Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 10/latex
\setcounter{section}{10}
\zwischenueberschrift{Noethersche Ringe}
Unser Ziel ist es zu zeigen, dass wenn $R$ ein noetherscher Ring ist, dass dann auch der Polynomring
\mathl{R[X]}{} ein noetherscher Ring ist
\zusatzklammer {Hilbertscher Basissatz} {} {.}
Dies gilt dann auch für die Hinzunahme von mehreren
\zusatzklammer {endlich vielen} {} {} Variablen und insbesondere für Polynomringe in endlich vielen Variablen über einem Körper. Wir erinnern an den Begriff des noetherschen Ringes.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Noether.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Emmy Noether (1882-1935)} }
\bildlizenz { Noether.jpg } {Unbekannt (vor 1910)} {} {Commons} {PD} {}
\inputdefinition
{}
{
Ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} $R$ heißt \definitionswort {noethersch}{,} wenn jedes \definitionsverweis {Ideal}{}{} darin \definitionsverweis {endlich erzeugt}{}{} ist.
}
\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Noethersche Ringe/Äquivalente Formulierungen/Fakt}
{Proposition}
{}
{
Für einen
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ sind folgende Aussagen äquivalent.
\aufzaehlungzwei { $R$ ist
\definitionsverweis {noethersch}{}{.}
} {Jede aufsteigende Idealkette
\mathdisp {{\mathfrak a}_1 \subseteq {\mathfrak a}_2 \subseteq {\mathfrak a}_3 \subseteq \ldots} { }
wird \stichwort {stationär} {,} d.h. es gibt ein $n$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}_n
}
{ = }{ {\mathfrak a}_{n+1}
}
{ = }{ \ldots
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{
(1) $\Rightarrow$ (2). Sei
\mathdisp {{\mathfrak a}_1 \subseteq {\mathfrak a}_2 \subseteq {\mathfrak a}_3 \subseteq \ldots} { }
eine aufsteigende Idealkette in $R$. Wir betrachten die Vereinigung
\mathl{{\mathfrak a} = \bigcup_{n \in \N } {\mathfrak a}_n}{,} die wieder ein Ideal in $R$ ist. Da $R$ noethersch ist, ist ${\mathfrak a}$ endlich erzeugt, d.h.
\mathl{{\mathfrak a}= (f_1 , \ldots , f_k)}{.} Da diese $f_i$ in der Vereinigung der Ideale ${\mathfrak a}_n$ liegen, und da die Ideale aufsteigend sind, muss es ein $n$ derart geben, dass
\mathl{f_1 , \ldots , f_k \in {\mathfrak a}_n}{} liegt. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (f_1 , \ldots , f_k)
}
{ \subseteq} { {\mathfrak a}_n
}
{ \subseteq} { {\mathfrak a}_{n+m}
}
{ \subseteq} {\bigcup_{n \in \N } {\mathfrak a}_n
}
{ \subseteq} {(f_1, \ldots , f_k)
}
}
{}{}{}
für
\mathl{m \geq 0}{} muss hier Gleichheit gelten, sodass die Idealkette ab $n$ stationär ist.
(2) $\Rightarrow$ (1). Es sei $\mathfrak a$ ein Ideal in $R$. Wir nehmen an, $\mathfrak a$ sei nicht endlich erzeugt, und konstruieren sukzessive eine unendliche echt aufsteigende Idealkette
\mathl{{\mathfrak a}_n \subset \mathfrak a}{,} wobei die ${\mathfrak a}_n$ alle endlich erzeugt sind. Es sei dazu
\mathdisp {{\mathfrak a}_1 \subset {\mathfrak a}_2 \subset \ldots \subset {\mathfrak a}_n \subseteq {\mathfrak a}} { }
bereits konstruiert. Da ${\mathfrak a}_n$ endlich erzeugt ist, aber ${\mathfrak a}$ nicht, ist die Inklusion
\mathl{{\mathfrak a}_n \subseteq {\mathfrak a}}{} echt und es gibt ein Element
\mathdisp {f_{n+1} \in {\mathfrak a}, \, f_{n+1} \not\in {\mathfrak a}_{n}} { . }
Dann setzt das Ideal
\mathl{{\mathfrak a}_{n+1} \defeq {\mathfrak a}_{n} + ( f_{n+1})}{} die Idealkette echt aufsteigend fort.
