Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 15/latex

\setcounter{section}{15}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $L$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{M}{} eine Menge von \definitionsverweis {Ringhomomorphismen}{}{} von $L$ nach $L$. Zeige, dass die Menge
\mathdisp {{ \left\{ x \in L \mid \varphi(x) = x \text { für alle } \varphi \in M \right\} }} { }
ein Unterkörper von $L$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $L$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} es sei
\mathl{M}{} eine Menge von \definitionsverweis {Automorphismen}{}{} von $L$ nach $L$ und es sei $H$ die von $M$ \definitionsverweis {erzeugte Untergruppe}{}{} der Automorphismengruppe. Zeige die Gleichheit
\mathdisp {\operatorname{Fix}\, ( H ) = { \left\{ x \in L \mid \varphi(x) = x \text { für alle } \varphi \in M \right\} }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $L$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{G=\operatorname{Aut} \,L}{} die \definitionsverweis {Automorphismengruppe}{}{} von $L$. Begründe die folgenden Beziehungen. \aufzaehlungvier{Für \definitionsverweis {Untergruppen}{}{}
\mathl{H_1 \subseteq H_2 \subseteq G}{} ist
\mathl{\operatorname{Fix}\, ( H_1 ) \supseteq \operatorname{Fix}\, ( H_2 )}{.} }{Für \definitionsverweis {Unterkörper}{}{}
\mathl{M_1 \subseteq M_2 \subseteq L}{} ist
\mathl{\operatorname{Gal}\, ( L {{|}} M_1 ) \supseteq \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} M_2 )}{.} }{Für eine Untergruppe
\mathl{H \subseteq G}{} ist
\mathl{H \subseteq \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} \operatorname{Fix}\, ( H ) )}{.} }{Für einen Unterkörper
\mathl{M \subseteq L}{} ist
\mathl{M \subseteq \operatorname{Fix}\, ( \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} M ) )}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $H$ eine \definitionsverweis {endliche}{}{} \definitionsverweis {Gruppe}{}{} von \definitionsverweis {Kör\-perautomorphismen}{}{.} Es sei
\mathl{x \in K}{.} Zeige, dass
\mathdisp {\sum_{\varphi \in H} \varphi(x) \text{ und } \prod_{\varphi \in H} \varphi(x)} { }
zum \definitionsverweis {Fixkörper}{}{}
\mathl{\operatorname{Fix}\, ( H )}{} gehören.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $L$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {L} {L } {} ein \definitionsverweis {Automorphismus}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Einschränkung}{}{} von $\varphi$ auf den \definitionsverweis {Prim\-körper}{}{} von $L$ die Identität ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beweise Lemma 11.6 mit Hilfe von Fixkörpern.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} und
\mathbed {q=p^e} {}
{e \geq 1} {}
{} {} {} {,} eine Primzahlpotenz. Beweise mit Hilfe der verschiedenen äquivalenten Eigenschaften aus Satz 15.6, dass die \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mathl{{\mathbb F}_p \subseteq {\mathbb F}_q}{} \definitionsverweis {galoissch}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Matrix}{}{} des \definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\Phi} {{\mathbb F}_q} {{\mathbb F}_q } {} bezüglich einer geeigneten ${\mathbb F}_p$-\definitionsverweis {Basis}{}{} von ${\mathbb F}_q$ für
\mathl{p=2}{} und
\mathl{q=4}{} bzw.
\mathl{q=8}{.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {L} {und} {L'} {} \definitionsverweis {isomorphe}{}{} \definitionsverweis {Körper}{}{.} Zeige, dass dann auch die \definitionsverweis {Automorphismengruppen}{}{} \mathkor {} {\operatorname{ Aut}_{ } ^{ } { \left( L \right) }} {und} {\operatorname{ Aut}_{ } ^{ } { \left( L' \right) }} {} in natürlicher Weise zueinander \definitionsverweis {isomorph}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Körperautomorphismen}{}{} von $\R$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Matrix}{}{} des \definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\Phi} {{\mathbb F}_q} {{\mathbb F}_q } {} bezüglich einer geeigneten ${\mathbb F}_p$-\definitionsverweis {Basis}{}{} von ${\mathbb F}_q$ für
\mathl{p=3}{} und
\mathl{q=9}{} bzw.
\mathl{q=27}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche}{}{} \definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{} mit einer \definitionsverweis {zyklischen}{}{} \definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{.} Zeige, dass für jeden Zwischenkörper $M$ auch die Erweiterung
\mathl{K \subseteq M}{} galoissch ist mit einer ebenfalls zyklischen Galoisgruppe.

}
{} {}