Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Vorlesung 14

Normale Körpererweiterungen

Definition

Eine Körpererweiterung  $K\subseteq L$  heißt normal, wenn es zu jedem $x\in L$ ein Polynom $F\in K[X]$, $F\ne 0$, mit  $F(x)=0$  gibt, das über $L$ zerfällt.

Eine normale Körpererweiterung ist insbesondere algebraisch. Wir werden gleich noch dazu äquivalente Eigenschaften kennenlernen. Einfache Eigenschaften von normalen Erweiterungen werden im folgenden Lemma zusammengefasst.

Lemma

1. Die Identität ist eine normale Körpererweiterung.
2. Jede quadratische Körpererweiterung ist normal.
3. Wenn  $K\subseteq L$  eine normale Körpererweiterung ist und  $K\subseteq M\subseteq L$  ein Zwischenkörper, so ist auch  $M\subseteq L$  normal.
4. Eine Erweiterung von endlichen Körpern ist normal.

Beweis

(1) ist trivial.
(2). Sei  $x\in L$  mit dem Minimalpolynom $F$, das den Grad $1$ oder $2$ besitzt. In $L[X]$ besitzt $F$ einen Linearfaktor, der andere Faktor ist wegen der Gradbedingung konstant oder auch ein Linearfaktor.
(3). Zu jedem  $x\in L$  gibt es ein Polynom $F\in K[X]$, $F\ne 0$, mit  $F(x)=0$,  das über $L[X]$ zerfällt. Wegen  $K[X]\subseteq M[X]$  gilt diese Eigenschaft auch für  $M\subseteq L$. 
(4). Nach (3) können wir sofort eine Körpererweiterung  $\mathbb{Z}/(p)\subseteq {𝔽}_q$  mit einer Primzahl $p$ und einer Primzahlpotenz  $q=p^e$  betrachten. Jedes Element  $x\in {𝔽}_q$  ist nach dem Satz von Lagrange eine Nullstelle des Polynoms $X^q-X$, sodass dieses Polynom über ${𝔽}_q$ zerfällt.

$◻$

Satz

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Die Körpererweiterung ist normal.
2. Wenn ein irreduzibles Polynom  $P\in K[X]$  eine Nullstelle in $L$ besitzt, so zerfällt es in $L[X]$.
3. Es gibt ein $K$-Algebraerzeugendensystem $x_i\in L$, $i\in I$, von $L$ und über $L$ zerfallende Polynome $F_i\in K[X]$, $F_i\ne 0$ , $i\in I$, mit  $F_i(x_i)=0$. 
4. Für jede Körpererweiterung  $L\subseteq M$  und jeden $K$-Algebrahomomorphismus

   $\phi :L⟶M$

   ist  $\phi (L)\subseteq L$. 

Beweis

$(1)\Rightarrow (2)$. Es sei  $P\in K[X]$  irreduzibel und  $P(x)=0$.  Dann ist $P$ nach Lemma 7.12 das Minimalpolynom zu $x$. Nach (1) gibt es ein über $L$ zerfallendes Polynom $F$ mit  $F(x)=0$.  Da $F$ ein Vielfaches von $P$ ist, muss auch $P$ über $L$ zerfallen.
$(2)\Rightarrow (1)$. Zu  $x\in L$  gehört das Minimalpolynom $P$, das nach Lemma 7.12 irreduzibel ist und nach Voraussetzung (2) über $L$ in Linearfaktoren zerfällt.
$(2)\Rightarrow (3)$. Die Familie aller Elemente mit ihren Minimalpolynomen besitzt diese Eigenschaft.
$(3)\Rightarrow (4)$. Seien  $L\subseteq M$  und $\phi :L\to M$ gegeben. Es sei  $x_i\in L$  ein Element aus der erzeugenden Familie und sei  $F_i\ne 0$  das zugehörige zerfallende Polynom mit  $F_i(x)=0$,  das wir als irreduzibel annehmen dürfen. Es ist

$F_i(\phi (x_i))=\phi (F_i(x_i))=\phi (0)=0,$

daher ist  $\phi (x_i)\in M$  eine Nullstelle des über $L$ zerfallenden Polynoms $F_i$. Das heißt aber, dass  $\phi (x_i)\in L$  ist. Diese Zugehörigkeit gilt dann für alle  $x\in L$,  da sie für ein Algebraerzeugendensystem gilt.
$(4)\Rightarrow (2)$. Es sei  $P\in K[X]$  irreduzibel und sei  $x\in L$  mit  $P(x)=0$.  Wir können nach Lemma 7.12 annehmen, dass $P$ das Minimalpolynom von $x$ ist. Wir setzen  $x_1=x$  und ergänzen dies zu einem endlichen $K$-Algebraerzeugendensystem von $L$, sagen wir

