Kurs:Körper- und Galoistheorie/5/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	0	2	4	0	0	0	3	7	5	8	0	0	6	0	0	0	41

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein irreduzibles Element ${}p$ in einen kommutativen Ring ${}R$.
2. Eine ${}R$-Algebra ${}A$, wobei ${}R$ einen kommutativen Ring bezeichnet.
3. Eine ${}D$-graduierte Körpererweiterung.
4. Der Primkörper eines Körpers ${}K$.
5. Die normale Hülle zu einer algebraischen Körpererweiterung ${}K\subseteq L$.
6. Die Konjugationsklassen auf einer Gruppe ${}G$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Homomorphiesatz für Ringhomomorphismen.
2. Der Hauptsatz über endliche Körper.
3. Der Satz über die galoistheoretische Charakterisierung von konstruierbaren Zahlen.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und ${}R[X]$ der Polynomring über ${}R$. Zeige, dass die Einheiten von ${}R[X]$ genau die Einheiten von ${}R$ sind.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass das Polynom

$X^{3}-3X-1$

über ${}\mathbb {Q}$ irreduzibel ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Wie viele Quadrate und wie viele primitive Elemente besitzt ${}\mathbb {Z} /(31)$?

Wie viele Elemente besitzt ${}\mathbb {Z} /(31)$, die weder primitiv noch ein Quadrat sind?

Es sei ${}x$ ein primitives Element von ${}\mathbb {Z} /(31)$. Liste explizit alle Elemente ${}x^{i}$ auf, die weder primitiv noch ein Quadrat sind.

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Hauptsatz für endliche Körper.

Aufgabe * (5 (1+1+2+1) Punkte)

Wir betrachten die Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq L:=\mathbb {Q} [{\mathrm {i} },{\sqrt {2}}]=\mathbb {Q} [\zeta _{8}]\,$

mit ${}\zeta _{8}={\frac {1}{2}}{\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}{\mathrm {i} }\right)}$. Bestimme die Minimalpolynome zu ${}\zeta _{8}$ über den folgenden Zwischenkörpern ${}M$, ${}\mathbb {Q} \subseteq M\subseteq L$.

1. ${}M=\mathbb {Q}$.
2. ${}M=\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$.
3. ${}M=\mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]$.
4. ${}M=L$.

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Satz über Charaktere und Automorphismen bei graduierten Algebren.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz über die Beziehung zwischen normalen Körpererweiterungen und Zerfällungskörpern.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)