Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Definitionsabfrage
Ein Körper heißt algebraisch abgeschlossen, wenn jedes nichtkonstante Polynom eine Nullstelle in besitzt.
Es sei ein Körper. Ein Unterring , der zugleich ein Körper ist, heißt Unterkörper von .
Es sei ein Körper und ein Unterkörper von . Dann heißt ein Erweiterungskörper (oder Oberkörper) von und die Inklusion heißt eine Körpererweiterung.
Eine Körpererweiterung heißt endlich, wenn ein endlichdimensionaler Vektorraum über ist.
Es sei eine endliche Körpererweiterung. Dann nennt man die - Vektorraumdimension von den Grad der Körpererweiterung.
Eine endliche Körpererweiterung vom Grad zwei heißt eine quadratische Körpererweiterung.
Es sei ein Körper und . Dann heißen die Nullstellen des Polynoms
in die -ten Einheitswurzeln in .
Eine Teilmenge eines kommutativen Ringes heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
- .
- Für alle ist auch .
- Für alle und ist auch .
Ein Ideal in einem kommutativen Ring der Form
heißt Hauptideal.
Zu einer Familie von Elementen , , in einem kommutativen Ring bezeichnet das von den erzeugte Ideal. Es besteht aus allen (endlichen) Linearkombinationen
wobei eine endliche Teilmenge und ist.
Ein kommutativer, nullteilerfreier, von verschiedener Ring heißt Integritätsbereich.
Ein Element in einem kommutativen Ring heißt Einheit, wenn es ein Element mit gibt.
Es sei ein kommutativer Ring, und Elemente in . Man sagt, dass das Element teilt (oder dass von geteilt wird, oder dass ein Vielfaches von ist), wenn es ein derart gibt, dass ist. Man schreibt dafür auch .
Es sei ein kommutativer Ring. Man sagt, dass zwei Elemente teilerfremd sind, wenn jedes Element , das sowohl als auch teilt, eine Einheit ist.
Eine Nichteinheit in einem kommutativen Ring heißt irreduzibel (oder unzerlegbar), wenn eine Faktorisierung nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.
Eine Nichteinheit in einem kommutativen Ring heißt prim (oder ein Primelement), wenn folgendes gilt: Teilt ein Produkt mit , so teilt einen der Faktoren.
Ein Integritätsbereich, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealbereich.
Es seien und Gruppen. Eine Abbildung
heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit
für alle gilt.
Es seien und Gruppen. Einen bijektiven Gruppenhomomorphismus
nennt man einen Isomorphismus (oder eine Isomorphie). Die beiden Gruppen heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt.
Es seien und Gruppen und sei
ein Gruppenhomomorphismus. Dann nennt man das Urbild des neutralen Elementes den Kern von , geschrieben
Es sei eine Gruppe und eine Untergruppe. Wir setzen (und sagen, dass und äquivalent sind) wenn .
Es sei eine Gruppe und eine Untergruppe. Dann heißt zu jedem die Teilmenge
die Linksnebenklasse von in bezüglich . Jede Teilmenge von dieser Form heißt Linksnebenklasse. Entsprechend heißt eine Menge der Form
Rechtsnebenklasse (zu ).
Zu einer endlichen Gruppe bezeichnet man die Anzahl ihrer Elemente als Gruppenordnung oder als die Ordnung der Gruppe, geschrieben
Es sei eine Gruppe und ein Element. Dann nennt man die kleinste positive Zahl mit die Ordnung von . Man schreibt hierfür . Wenn alle positiven Potenzen von vom neutralen Element verschieden sind, so setzt man .
Zu einer Untergruppe heißt die Anzahl der (Links- oder Rechts-)Nebenklassen der Index von in , geschrieben
Es sei eine Gruppe und fixiert. Die durch definierte Abbildung
heißt innerer Automorphismus.
Es sei eine Gruppe und eine Untergruppe. Man nennt einen Normalteiler, wenn
für alle ist, wenn also die Linksnebenklasse zu mit der Rechtsnebenklasse zu übereinstimmt.
Es sei eine Gruppe und ein Normalteiler. Die Quotientenmenge
mit der aufgrund von Satz 5.7 eindeutig bestimmten Gruppenstruktur heißt Restklassengruppe von modulo . Die Elemente heißen Restklassen. Für eine Restklasse heißt jedes Element mit ein Repräsentant von .
Es seien und Ringe. Eine Abbildung
heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:
- .
- .
- .
Die Charakteristik eines kommutativen Ringes ist die kleinste positive natürliche Zahl mit der Eigenschaft . Die Charakteristik ist , falls keine solche Zahl existiert.