\inputfaktbeweis
{Noetherscher Ring/Kommutativ/Restklassenring/Noethersch/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {noetherscher Ring}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch jeder
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{R/ {\mathfrak b}}{} noethersch.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq R/{\mathfrak b}}{} ein Ideal und sei
\mathl{\tilde{\mathfrak a} \subseteq R}{} das Urbildideal davon. Dieses ist endlich erzeugt nach Voraussetzung, also
\mathl{\tilde{\mathfrak a} =(f_1, \ldots , f_n)}{.} Die Restklassen dieser Erzeuger, also
\mathl{\bar{f}_1, \ldots,\bar{f}_n}{,} bilden ein Idealerzeugendensystem von $\mathfrak a$: Für ein Element
\mathl{\bar{g} \in {\mathfrak a}}{} gilt ja
\mathl{g= \sum_{i=1}^n r_i f_i}{} in $R$ und damit
\mathl{\bar{g} = \sum_{i=1}^n \bar{r}_i \bar{f}_i}{} in
\mathl{R/{\mathfrak b}}{.}
\zwischenueberschrift{Der Hilbertsche Basissatz}
Wie viele grundlegende Aussagen der kommutativen Algebra geht der Hilbertsche Basissatz, dem wir uns jetzt zuwenden, auf David Hilbert zurück, genauer auf seine Arbeit von 1890, \anfuehrung{Ueber die Theorie der algebraischen Formen}{}.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {David_Hilbert_1886.jpg } }
\end{center}
\bildtext {David Hilbert (1862-1943)} }
\bildlizenz { David Hilbert 1886.jpg } {Unbekannt (1886)} {} {Commons} {PD} {}
\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Hilbertscher Basissatz/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {noetherscher Ring}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch der Polynomring
\mathl{R[X]}{} noethersch.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei ${\mathfrak b}$ ein Ideal im Polynomring $R[X]$. Zu
\mathl{n \in \N}{} definieren wir ein Ideal ${\mathfrak a}_n$ in $R$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}_ n
}
{ =} { { \left\{ c \in R \mid \text{es gibt } F \in {\mathfrak b} \text{ mit } F = cX^n + c_{n-1}X^{n-1} + \cdots + c_1X +c_0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das Menge ${\mathfrak a}_n$ besteht also aus allen Leitkoeffizienten von Polynomen vom Grad $n$ aus ${\mathfrak b}$. Es handelt sich dabei offensichtlich um Ideale in $R$
\zusatzklammer {wobei wir hier $0$ als Leitkoeffizient zulassen} {} {.}
Ferner ist
\mathl{{\mathfrak a}_n \subseteq {\mathfrak a}_{n+1}}{,} da man ja ein Polynom $F$ vom Grad $n$ mit Leitkoeffizient $c$ mit der Variablen $X$ multiplizieren kann, um ein Polynom vom Grad
\mathl{n+1}{} zu erhalten, das wieder $c$ als Leitkoeffizienten besitzt. Da $R$ noethersch ist, muss diese aufsteigende Idealkette stationär werden; sei $n$ so, dass
\mathl{{\mathfrak a}_n = {\mathfrak a}_{n+1} = \ldots}{} ist.
Zu jedem
\mathl{i \leq n}{} sei nun
\mathl{{\mathfrak a}_i =(c_{i 1} , \ldots , c_{i k_i})}{} ein endliches Erzeugendensystem, und es seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F_{ij}
}
{ =} { c_{ij} X^{i} + \text{ Terme von kleinerem Grad }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zugehörige Polynome aus ${\mathfrak b}$
\zusatzklammer {die es nach Definition der ${\mathfrak a}_i$ geben muss} {} {.}
Wir behaupten, dass ${\mathfrak b}$ von allen
\mathl{{ \left\{ F_{ij} \mid 0 \leq i \leq n,\, 1 \leq j \leq k_i \right\} }}{} erzeugt wird. Dazu beweisen wir für jedes
\mathl{G \in {\mathfrak b}}{} durch Induktion über den Grad von $G$, dass es als Linearkombination mit diesen
\mathl{F_{ij}}{} darstellbar ist. Für $G$ konstant, also
\mathl{G \in R}{,} ist dies klar. Es sei nun der Grad von $G$ gleich $d$ und die Aussage sei für kleineren Grad bewiesen. Wir schreiben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ =} { cX^d + c_{d-1}X^{d-1} + \cdots + c_1X+c_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es ist
\mathl{c \in {\mathfrak a}_d}{} und damit kann man $c$ als $R$-Linearkombination der
\mathl{c_{ij}, 0 \leq i \leq n,\, 1 \leq j \leq k_i}{,} schreiben. Bei
\mathl{d \leq n}{} kann man $c$ sogar als $R$-Linearkombination der
\mathl{c_{dj},\, j=1 , \ldots , k_d}{,} schreiben, sagen wir
\mathl{c= \sum_{j=1}^{k_d} r_j c_{dj}}{.} Dann ist
\mathl{G-\sum_{j=1}^{k_d} r_j F_{dj} \in {\mathfrak b}}{} und hat einen kleineren Grad, sodass man darauf die Induktionsvoraussetzung anwenden kann. Bei
\mathl{d >n}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c
}
{ =} { \sum_{i = 0 , \ldots , n,\, j = 1 , \ldots , k_i} r_{ij} c_{ij}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Damit gehört
\mathdisp {G-\sum_{i=0 , \ldots , n,\, j=1 , \ldots , k_i} r_{ij} X^{d-i} F_{ij}} { }
ebenfalls zu ${\mathfrak b}$ und hat einen kleineren Grad, sodass man wieder die Induktionsvoraussetzung anwenden kann.
