Kurs:Körper- und Galoistheorie/5/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 0 2 4 0 0 0 3 7 5 8 0 0 6 0 0 0 41



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein irreduzibles Element in einen kommutativen Ring .
  2. Eine -Algebra , wobei einen kommutativen Ring bezeichnet.
  3. Eine -graduierte Körpererweiterung.
  4. Der Primkörper eines Körpers .
  5. Die normale Hülle zu einer algebraischen Körpererweiterung .
  6. Die Konjugationsklassen auf einer Gruppe .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Homomorphiesatz für Ringhomomorphismen.
  2. Der Hauptsatz über endliche Körper.
  3. Der Satz über die galoistheoretische Charakterisierung von konstruierbaren Zahlen.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (2 Punkte)

Sei ein Integritätsbereich und der Polynomring über . Zeige, dass die Einheiten von genau die Einheiten von sind.


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass das Polynom

über irreduzibel ist.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Wie viele Quadrate und wie viele primitive Elemente besitzt ?

Wie viele Elemente besitzt , die weder primitiv noch ein Quadrat sind?

Sei ein primitives Element von . Liste explizit alle Elemente auf, die weder primitiv noch ein Quadrat sind.


Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Hauptsatz für endliche Körper.


Aufgabe * (5 (1+1+2+1) Punkte)

Wir betrachten die Körpererweiterung

mit . Bestimme die Minimalpolynome zu über den folgenden Zwischenkörpern , .

  1. .
  2. .
  3. .
  4. .


Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Satz über Charaktere und Automorphismen bei graduierten Algebren.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz über die Beziehung zwischen normalen Körpererweiterungen und Zerfällungskörpern.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)