Es seien und kommutative Ringe und sei ein fixierter Ringhomomorphismus. Dann nennt man eine -Algebra.
Es seien und kommutative - Algebren über einem kommutativen Grundring . Dann nennt man einen Ringhomomorphismus
einen -Algebrahomomorphismus, wenn er zusätzlich mit den beiden fixierten Ringhomomorphismen und verträglich ist.
Es sei ein Körper und eine kommutative - Algebra. Es sei ein Element. Dann heißt algebraisch über , wenn es ein von verschiedenes Polynom mit gibt.
Es sei ein Körper und eine - Algebra. Es sei ein über algebraisches Element. Dann heißt das normierte Polynom mit , welches von minimalem Grad mit dieser Eigenschaft ist, das Minimalpolynom von .
Eine Körpererweiterung , heißt algebraisch, wenn jedes Element algebraisch über ist.
Es sei eine -Algebra und sei , , eine Familie von Elementen aus . Dann heißt die kleinste -Unteralgebra von , die alle enthält, die von diesen Elementen erzeugte -Algebra.[[Kategorie:erzeugte -Algebra (MSW)|~]] Sie wird mit bezeichnet.
Es sei ein Körper. Der Primkörper von ist der kleinste Unterkörper von .
Eine Körpererweiterung , heißt einfach, wenn es ein Element mit
gibt.
Eine Körpererweiterung heißt eine einfache Radikalerweiterung, wenn es ein gibt mit und ein mit .
Eine Körpererweiterung heißt eine Radikalerweiterung, wenn es Zwischenkörper
derart gibt, dass für jedes eine einfache Radikalerweiterung ist.
Es sei ein kommutativer Ring und ein Ideal in . Zu heißt die Teilmenge
die Nebenklasse von zum Ideal . Jede Teilmenge von dieser Form heißt Nebenklasse zu .
Es sei ein kommutativer Ring und ein Ideal in . Dann ist der Restklassenring (sprich „R modulo I“) ein kommutativer Ring, der durch folgende Daten festgelegt ist.
- Als Menge ist die Menge der Nebenklassen zu .
- Durch
wird eine Addition von Nebenklassen definiert.
- Durch
wird eine Multiplikation von Nebenklassen definiert.
- definiert das neutrale Element für die Addition (die Nullklasse).
- definiert das neutrale Element für die Multiplikation (die Einsklasse).
Eine komplexe Zahl heißt algebraisch oder algebraische Zahl, wenn sie algebraisch über den rationalen Zahlen ist. Andernfalls heißt sie transzendent.
Es sei eine Körpererweiterung. Dann nennt man die Menge
den algebraischen Abschluss von in .
Es sei ein kommutativer Ring und eine kommutative - Algebra. Ein bijektiver - Algebrahomomorphismus
heißt -Algebraautomorphismus.
Es sei ein kommutativer Ring und eine kommutative -Algebra. Die Menge der - Algebra-Automorphismen
mit der Hintereinanderschaltung als Verknüpfung heißt Automorphismengruppe der Algebra. Sie wird mit bezeichnet.
Es sei eine Körpererweiterung. Dann nennt man die Automorphismengruppe
die Galoisgruppe der Körpererweiterung.
Es sei ein Körper und eine kommutative Gruppe. Eine - Algebra heißt -graduiert, wenn es eine direkte Summenzerlegung
mit - Untervektorräumen derart gibt, dass ist und für die Multiplikation auf die Beziehung
gilt.
Es sei ein Körper und eine endliche kommutative Gruppe. Unter einer -graduierten Körpererweiterung versteht man eine Körpererweiterung , bei der auf eine - Graduierung mit und für alle gegeben ist.
Es sei ein Monoid und ein Körper. Dann heißt ein Monoidhomomorphismus
ein Charakter von in .
Es sei ein Gruppe und ein Körper. Dann nennt man die Menge der Charaktere
die Charaktergruppe von (in ).
Der Exponent einer endlichen Gruppe ist die kleinste positive Zahl mit der Eigenschaft, dass für alle ist.
Eine Einheit heißt primitiv (oder eine primitive Einheit), wenn sie die Einheitengruppe erzeugt.
Eine -te Einheitswurzel heißt primitiv, wenn sie die Ordnung besitzt.
Ein Körper heißt endlich, wenn er nur endlich viele Elemente besitzt.
Es sei ein Körper, ein Polynom und eine Körpererweiterung, über der in Linearfaktoren zerfällt. Es seien die Nullstellen von . Dann nennt man
einen Zerfällungskörper von .
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zu einem Polynom heißt das Polynom
die formale Ableitung von .