\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Hilbertscher Basissatz/Endliche viele Variablen/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {noetherscher Ring}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch
\mathl{R[X_1 , \ldots , X_n]}{} noethersch.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt durch induktive Anwendung
des Hilbertschen Basissatzes
auf die Kette
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ \subset} { R[X_1]
}
{ \subset} { (R[X_1])[X_2] = R[X_1,X_2]
}
{ \subset} { (R[X_1,X_2])[X_3] = R[X_1,X_2,X_3]
}
{ \subset} { \ldots
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ \subset} { R[X_1 , \ldots , X_{n}]
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Polynomring über Körper/Endliche viele Variablen/Noethersch/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{}
\definitionsverweis {noethersch}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies ist ein Spezialfall von Korollar 10.5.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Eine
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
$A$ heißt \definitionswort {von endlichem Typ}{}
\zusatzklammer {oder \definitionswort {endlich erzeugt}{}} {} {,}
wenn sie die Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A
}
{ =} { R[X_1 , \ldots , X_n]/ {\mathfrak a}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besitzt.
}
Eine endlich erzeugte $R$-Algebra besitzt also eine Darstellung als Restklassenring einer Polynomalgebra über $R$ in endlich vielen Variablen. Eine solche Darstellung ist keineswegs eindeutig.
\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Algebra von endlichem Typ/Körper/Noethersch/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {noetherscher Ring}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist jede
$R$-\definitionsverweis {Algebra von endlichem Typ}{}{}
ebenfalls noethersch. Insbesondere ist für einen
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ jede $K$-Algebra von endlichem Typ noethersch.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus Korollar 10.5 und aus Lemma 10.3.
\zwischenueberschrift{Noethersche Moduln}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
Der Modul $M$ heißt \definitionswort {endlich erzeugt}{} oder \definitionswort {endlich}{,} wenn es ein
\definitionsverweis {endliches}{}{}
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
für ihn gibt
\zusatzklammer {also mit einer endlichen Indexmenge} {} {.}
}
Wir wollen zeigen, das für einen noetherschen Ring $R$ und einen endlich erzeugten $R$-Modul jeder $R$-Untermodul wieder endlich erzeugt ist. Solche Moduln nennt man noethersch.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $M$ ein $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.} Dann heißt $M$ \definitionswort {noethersch}{,} wenn jeder $R$-\definitionsverweis {Untermodul}{}{} von $M$ \definitionsverweis {endlich erzeugt}{}{} ist.
}
Für
\mathl{M=R}{} stimmt dies mit der Definition eines noetherschen Ringes überein, da ja die $R$-Untermoduln von $R$ gerade die Ideale sind.
In den folgenden Aussagen verwenden wir folgende Sprech- bzw. Schreibweise.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und seien
\mathl{M_1,M_2,M_3}{}
$R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{.}
Man nennt ein Diagramm der Form
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, M_1 \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, M_2 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, M_3 \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
eine \definitionswort {kurze exakte Sequenz}{} von $R$-Moduln, wenn $M_1$ ein $R$-Untermodul von $M_2$ ist, und wenn $M_3$ ein Restklassenmodul von $M_2$ ist, der isomorph zu
\mathl{M_2/M_1}{} ist.
}
Die Exaktheit bedeutet, dass an jeder Stelle die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi_{i+1}
}
{ =} { \operatorname{bild} \varphi_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt, wenn $\varphi_i$ die
$R$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismen}{}{}
bezeichnet.
