Kurs:Körper- und Galoistheorie/3/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Punkte 3 3 4 4 4 4 4 4 6 9 5 6 6 4 66



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Das Minimalpolynom eines Elementes in einer endlichen Körpererweiterung .
  2. Eine Radikalerweiterung (von Körpern).
  3. Die Diskriminante zu Elementen bei einer endlichen Körpererweiterung vom Grad .
  4. Eine auflösbare Körpererweiterung .
  5. Eine aus einer Teilmenge einer Ebene elementar konstruierbare Gerade .
  6. Eine Fermatsche Primzahl.


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Fundamentalsatz der Algebra.
  2. Der Satz von Abel-Ruffini.
  3. Der Satz über die Charakterisierung von konstruierbaren n-Ecken.


Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper :


Aufgabe * (4 Punkte)

Forme die Gleichung

in eine äquivalente Gleichung der Form

mit um.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms über den Körpern und .


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Matrix des Frobeniushomomorphismus

bezüglich einer geeigneten -Basis von .


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine endliche Körpererweiterung, () und sei das Minimalpolynom von . Zeige, dass irreduzibel ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass es zu jeder natürlichen Zahl eine Körpererweiterung vom Grad gibt.


Aufgabe * (6 Punkte)

Sei eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass die Galoisgruppe endlich ist.


Aufgabe * (9 Punkte)

Es sei ein Körper, eine endliche kommutative Gruppe und eine -graduierte Körpererweiterung. Der Körper enthalte eine -te primitive Einheitswurzel, wobei der Exponent von sei. Zeige, dass es ein Element derart gibt, dass die Menge

eine -Basis von bildet.


Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme das Kreisteilungspolynom .


Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ein Polynom vom Grad . Zeige mit Mitteln der Galoistheorie, dass auflösbar ist.


Aufgabe * (6 Punkte)

Aus einer Menge seien „wie üblich“ Geraden und Kreise elementar konstruierbar. Als neue Punkte seien allerdings nur die Durchschnitte von einer Geraden mit einer Geraden und von einer Geraden mit einem Kreis erlaubt (also nicht der Durchschnitt von zwei Kreisen). Bestimme die Menge der Punkte, die aus der Anfangsmenge auf diese Weise konstruierbar ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Wohldefiniertheit des Transzendenzgrades.