Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 1

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Bestätige folgende Aussagen.

  1. Die dritten Einheitswurzeln in sind und .
  2. Es ist und .
  3. Es ist .
  4. Es ist .


Aufgabe

Eliminiere in der kubischen Gleichung

den quadratischen Term.


Aufgabe *

Eliminiere in der kubischen Gleichung

den quadratischen Term.


Aufgabe *

Bestimme eine reelle Lösung der Gleichung

mit der Cardanoschen Formel.


Aufgabe

Bestimme die Lösungen der Gleichung

mit der Cardanoschen Formel.


Aufgabe

Es sei eine Primzahl. Zeige unter Verwendung der eindeutigen Primfaktorzerlegung von natürlichen Zahlen, dass die reelle Zahl irrational ist.


Aufgabe

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Aufgabe

Es sei eine kubische Gleichung mit . Eliminiere den linearen Term. Ist dies stets über möglich?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine polynomiale Gleichung mit , .

Zeige, dass es eine äquivalente polynomiale Gleichung der Form
gibt.


Aufgabe (6 Punkte)

Bestimme die Lösungen der Gleichung

mit der Cardanoschen Formel.


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die Lösungen der polynomialen Gleichung


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass nicht endlich sein kann.


In der nächsten Aufgabe soll über dem Körper aus Beispiel 1.7 gerechnet werden.

Aufgabe (4 Punkte)

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


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