\inputfaktbeweis
{Modultheorie (kommutative Algebra)/Noethersche Moduln/Kurze exakte Sequenz/Äquivalentes Kriterium/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $R$ ein kommutativer Ring und
\mathdisp {0 \longrightarrow M_1 \longrightarrow M \longrightarrow M_3 \longrightarrow 0} { }
eine
\definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{}
von $R$-Moduln.}
\faktfolgerung {Dann ist $M$ genau dann
\definitionsverweis {noethersch}{}{,}
wenn sowohl $M_1$ als auch $M_3$ noethersch sind.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei zunächst $M$ noethersch, und
\mathl{U \subseteq M_1}{} ein Untermodul. Dann ist $U$ direkt auch ein Untermodul von $M$, also nach Voraussetzung endlich erzeugt. Es sei nun
\mathl{V \subseteq M_3}{} ein Untermodul des Restklassenmoduls. Das Urbild von $V$ in $M$ unter der Restklassenabbildung sei $\tilde{V}$. Dieser Modul ist nach Voraussetzung endlich erzeugt, und die Bilder eines solchen Erzeugendensystems erzeugen auch den Bildmodul $V$.
Es seien nun die äußeren Moduln $M_1$ und $M_3$ noethersch, und sei
\mathl{U \subseteq M}{} ein Untermodul. Es sei
\mathl{U_3 \subseteq M_3}{} der Bild-Untermodul davon. $U_3$ wird von endlich vielen Elementen
\mathl{s_1, \ldots, s_n}{} erzeugt, und wir können annehmen, dass diese
\mathl{s_i = \overline{r}_i}{} die Bilder von Elementen
\mathl{r_i \in U}{} sind. Betrachte
\mathl{U \cap M_1}{.} Dies ist ein Untermodul von $M_1$, und daher endlich erzeugt, sagen wir von
\mathl{t_1 , \ldots , t_k}{,} die wir als Elemente in $U$ auffassen. Wir behaupten, dass
\mathdisp {r_1, \ldots ,r_n,t_1, \ldots , t_k} { }
ein Erzeugendensystem von $U$ bilden. Es sei dazu
\mathl{m \in U}{} ein beliebiges Element. Dann ist
\mathl{\overline{m}= \sum_{i=1}^n a_i s_i}{} und daher geht das Element
\mathl{m-\sum_{i=1}^n a_i r_i}{} rechts auf $0$. Dann gehört es aber zum Kern der Restklassenabbildung, also zu $M_1$. Andererseits gehört dieses Element auch zu $U$, also zum Durchschnitt
\mathl{M_1 \cap U}{,} der ja von den
\mathl{t_1, \ldots ,t_k}{} erzeugt wird. Also kann man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ m-\sum_{i = 1}^n a_i r_i
}
{ =} { \sum_{j = 1}^k b_j t_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ = }{ \sum_{i = 1}^n a_i r_i+ \sum_{j = 1}^k b_j t_j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben.
\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Noethersche Ringe/Endlich erzeugte Moduln sind noethersch/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {noetherscher}{}{}
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $M$ ein
\definitionsverweis {endlich erzeugter}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $M$ ein
\definitionsverweis {noetherscher Modul}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Anzahl $n$ der Modulerzeuger von $M$. Bei
\mathl{n=0}{} liegt der Nullmodul vor. Es sei
\mathl{n=1}{.} Dann gibt es eine surjektive Abbildung
\maabb {} {R} {M \cong R/ {\mathfrak a}
} {.}
Nach
Lemma 10.12
ist aber ein Restklassenmodul eines noetherschen Moduls wieder noethersch, und der Ring selbst ist nach Voraussetzung noethersch, also ist $M$ noethersch.
Es sei nun
\mathl{n \geq 2}{} und die Aussage für kleinere $n$ bereits bewiesen. Es sei
\mathl{m_1, \ldots, m_n}{} ein Erzeugendensystem von $M$. Wir betrachten den durch
\mathl{m_1, \ldots, m_{n-1}}{} erzeugten $R$-Untermodul, den wir mit $M_1$ bezeichnen. Dieser Untermodul gibt Anlass zu einer
\definitionsverweis {kurzen exakten Sequenz}{}{,}
nämlich
\mathdisp {0 \longrightarrow M_1 \longrightarrow M \longrightarrow M/M_1 =:M_3 \longrightarrow 0} { . }
Hier wird der linke Modul von
\mathl{n-1}{} Elementen erzeugt und ist nach Induktionsvoraussetzung noethersch. Der rechte Modul wird von der Restklasse von $m_n$, also von einem Element erzeugt, ist also auch noethersch. Nach
Lemma 10.12
ist dann $M$ noethersch.
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