Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Vorlesung 14

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Normale Körpererweiterungen

Definition  

Eine Körpererweiterung heißt normal, wenn es zu jedem ein Polynom , , mit gibt, das über zerfällt.

Eine normale Körpererweiterung ist insbesondere algebraisch. Wir werden gleich noch dazu äquivalente Eigenschaften kennenlernen. Einfache Eigenschaften von normalen Erweiterungen werden im folgenden Lemma zusammengefasst.



Lemma  

  1. Die Identität ist eine normale Körpererweiterung.
  2. Jede quadratische Körpererweiterung ist normal.
  3. Wenn eine normale Körpererweiterung ist und ein Zwischenkörper, so ist auch normal.
  4. Eine Erweiterung von endlichen Körpern ist normal.

Beweis  

(1) ist trivial.
(2). Sei mit dem Minimalpolynom , das den Grad oder besitzt. In besitzt einen Linearfaktor, der andere Faktor ist wegen der Gradbedingung konstant oder auch ein Linearfaktor.
(3). Zu jedem gibt es ein Polynom , , mit , das über zerfällt. Wegen gilt diese Eigenschaft auch für .
(4). Nach (3) können wir sofort eine Körpererweiterung mit einer Primzahl und einer Primzahlpotenz betrachten. Jedes Element ist nach dem Satz von Lagrange eine Nullstelle des Polynoms , so dass dieses Polynom über zerfällt.




Satz  

Sei eine endliche Körpererweiterung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. Die Körpererweiterung ist normal.
  2. Wenn ein irreduzibles Polynom eine Nullstelle in besitzt, so zerfällt es in .
  3. Es gibt ein -Algebraerzeugendensystem , , von und über zerfallende Polynome ,  , , mit .
  4. Für jede Körpererweiterung und jeden -Algebrahomomorphismus

    ist .

Beweis  

. Sei irreduzibel und . Dann ist nach Lemma 7.12 das Minimalpolynom zu . Nach (1) gibt es ein über zerfallendes Polynom mit . Da ein Vielfaches von ist, muss auch über zerfallen.
. Zu gehört das Minimalpolynom , das nach Lemma 7.12 irreduzibel ist und nach Voraussetzung (2) über in Linearfaktoren zerfällt.
. Die Familie aller Elemente mit ihren Minimalpolynomen besitzt diese Eigenschaft.
. Seien und gegeben. Sei ein Element aus der erzeugenden Familie und sei das zugehörige zerfallende Polynom mit , das wir als irreduzibel annehmen dürfen. Es ist

daher ist eine Nullstelle des über zerfallenden Polynoms . Das heißt aber, dass ist. Diese Zugehörigkeit gilt dann für alle , da sie für ein Algebraerzeugendensystem gilt.
. Sei irreduzibel und sei mit . Wir können nach Lemma 7.12 annehmen, dass das Minimalpolynom von ist. Wir setzen und ergänzen dies zu einem endlichen -Algebraerzeugendensystem von , sagen wir

Es seien die Minimalpolynome von über . Wir betrachten das Produkt und den Zerfällungskörper von über , der zugleich der Zerfällungskörper über ist. Sei eine Nullstelle von . Wir müssen zeigen. Es gibt einen -Isomorphismus

mit . Der Körper ist der Zerfällungskörper von über als auch über . Daher gibt es nach Satz 11.5 ein kommutatives Diagramm

mit einem -Isomorphismus . Nach Voraussetzung ist dabei , also ist .


Bemerkung  

Insbesondere die zweite Eigenschaft von Satz 14.3 zeigt, dass es sich hierbei um eine recht starke Eigenschaft handelt. Wenn man mit einem Primpolynom startet und sich den Restklassenkörper anschaut, so besitzt in eine Nullstelle, nämlich die Restklasse von . Daher gilt in die Beziehung mit einem Polynom . Es gibt aber keinen allgemeinen Grund, warum über in Linearfaktoren zerfallen sollte.

