Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 1/latex
\setcounter{section}{1}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestätige folgende Aussagen.
a) Die dritten Einheitswurzeln in ${\mathbb C}$ sind
$1,\, \epsilon= - { \frac{ 1 }{ 2 } } + { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } { \mathrm i}$ und $\eta = - { \frac{ 1 }{ 2 } } - { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } { \mathrm i}$.
b) Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon^2
}
{ = }{ \eta
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \eta^2
}
{ = }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
c) Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1+\epsilon + \epsilon^2
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
d) Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon + \epsilon^2
}
{ = }{ -1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Eliminiere in der kubischen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^3 +6x^2-5x-2
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den quadratischen Term.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Eliminiere in der kubischen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^3 +2x^2-2
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den quadratischen Term.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme eine reelle Lösung der Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z^3 - { \frac{ 4 }{ 3 } } z - { \frac{ 38 }{ 27 } }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
der Cardanoschen Formel.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Lösungen der Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^3-x+5
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
der Cardanoschen Formel.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
Zeige unter Verwendung der
eindeutigen Primfaktorzerlegung
von natürlichen Zahlen, dass die
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{}
\mathl{\sqrt{p}}{}
\definitionsverweis {irrational}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Führe in $\Q[X]$ die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden \definitionsverweis {Polynome}{}{} \mathkor {} {P=3X^4+7X^2-2X+5} {und} {T=2X^2+3X-1} {} durch.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 =0}{} eine kubische Gleichung mit
\mathl{a_i \in \Q}{.} Eliminiere den linearen Term. Ist dies stets über $\Q$ möglich?
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathdisp {a_nx^n +a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x +a_0 =0} { }
eine polynomiale Gleichung mit
\mathbed {a_i \in {\mathbb C}} {}
{a_n \neq 0} {}
{} {} {} {.}
Zeige, dass es eine äquivalente polynomiale Gleichung der Form
\mathdisp {x^n +b_{n-2}x^{n-2} + \cdots + b_1x+b_0=0} { }
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Lösungen der Gleichung
\mathdisp {2x^3-4x^2+5x-3=0} { }
mit der
\definitionsverweis {Cardanoschen Formel}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Lösungen der polynomialen Gleichung
\mathdisp {x^6-4x^2+7 =0} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass $K$ nicht endlich sein kann.
}
{} {}
In der nächsten Aufgabe soll über dem Körper
\mathl{L=\Q[\sqrt{3}]}{} aus
Beispiel 1.7
gerechnet werden.
\inputaufgabe
{}
{
Führe in $(\Q[\sqrt{3}])[X]$ die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden \definitionsverweis {Polynome}{}{} \mathkor {} {P=3X^3-(2+\sqrt{3})X^2+5\sqrt{3}X+1+2\sqrt{3}} {und} {T=\sqrt{3}X^2-X+2+7\sqrt{3}} {} durch.
}
{} {}
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