$L=K[x_1,\dots ,x_n].$

Es seien $P_1=P,P_2,\dots ,P_n$ die Minimalpolynome von $x_i$ über $K$. Wir betrachten das Produkt  $F=P_1\cdots P_n$  und den Zerfällungskörper $M$ von $F$ über $L$, der zugleich der Zerfällungskörper über $K$ ist. Es sei  $y\in M$  eine Nullstelle von $P$. Wir müssen  $y\in L$  zeigen. Es gibt einen $K$-Isomorphismus

$\phi :K[x]\cong K[X]/(P)⟶K[y]$

mit  $\phi (x)=y$.  Der Körper $M$ ist der Zerfällungskörper von $F$ über $K[x]$ als auch über $K[y]$. Daher gibt es nach Satz 11.5 ein kommutatives Diagramm

$\begin{array}{cccc}K[x]& \stackrel{\phi }{⟶}& K[y]& \\ \downarrow & & \downarrow & \\ M& \stackrel{\tilde{\phi }}{⟶}& M& \end{array}$

mit einem $K$-Isomorphismus $\tilde{\phi }$. Nach Voraussetzung ist dabei  $\tilde{\phi }(L)\subseteq L$,  also ist  $y=\phi (x)\in L$. 

$◻$

Bemerkung  

Insbesondere die zweite Eigenschaft von Satz 14.3 zeigt, dass es sich hierbei um eine recht starke Eigenschaft handelt. Wenn man mit einem Primpolynom $P\in K[X]$ startet und sich den Restklassenkörper  $L=K[X]/(P)$  anschaut, so besitzt $P$ in $L$ eine Nullstelle, nämlich die Restklasse $x$ von $X$. Daher gilt in $L[X]$ die Beziehung  $P=(X-x)Q$  mit einem Polynom $Q\in L[X]$. Es gibt aber keinen allgemeinen Grund, warum $Q$ über $L$ in Linearfaktoren zerfallen sollte.

Wir setzen weiterhin voraus, dass eine endliche Körpererweiterung vorliegt. Dann sind die normalen Körpererweiterungen genau die Zerfällungskörper von Polynomen.

Satz

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung.

Dann ist  $K\subseteq L$  genau dann eine normale Körpererweiterung, wenn $L$ Zerfällungskörper eines Polynoms  $F\in K[X]$  ist.

Beweis

Es sei  $K\subseteq L$  normal. Wegen der vorausgesetzten Endlichkeit ist  $L=K[x_1,\dots ,x_n]$.  Zu $x_i$ sei  $F_i\in K[X]$  das Minimalpolynom. Wegen der Normalität zerfällt jedes $F_i$ in $L[X]$ in Linearfaktoren. Daher ist $L$ der Zerfällungskörper des Produktes  $F=F_1\cdots F_n$. 
Es sei nun  $L=Z(F)$  ein Zerfällungskörper, und sei  $F=(X-{\alpha }_1)\cdots (X-{\alpha }_n)$  die Faktorzerlegung zu den Nullstellen  ${\alpha }_i\in L$,  die den Körper $L$ erzeugen. Wir werden das Kriterium Satz 14.3  (4) anwenden. Es sei also  $L\subseteq M$  eine Körpererweiterung und sei

$\phi :L⟶M$

ein $K$-Algebrahomomorphismus. Es ist dann

$F(\phi ({\alpha }_i))=\phi (F({\alpha }_i))=0,$

da sich die Koeffizienten von $F$ nicht ändern (vergleiche Lemma 8.15), und somit gehört $\phi ({\alpha }_i)$ zur Nullstellenmenge $\{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n\}$ und damit insbesondere zu $L$. Daher gilt generell  $\phi (L)\subseteq L$. 

$◻$

Korollar

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche normale Körpererweiterung und $M$, $K\subseteq M\subseteq L$, ein Zwischenkörper. Es sei $\phi :M\to L$ ein $K$-Algebrahomomorphismus.

Dann besitzt $\phi$ eine Fortsetzung zu einem Automorphismus auf $L$.

Beweis

Aufgrund von Satz 14.5 wissen wir, dass $L$ der Zerfällungskörper eines Polynoms  $F\in K[X]$  ist. $L$ ist auch der Zerfällungskörper von  $F\in M[X]$.  Es sei  $M^{\prime }=\phi (M)$  das isomorphe Bild von $M$ in $L$ unter $\phi$. Somit ist $L$ auch der Zerfällungskörper von  $F\in M^{\prime }[X]$.  Daher gibt es nach Satz 11.5 einen Isomorphismus $\tilde{\phi }:L\to L$, der mit den Abbildungen $M\to L$ und $M\stackrel{\phi }{\to }{M}^{\prime }\to L$ verträglich ist.