Wir setzen weiterhin voraus, dass eine endliche Körpererweiterung vorliegt. Dann sind die normalen Körpererweiterungen genau die Zerfällungskörper von Polynomen.



Satz  

Sei eine endliche Körpererweiterung.

Dann ist genau dann eine normale Körpererweiterung, wenn Zerfällungskörper eines Polynoms ist.

Beweis  

Sei normal. Wegen der vorausgesetzten Endlichkeit ist . Zu sei das Minimalpolynom. Wegen der Normalität zerfällt jedes in in Linearfaktoren. Daher ist der Zerfällungskörper des Produktes .
Sei nun ein Zerfällungskörper, und sei die Faktorzerlegung zu den Nullstellen , die den Körper erzeugen. Wir werden das Kriterium Satz 14.3  (4) anwenden. Sei also eine Körpererweiterung und sei

ein -Algebrahomomorphismus. Es ist dann

da sich die Koeffizienten von nicht ändern (vergleiche Lemma 8.15), und somit gehört zur Nullstellenmenge und damit insbesondere zu . Daher gilt generell .




Korollar  

Sei eine endliche normale Körpererweiterung und , , ein Zwischenkörper. Es sei ein -Algebrahomomorphismus.

Dann besitzt eine Fortsetzung zu einem Automorphismus auf .

Beweis  

Aufgrund von Satz 14.5 wissen wir, dass der Zerfällungskörper eines Polynoms ist. ist auch der Zerfällungskörper von . Sei das isomorphe Bild von in unter . Somit ist auch der Zerfällungskörper von . Daher gibt es nach Satz 11.5 einen Isomorphismus , der mit den Abbildungen und verträglich ist.




Korollar  

Sei eine endliche normale Körpererweiterung und es seien .

Dann sind und genau dann konjugiert, wenn es einen -Automorphismus mit gibt.

Beweis  

Wenn es einen -Automorphismus mit gibt, so induziert dieser einen Isomorphismus . Da diese erzeugten Unterkörper jeweils durch die Minimalpolynome von bzw. festgelegt sind, müssen die Minimalpolynome übereinstimmen. Also sind und konjugiert.
Wenn umgekehrt[1] die beiden Elemente konjugiert sind, so gibt es einen -Isomorphismus . Mit der Inklusion führt dies zu einem -Homomorphismus

den man nach Korollar 14.6 zu einem Automorphismus auf fortsetzen kann.




Korollar  

Sei eine endliche normale Körpererweiterung und sei , , ein Zwischenkörper.

Dann ist genau dann normal, wenn für jeden -Algebraautomorphismus

die Beziehung gilt.

Beweis  

Wenn normal ist, so gilt die Homomorphismuseigenschaft aufgrund von Satz 14.3  (4).
Zur Umkehrung verwenden wir das Kriterium Satz 14.3  (2). Sei also ein irreduzibles (normiertes) Polynom, das in eine Nullstelle, sagen wir , besitzt. Dieses Polynom zerfällt über in Linearfaktoren, und wir müssen zeigen, dass die zugehörigen Nullstellen zu gehören. Sei eine weitere Nullstelle von . Wegen der Irreduzibilität und Lemma 7.12 ist das Minimalpolynom von und auch von , d.h. die beiden Elemente sind konjugiert. Nach Korollar 14.7 gibt es daher einen -Automorphismus mit . Nach Voraussetzung ist .



Beispiel  

Wir betrachten die Körperkette , wobei und ist. Das sind zwei quadratische Körpererweiterungen, die beide nach Lemma 14.2  (2) normal sind. Wir setzen , und dieses Element erzeugt über . Wir können als einen Unterkörper von auffassen, indem wir für und dann für die positiven reellen Wurzeln wählen. Wir haben

d.h. das Polynom wird von annulliert. Dieses Polynom besitzt über die Zerlegung

Wegen und ist das hintere quadratische Polynom über unzerlegbar. Dieses Polynom zerfällt also über nicht in Linearfaktoren und somit ist nicht normal.




Fußnoten
  1. Die Umkehrung folgt auch aus Satz 13.2.


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