Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Vorlesung 15

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Fixkörper

Definition  

Es sei ein Körper und eine Untergruppe der Automorphismengruppe von . Dann heißt

der Fixkörper zu .

Es ist unmittelbar klar, dass es sich dabei um einen Unterkörper von handelt. Dies gilt auch dann, wenn eine beliebige Menge von Ringendomorphismen ist, die nicht notwendigerweise bijektiv sein müssen.

Bemerkung  

Zur trivialen Untergruppe gehört der Fixkörper , und für jede andere Untergruppe ist der Fixkörper ein echter Unterkörper. Den Fixkörper zur gesamten Automorphismengruppe kann man dagegen nicht einfach charakterisieren (es ist nicht immer der Primkörper).




Lemma

Es sei ein Körper und die Automorphismengruppe von . Dann gelten folgende Eigenschaften.

  1. Für [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|Untergruppen]] ist .
  2. Für Unterkörper ist .
  3. Für eine Untergruppe ist .
  4. Für einen Unterkörper ist .

Beweis

Siehe Aufgabe 15.3.



Charakterisierung von Galoiserweiterungen

Wir streben eine umfassende Charakterisierung von Galoiserweiterungen an, was einige Vorbereitungen erfordert.



Lemma  

Es sei ein Körper und sei eine endliche Untergruppe der Automorphismengruppe von . Es sei .

Dann ist eine algebraische Körpererweiterung, die normal und separabel ist.

Für jedes ist der Grad des Minimalpolynoms von über maximal gleich .

Beweis  

Sei fixiert. Wir betrachten die endliche Menge

wobei sei. Wir setzen

(). Es ist . Wir zeigen zuerst, dass die Koeffizienten dieses Polynoms zu gehören. Sei dazu . Dann ist

Daher ist . Somit gehören die Koeffizienten zum Fixkörper und daher ist . Dies bedeutet, dass algebraisch über ist, und dass sein Minimalpolynom einen Grad

besitzt. Da über in Linearfaktoren zerfällt, und da alle Nullstellen von einfach sind, ist die Erweiterung normal und separabel.


Der folgende Satz heißt Satz von Artin.



Satz  

Es sei ein Körper und sei eine endliche Untergruppe der Automorphismengruppe von . Es sei .

Dann ist

Insbesondere ist eine Galoiserweiterung mit Galoisgruppe .

Beweis  

 Nehmen wir an, dass ist. Wir können annehmen, dass endlich über ist, da wir durch einen (über endlichen) Zwischenkörper der Form mit beliebig hohem Grad ersetzen können. Nach Lemma 15.4 ist die Körpererweiterung separabel und nach dem Satz vom primitiven Element kann man schreiben. Dabei ist der Grad des Minimalpolynoms von gleich dem Grad der Körpererweiterung, so dass sich ein Widerspruch zu Lemma 15.4 ergibt. Also ist eine endliche Körpererweiterung mit . Nach Satz 13.5 muss hierbei Gleichheit gelten. Die Inklusion ist trivial. Da nach Satz 13.5 schon die maximal mögliche Anzahl von -Automorphismen enthält, gilt hier Gleichheit.


Der nächste Satz fasst die verschiedenen Charakterisierungen einer Galoiserweiterung zusammen.



Satz  

Sei eine endliche Körpererweiterung und sei die Galoisgruppe. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

  1. Die Körpererweiterung ist eine Galoiserweiterung.
  2. Es ist .
  3. Die Körpererweiterung ist normal und separabel.
  4. ist Zerfällungskörper eines separablen Polynoms .

Beweis  

Zum Beweis der Implikation von (1) nach (2) betrachten wir die Körperkette . Nach der Gradformel und da eine Galoiserweiterung vorliegt ist

Nach dem Satz von Artin ist , also ist .
Die Implikation von (2) nach (3) folgt aus Lemma 15.4.
Die Äquivalenz von (3) und (4) ergibt sich sofort aus Satz 14.5.
Sei nun (3) erfüllt. Wir schreiben . Die Minimalpolynome der zerfallen wegen der Normalität in in Linearfaktoren. Daher können wir Lemma 12.6 mit anwenden und erhalten Einbettungen von nach (über ), und somit besitzt die Galoisgruppe Elemente.




Korollar  

Es sei eine endliche Galoiserweiterung und , , ein Zwischenkörper.

Dann ist auch eine Galoiserweiterung.

Beweis  

Nach Lemma 14.2  (3) ist eine normale Körpererweiterung. Nach Lemma 12.4 ist sie auch separabel. Somit handelt es sich aufgrund von Satz 15.6 um eine Galoiserweiterung.




Endliche Körper als Galoiserweiterung

Wir besprechen zuerst endliche Körper im Rahmen der Galoistheorie.


Definition  

Sei ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik enthalte. Der Frobeniushomomorphismus ist der Ringhomomorphismus

Zu jeder Primzahl und jedem Exponenten gibt es nach Satz 11.9 einen eindeutig bestimmten endlichen Körper mit Elementen.



Lemma  

Sei ein endlicher Körper der Charakteristik .

Dann ist der Frobeniushomomorphismus

ein Automorphismus, dessen Fixkörper ist.

Beweis  

Der Frobeniushomomorphismus ist stets ein Ringhomomorphismus. Die Injektivität ergibt sich aus Korollar 6.8, und daraus ergibt sich die Surjektivität wegen der Endlichkeit aus Lemma 3.14 (Mathematik (Osnabrück 2009-2011)). Wegen werden die Elemente aus auf sich selbst abgebildet. Daher gibt es Elemente in mit . Mehr kann es wegen Korollar Anhang 1.5 nicht geben.




Satz  

Es sei eine Primzahl und , .

Dann ist die Körpererweiterung eine Galoiserweiterung mit einer zyklischen Galoisgruppe der Ordnung , die vom Frobeniushomomorphismus erzeugt wird.

Beweis  

Es sei

der Frobeniushomomorphismus, der nach Lemma 15.9 ein -Automorphismus ist. Daher sind auch die Iterationen Automorphismen, und zwar gilt

Bei ist nach Korollar 4.17 für alle , also ist . Für kann nicht die Identität sein, da dies sofort Korollar Anhang 1.5 widersprechen würde. Also gibt es verschiedene Potenzen des Frobeniusautomorphismus. Nach Satz 13.5 kann es keine weiteren Automorphismen geben und die Körpererweiterung ist galoissch mit der vom Frobenius erzeugten Gruppe als Galoisgruppe.




Korollar  

Es sei eine Primzahl und . Es seien und endliche Körper mit bzw. Elementen.

Dann ist genau dann ein Unterkörper von , wenn ein Teiler von ist.

In diesem Fall ist eine Galoiserweiterung vom Grad mit einer zyklischen Galoisgruppe der Ordnung , die von der -ten Iteration des Frobenius erzeugt wird.

Beweis  

Sei . Wenn ein Unterkörper von ist, so ist ein -Vektorraum einer gewissen endlichen Dimension. Daher muss die Elementanzahl von eine Potenz von sein. Aus

ergibt sich sofort, dass ein Vielfaches von ist.

Sei umgekehrt ein Teiler von . Die Frobeniusiteration auf erzeugt eine Untergruppe der nach Satz 15.10 zyklischen Galoisgruppe von . Die Ordnung von ist . Es sei der zugehörige Fixkörper. Dann besitzt die Körpererweiterung nach Korollar 15.7 den Grad und somit besitzt den Grad . Daher besitzt gerade Elemente und ist daher wegen Satz 11.9 isomorph zu .


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