Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 14/latex

\setcounter{section}{14}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass man in Satz 14.3  (2) nicht auf die Bedingung der Irreduzibilität verzichten kann.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass man in Satz 14.3 die äquivalenten Bedingungen durch die folgende Eigenschaft ergänzen kann:

Zu jeder Körpererweiterung
\mathl{K \subseteq M}{} und zu zwei $K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphis\-men}{}{} \maabbdisp {\varphi_1, \varphi_2} {L} {M } {} ist
\mathl{\varphi_1(L)= \varphi_2(L)}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{q \in \Q}{} eine \definitionsverweis {rationale Zahl}{}{,} die in $\Q$ keine dritte Wurzel besitzt, sodass
\mathl{\Q \subseteq L=\Q[X]/(X^3-q)}{} eine Körpererweiterung vom Grad $3$ ist. Zeige anhand der verschiedenen äquivalenten Formulierungen von Satz 14.3, dass diese Körpererweiterung nicht \definitionsverweis {normal}{}{} ist. Man gebe die verschiedenen Einbettungen von $L$ in ${\mathbb C}$ an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ q }
{ \in }{ \Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {rationale Zahl}{}{} und es sei $L$ der \definitionsverweis {Zerfällungs\-körper}{}{} von $X^3-q$. Welchen Grad besitzt $L$ \zusatzklammer {über $\Q$} {} {?} Man gebe für jeden möglichen Grad Beispiele an.

}
{} {Tipp: Man betrachte eine Einbettung
\mathl{L \subseteq {\mathbb C}}{} und den Durchschnitt
\mathl{L \cap \R}{.}}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche}{}{} \definitionsverweis {normale Körpererweiterung}{}{} und
\mathbed {M} {}
{K \subseteq M \subseteq L} {}
{} {} {} {,} ein Zwischenkörper, der über $K$ nicht normal sei. Zeige, dass es einen weiteren Zwischenkörper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M' }
{ \neq }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt, der zu $M$ \definitionsverweis {isomorph}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde für den Körper $L$ aus Beispiel 14.9 eine \definitionsverweis {endliche Körper\-erweiterung}{}{}
\mathl{L \subseteq L'}{} mit
\mathl{L' \subseteq {\mathbb C}}{} und so, dass $L'$ über $\Q$ normal ist. Beschreibe einen $\Q$-\definitionsverweis {Automorphismus}{}{} \maabb {\varphi} {L'} {L' } {} mit
\mathl{\varphi(L) \neq L}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mathl{\Q \subseteq M}{} aus Beispiel 14.9. Zeige anhand der verschiedenen äquivalenten Formulierungen von Satz 14.3, dass diese Körpererweiterung nicht \definitionsverweis {normal}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $D$ eine \definitionsverweis {endliche}{}{} \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine $D$-\definitionsverweis {graduierte Körpererweiterung}{}{.} Zu jedem Primpotenzteiler $p^r$ von
\mathl{{ \# \left( D \right) }}{} enthalte $K$ eine $p^r$-te \definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} eine \definitionsverweis {separable Körpererweiterung}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für die \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mathl{{\mathbb F}_3 \subseteq {\mathbb F}_9}{,} welche Elemente aus ${\mathbb F}_9$ untereinander \definitionsverweis {konjugiert}{}{} sind.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe in jeder \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} Beispiele für eine \definitionsverweis {normale Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $3$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} und seien
\mathl{M_1, M_2}{} Zwischenkör\-per, die beide über $K$ \definitionsverweis {normal}{}{} seien. Zeige, dass auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ M_1 \cap M_2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} normal ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $D$ eine \definitionsverweis {endliche}{}{} \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine $D$-\definitionsverweis {graduierte Körpererweiterung}{}{.} Zu jedem Primpotenzteiler $p^r$ von
\mathl{{ \# \left( D \right) }}{} enthalte $K$ eine $p^r$-te \definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} eine \definitionsverweis {normale Körpererweiterung}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche}{}{} \definitionsverweis {normale}{}{} und \definitionsverweis {separable Körpererweiterung}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ L }
{ }{}
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} mit
\mathl{x^n =a \in K}{,} wobei
\mathl{\operatorname{grad}_{ K} K(x) = n}{} sei. Zeige, dass $L$ $n$ verschiedene $n$-te \definitionsverweis {Einheitswurzeln}{}{} besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für die \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mathl{{\mathbb F}_2 \subseteq {\mathbb F}_8}{,} welche Elemente aus ${\mathbb F}_8$ untereinander \definitionsverweis {konjugiert}{}{} sind.

}
{} {}