Kurs:Körper- und Galoistheorie/3/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	${}\sum$
Punkte	3	3	4	4	4	4	4	4	6	9	5	6	6	4	66

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das Minimalpolynom eines Elementes  ${}x\in L$  in einer endlichen Körpererweiterung  ${}K\subseteq L$. 
2. Eine Radikalerweiterung (von Körpern).
3. Die Diskriminante zu Elementen ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in L$ bei einer endlichen Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ vom Grad ${}n$.
4. Eine auflösbare Körpererweiterung ${}K\subseteq L$.
5. Eine aus einer Teilmenge ${}T\subseteq E$ einer Ebene ${}E$ elementar konstruierbare Gerade ${}G$.
6. Eine Fermatsche Primzahl.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Fundamentalsatz der Algebra.
2. Der Satz von Abel-Ruffini.
3. Der Satz über die Charakterisierung von konstruierbaren n-Ecken.

Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper  ${}K=\mathbb {Q} [{\sqrt {3}}]$: 

${}{\begin{pmatrix}2+{\sqrt {3}}&-{\sqrt {3}}\\{\frac {1}{2}}&-2-3{\sqrt {3}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1-{\sqrt {3}}\\4-2{\sqrt {3}}\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Forme die Gleichung

${}x^{4}+3x^{3}-5x^{2}+2x-7=0\,$

in eine äquivalente Gleichung der Form

${}y^{4}+b_{2}y^{2}+b_{1}y+b_{0}=0\,$

mit  ${}b_{i}\in \mathbb {Q}$  um.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms ${}X^{6}-1$ über den Körpern  ${}K=\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,{\mathbb {C} },\mathbb {Z} /(7)$  und ${}\mathbb {Z} /(5)$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Matrix des Frobeniushomomorphismus

$\Phi \colon {\mathbb {F} }_{125}\longrightarrow {\mathbb {F} }_{125}$

bezüglich einer geeigneten ${}{\mathbb {F} }_{5}$- Basis von ${}{\mathbb {F} }_{125}$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei  ${}K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung,  ${}x\in L$  ($x\neq 0$) und sei  ${}P\in K[X]$  das Minimalpolynom von ${}x$. Zeige, dass ${}P$ irreduzibel ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass es zu jeder natürlichen Zahl ${}n$ eine Körpererweiterung  ${}\mathbb {Q} \subseteq L$  vom Grad ${}n$ gibt.

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei  ${}K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass die Galoisgruppe ${}\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ endlich ist.

Aufgabe * (9 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}D$ eine endliche kommutative Gruppe und  ${}K\subseteq L$  eine ${}D$- graduierte Körpererweiterung. Der Körper ${}K$ enthalte eine ${}m$-te primitive Einheitswurzel, wobei ${}m$ der Exponent von ${}D$ sei. Zeige, dass es ein Element ${}v\in L$ derart gibt, dass die Menge

${\left\{\varphi (v)\mid \varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)\right\}}$

eine ${}K$-Basis von ${}L$ bildet.

Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme das Kreisteilungspolynom ${}\Phi _{14}$.

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ${}P\in \mathbb {Q} [X]$ ein Polynom vom Grad ${}3$. Zeige mit Mitteln der Galoistheorie, dass ${}P$ auflösbar ist.

Aufgabe * (6 Punkte)

Aus einer Menge  ${}T\subseteq E$  seien „wie üblich“ Geraden und Kreise elementar konstruierbar. Als neue Punkte seien allerdings nur die Durchschnitte von einer Geraden mit einer Geraden und von einer Geraden mit einem Kreis erlaubt (also nicht der Durchschnitt von zwei Kreisen). Bestimme die Menge ${}M$ der Punkte, die aus der Anfangsmenge ${}\{0,1\}$ auf diese Weise konstruierbar ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Wohldefiniertheit des Transzendenzgrades.