Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 1/latex

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\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Bestätige folgende Aussagen. \aufzaehlungvier{Die dritten Einheitswurzeln in ${\mathbb C}$ sind $1,\, \epsilon= - { \frac{ 1 }{ 2 } } + { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } { \mathrm i}$ und $\eta = - { \frac{ 1 }{ 2 } } - { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } { \mathrm i}$. }{Es ist
\mathl{\epsilon^2 = \eta}{} und
\mathl{\eta^2= \epsilon}{.} }{Es ist
\mathl{1+\epsilon + \epsilon^2 =0}{.} }{Es ist
\mathl{\epsilon + \epsilon^2 =-1}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Eliminiere in der kubischen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^3 +6x^2-5x-2 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} den quadratischen Term.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Eliminiere in der kubischen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^3 +2x^2-2 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} den quadratischen Term.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme eine reelle Lösung der Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z^3 - { \frac{ 4 }{ 3 } } z - { \frac{ 38 }{ 27 } } }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit der Cardanoschen Formel.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Lösungen der Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^3-x+5 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit der Cardanoschen Formel.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{.} Zeige unter Verwendung der eindeutigen Primfaktorzerlegung von natürlichen Zahlen, dass die \definitionsverweis {reelle Zahl}{}{}
\mathl{\sqrt{p}}{} \definitionsverweis {irrational}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Führe in $\Q[X]$ die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden \definitionsverweis {Polynome}{}{} \mathkor {} {P=3X^4+7X^2-2X+5} {und} {T=2X^2+3X-1} {} durch.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 =0}{} eine kubische Gleichung mit
\mathl{a_i \in \Q}{.} Eliminiere den linearen Term. Ist dies stets über $\Q$ möglich?

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathdisp {a_nx^n +a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x +a_0 =0} { }
eine polynomiale Gleichung mit
\mathbed {a_i \in {\mathbb C}} {}
{a_n \neq 0} {}
{} {} {} {.} Zeige, dass es eine äquivalente polynomiale Gleichung der Form
\mathdisp {x^n +b_{n-2}x^{n-2} + \cdots + b_1x+b_0=0} { }
gibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Lösungen der Gleichung
\mathdisp {2x^3-4x^2+5x-3=0} { }
mit der \definitionsverweis {Cardanoschen Formel}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Lösungen der polynomialen Gleichung
\mathdisp {x^6-4x^2+7 =0} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass $K$ nicht endlich sein kann.

}
{} {}

In der nächsten Aufgabe soll über dem Körper
\mathl{L=\Q[\sqrt{3}]}{} aus Beispiel 1.7 gerechnet werden.


\inputaufgabe
{}
{

Führe in $(\Q[\sqrt{3}])[X]$ die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden \definitionsverweis {Polynome}{}{} \mathkor {} {P=3X^3-(2+\sqrt{3})X^2+5\sqrt{3}X+1+2\sqrt{3}} {und} {T=\sqrt{3}X^2-X+2+7\sqrt{3}} {} durch.

}
{} {}

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