$◻$

Korollar

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche normale Körpererweiterung und es seien $\alpha ,\beta \in L$.

Dann sind $\alpha$ und $\beta$ genau dann konjugiert, wenn es einen $K$-Automorphismus $\phi :L\to L$ mit  $\phi (\alpha )=\beta$  gibt.

Beweis

Wenn es einen $K$-Automorphismus $\phi$ mit  $\phi (\alpha )=\beta$  gibt, so induziert dieser einen Isomorphismus $K[\alpha ]\to K[\beta ]$. Da diese erzeugten Unterkörper jeweils durch die Minimalpolynome von $\alpha$ bzw. $\beta$ festgelegt sind, müssen die Minimalpolynome übereinstimmen. Also sind $\alpha$ und $\beta$ konjugiert.
Wenn umgekehrt die beiden Elemente konjugiert sind, so gibt es einen $K$-Isomorphismus $K[\alpha ]\to K[\beta ]$. Mit der Inklusion  $K[\beta ]\subseteq L$  führt dies zu einem $K$-Homomorphismus

$K[\alpha ]⟶L,$

den man nach Korollar 14.6 zu einem Automorphismus auf $L$ fortsetzen kann.

$◻$

Korollar

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche normale Körpererweiterung und sei $M$, $K\subseteq M\subseteq L$, ein Zwischenkörper.

Dann ist  $K\subseteq M$  genau dann normal, wenn für jeden $K$-Algebraautomorphismus

$\phi :L⟶L$

die Beziehung  $\phi (M)\subseteq M$  gilt.

Beweis

Wenn  $K\subseteq M$  normal ist, so gilt die Homomorphismuseigenschaft aufgrund von Satz 14.3  (4).
Zur Umkehrung verwenden wir das Kriterium Satz 14.3  (2). Es sei also  $P\in K[X]$  ein irreduzibles (normiertes) Polynom, das in $M$ eine Nullstelle, sagen wir $\alpha$, besitzt. Dieses Polynom zerfällt über $L$ in Linearfaktoren, und wir müssen zeigen, dass die zugehörigen Nullstellen zu $M$ gehören. Es sei  $\beta \in L$  eine weitere Nullstelle von $P$. Wegen der Irreduzibilität und Lemma 7.12 ist $P$ das Minimalpolynom von $\alpha$ und auch von $\beta$, d.h. die beiden Elemente sind konjugiert. Nach Korollar 14.7 gibt es daher einen $K$-Automorphismus $\phi :L\to L$ mit  $\phi (\alpha )=\beta$.  Nach Voraussetzung ist  $\beta \in M$. 

$◻$

Beispiel

Wir betrachten die Körperkette  $\mathbb{Q}\subseteq M\subseteq L$,  wobei  $M=\mathbb{Q}(\sqrt{3})$  und  $L=M(\sqrt{1+\sqrt{3}})$  ist. Das sind zwei quadratische Körpererweiterungen, die beide nach Lemma 14.2  (2) normal sind. Wir setzen  $u=\sqrt{1+\sqrt{3}}$,  und dieses Element erzeugt $L$ über $\mathbb{Q}$. Wir können $L$ als einen Unterkörper von $ℝ$ auffassen, indem wir für $\sqrt{3}$ und dann für $\sqrt{1+\sqrt{3}}$ die positiven reellen Wurzeln wählen. Wir haben

$u^4-2u^2-2=(u^2-1{)}^2-3=0,$

d.h. das Polynom $X^4-2X^2-2$ wird von $u$ annulliert. Dieses Polynom besitzt über $L$ die Zerlegung

$\begin{array}{cc}{X}^4-2X^2-2& ={(X^2-1)}^2-3\\ & =(X^2-1-\sqrt{3})(X^2-1+\sqrt{3})\\ & =(X^2-u^2)(X^2-1+\sqrt{3})\\ & =(X-u)(X+u)(X^2-1+\sqrt{3}).\end{array}$

Wegen  $L\subseteq ℝ$  und  $\sqrt{3}-1>0$  ist das hintere quadratische Polynom über $L$ unzerlegbar. Dieses Polynom zerfällt also über $L$ nicht in Linearfaktoren und somit ist  $\mathbb{Q}\subseteq L$  nicht normal.

Fußnoten

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