij}=X_{i}Y_{j}\,.$

Zwischen den ${}F_{ij}$ bestehen die Relationen

${}F_{ij}F_{rs}=X_{i}Y_{j}X_{r}Y_{s}=X_{i}Y_{s}X_{r}Y_{j}=F_{is}F_{rj}\,,$

d.h.

${}F_{ij}F_{rs}-F_{is}F_{rj}=0\,.$

Diese Relationen sind die ${}2$-Minoren der Matrix ${}{\left(W_{ij}\right)}_{ij}$. In diesem Fall ist der Invariantenring sogar ein Monoidring.

Affin-algebraische Gruppen

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper. Eine affin-algebraische Gruppe (über ${}K$) ist eine Gruppe ${}G$ der Form

${}G={\left(\operatorname {Spek} {\left(H\right)}\right)}(K)\,,$

wobei ${}H$ eine kommutative endlich erzeugte ${}K$- Hopf-Algebra ist.

Eine affin-algebraische Gruppe ist also die Menge der ${}K$-Punkte eines affinen Gruppenschemas von endlichem Typ. Dazu gehören die endlichen Gruppen (siehe Beispiel 17.8), die additive Gruppe ${}(K,+,0)$ (siehe Beispiel 17.9), die multiplikative Gruppe ${}(K^{\times },\cdot ,1)$ (siehe Beispiel 17.10), die allgemeine lineare Gruppe (siehe Beispiel 18.6), die spezielle lineare Gruppe (siehe Beispiel *****).

Definition

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ die Gruppe der invertierbaren ${}n\times n$-Matrizen. Eine Zariski-abgeschlossene Untergruppe  ${}G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$  nennt man eine lineare Gruppe (oder eine linear-algebraische Gruppe).

Man kann zeigen, dass affin-algebraische Gruppen und lineare Gruppen äquivalente Konzepte sind. Das erste Konzept ist begrifflich stärker, während das zweite Konzept die typischen Beispiele abdeckt. Der Zusammenhang beruht im Wesentlichen auf der Hopf-Interpretation der allgemeinen linearen Gruppe, siehe Beispiel 18.6.

Wir reformulieren Definition 18.9 für eine affin-algebraische Gruppe.

Definition

Zu einer affin-algebraischen Gruppe ${}G$ über einem Körper ${}K$, die durch die kommutative ${}K$- Hopf-Algebra ${}H$ gegeben sei, nennt man eine Operation von ${}G$ auf einer kommutativen ${}K$- Algebra ${}R$ algebraisch (oder regulär), wenn sie durch eine Kooperation von ${}H$ auf ${}R$ gegeben ist.

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