Kurs:Körper- und Galoistheorie/10/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 0 3 5 3 0 4 0 12 0 4 4 0 5 4 4 7 61



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein algebraisch abgeschlossener Körper.
  2. Eine einfache Radikalerweiterung (von Körpern).
  3. Ein Hauptidealbereich.
  4. Ein über einem Körper algebraisches Element einer -Algebra .
  5. Eine normale Körpererweiterung .
  6. Ein aus einer Teilmenge einer Ebene in einem Schritt konstruierbarer Punkt .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Beziehung zwischen prim und irreduzibel in einem Integritätsbereich .
  2. Der Satz über die Charakterisierung normaler Körpererweiterungen.
  3. Der Satz über die Konstruktion der Quadratwurzel.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei eine -te Einheitswurzel. Zeige


Aufgabe * (5 Punkte)

Sei ein Hauptidealbereich und ein Element. Zeige, dass die folgende Bedingungen äquivalent sind.

  1. ist ein Primelement.
  2. ist ein Integritätsbereich.
  3. ist ein Körper.


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass eine endliche Körpererweiterung algebraisch ist.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine Erweiterung endlicher Körper mit und es sei eine primitive Einheitswurzel von . Was ist die erste Potenz , , die zu gehört? Ist dieses ein primitives Element von ?


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (12 (3+1+6+2) Punkte)

Es sei eine Primzahl.

a) Bestimme den Grad der Körpererweiterung

Man gebe auch eine -Basis von an.

b) Zeige, dass in alle Elemente der Form und mit eine dritte Wurzel besitzen.

c) Die rationale Zahl besitze in eine dritte Wurzel. Zeige, dass die Form

mit besitzt.

d) Es sei nun eine weitere, von verschiedene Primzahl. Bestimme den Grad der Körpererweiterung


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei mit gerade. Zeige, dass der Zerfällungskörper von maximal den Grad besitzt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das Kreisteilungspolynom .


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (5 Punkte)

Berechne die Schnittpunkte der beiden Kreise und , wobei den Mittelpunkt und den Radius und den Mittelpunkt und den Radius besitzt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass zu zwei konstruierbaren positiven reellen Zahlen und die Potenz nicht konstruierbar sein muss.


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz, dass man zu einer positiven reellen Zahl ihre Quadratwurzel mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.


Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise das Austauschlemma für Transzendenzbasen.