Es sei ein Körper. Ein Polynom heißt separabel, wenn es über keinem Erweiterungskörper mehrfache Nullstellen besitzt.
Eine endliche Körpererweiterung heißt separabel, wenn für jedes Element das Minimalpolynom separabel ist.
Ein Körper heißt vollkommen, wenn jedes irreduzible Polynom separabel ist.
Es sei ein Körper und eine kommutative - Algebra. Zwei über algebraische Elemente heißen konjugiert, wenn ihre Minimalpolynome übereinstimmen.
Es sei eine endliche Körpererweiterung. Sie heißt eine Galoiserweiterung, wenn
gilt.
Eine Körpererweiterung heißt normal, wenn es zu jedem ein Polynom , , mit gibt, das über zerfällt.
Es sei ein Körper und eine Untergruppe der Automorphismengruppe von . Dann heißt
der Fixkörper zu .
Es sei ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik enthalte. Der Frobeniushomomorphismus ist der Ringhomomorphismus
Der -te Kreisteilungskörper ist der Zerfällungskörper des Polynoms
über .
Zu einer natürlichen Zahl bezeichnet die Anzahl der Elemente von . Man nennt die Eulersche Funktion.
Es sei und seien die primitiven komplexen Einheitswurzeln. Dann heißt das Polynom
das -te Kreisteilungspolynom.
Es sei eine Körpererweiterung und seien zwei Zwischenkörper. Dann nennt man den von und erzeugten Unterkörper das Kompositum der beiden Körper (in ). Es wird mit bezeichnet.
Eine Gruppe heißt auflösbar, wenn es eine Filtrierung
derart gibt, dass ein Normalteiler in ist und die Restklassengruppe abelsch ist (für jedes ).
Zu einer Gruppe heißt die von allen Kommutatoren , , erzeugte Untergruppe die Kommutatorgruppe von . Sie wird mit bezeichnet.
Es sei eine Gruppe. Die -te iterierte Kommutatoruntergruppe wird induktiv durch
definiert.
Es sei eine algebraische Körpererweiterung. Man nennt einen Körper mit eine normale Hülle von über , wenn der gemeinsame Zerfällungskörper aller Minimalpolynome von Elementen aus ist.
Eine Körpererweiterung heißt auflösbar, wenn es eine Radikalerweiterung mit gibt.
Es sei ein Körper und ein Polynom. Man sagt, dass das Polynom auflösbar ist (bzw., dass die Gleichung auflösbar ist), wenn die Körpererweiterung auflösbar ist.
Es sei eine Menge und sei die zugehörige Permutationsgruppe. Eine Untergruppe heißt transitiv, wenn es zu je zwei Elementen ein gibt mit .
Es sei eine Teilmenge der Ebene . Eine Gerade heißt aus elementar konstruierbar, wenn es zwei Punkte , , derart gibt, dass die Verbindungsgerade von und gleich ist. Ein Kreis heißt aus elementar konstruierbar, wenn es zwei Punkte , , derart gibt, dass der Kreis mit dem Mittelpunkt und durch den Punkt gleich ist.
Es sei eine Teilmenge der Ebene . Dann heißt ein Punkt aus in einem Schritt konstruierbar, wenn eine der folgenden Möglichkeiten zutrifft.
- Es gibt zwei aus elementar konstruierbare Geraden und mit .
- Es gibt eine aus elementar konstruierbare Gerade und einen aus elementar konstruierbaren Kreis derart, dass ein Schnittpunkt von und ist.
- Es gibt zwei aus elementar konstruierbare Kreise und derart, dass ein Schnittpunkt der beiden Kreise ist.
Es sei eine Teilmenge der Ebene . Dann heißt ein Punkt aus konstruierbar (oder mit Zirkel und Lineal konstruierbar), wenn es eine Folge von Punkten
gibt derart, dass jeweils aus in einem Schritt konstruierbar ist.
Eine Zahl heißt konstruierbar oder konstruierbare Zahl, wenn sie aus der Startmenge mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.
Zu einer Gruppe nennt man die Äquivalenzklassen zur Äquivalenzrelation, bei der zwei Elemente als äquivalent (oder konjugiert) gelten, wenn sie durch einen inneren Automorphismus ineinander überführt werden können, die Konjugationsklassen.
Es sei . Man sagt, dass das regelmäßige -Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, wenn die komplexe Zahl
eine konstruierbare Zahl ist.
Eine Primzahl der Form , wobei eine positive natürliche Zahl ist, heißt Fermatsche Primzahl.
Eine Zahl der Form , wobei eine natürliche Zahl ist, heißt Fermat-Zahl.