Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Definitionsliste

Definition:Algebraisch abgeschlossener Körper

Ein Körper ${}K$ heißt algebraisch abgeschlossen, wenn jedes nichtkonstante Polynom  ${}F\in K[X]$  eine Nullstelle in ${}K$ besitzt.

Definition:Unterkörper

Es sei ${}K$ ein Körper. Ein Unterring  ${}M\subseteq K$,  der zugleich ein Körper ist, heißt Unterkörper von ${}K$.

Definition:Körpererweiterung

Es sei ${}L$ ein Körper und  ${}K\subseteq L$  ein Unterkörper von ${}L$. Dann heißt ${}L$ ein Erweiterungskörper (oder Oberkörper) von ${}K$ und die Inklusion  ${}K\subseteq L$  heißt eine Körpererweiterung.

Definition:Endliche Körpererweiterung

Eine Körpererweiterung  ${}K\subseteq L$  heißt endlich, wenn ${}L$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über ${}K$ ist.

Definition:Grad einer Körpererweiterung

Es sei  ${}K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung. Dann nennt man die ${}K$- Vektorraumdimension von ${}L$ den Grad der Körpererweiterung.

Definition:Quadratische Körpererweiterung

Eine endliche Körpererweiterung  ${}K\subseteq L$  vom Grad zwei heißt eine quadratische Körpererweiterung.

Definition:Einheitswurzeln

Es sei ${}K$ ein Körper und  ${}n\in \mathbb {N}$.  Dann heißen die Nullstellen des Polynoms

$X^{n}-1$

in ${}K$ die ${}n$-ten Einheitswurzeln in ${}K$.

Definition:Ideal

Eine Teilmenge ${}{\mathfrak {a}}$ eines kommutativen Ringes ${}R$ heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1.  ${}0\in {\mathfrak {a}}$. 
2. Für alle  ${}a,b\in {\mathfrak {a}}$  ist auch  ${}a+b\in {\mathfrak {a}}$. 
3. Für alle  ${}a\in {\mathfrak {a}}$  und  ${}r\in R$  ist auch  ${}ra\in {\mathfrak {a}}$. 

Definition:Hauptideal

Ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ der Form

${}{\mathfrak {a}}=(a)=Ra=\{ra:\,r\in R\}\,$

heißt Hauptideal.

Definition:Erzeugtes Ideal

Zu einer Familie von Elementen ${}a_{j}\in R$, ${}j\in J$, in einem kommutativen Ring ${}R$ bezeichnet ${}(a_{j}:j\in J)$ das von den ${}a_{j}$ erzeugte Ideal. Es besteht aus allen (endlichen) Linearkombinationen

$\sum _{j\in J_{0}}r_{j}a_{j},$

wobei  ${}J_{0}\subseteq J$  eine endliche Teilmenge und  ${}r_{j}\in R$  ist.

Definition:Integritätsbereich

Ein kommutativer, nullteilerfreier, von ${}0$ verschiedener Ring heißt Integritätsbereich.

Definition:Einheit

Ein Element ${}u$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt Einheit, wenn es ein Element  ${}v\in R$  mit  ${}uv=1$  gibt.

Definition:Teilen (kommutativer Ring)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, und ${}a,b$ Elemente in ${}R$. Man sagt, dass ${}a$ das Element ${}b$ teilt (oder dass ${}b$ von ${}a$ geteilt wird, oder dass ${}b$ ein Vielfaches von ${}a$ ist), wenn es ein  ${}c\in R$  derart gibt, dass  ${}b=c\cdot a$  ist. Man schreibt dafür auch ${}a{|}b$.

Definition:Teilerfremd

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Man sagt, dass zwei Elemente  ${}a,b\in R$  teilerfremd sind, wenn jedes Element  ${}c\in R$,  das sowohl ${}a$ als auch ${}b$ teilt, eine Einheit ist.

Definition:Irreduzibles Element

Eine Nichteinheit ${}p$ in einem kommutativen Ring heißt irreduzibel (oder unzerlegbar), wenn eine Faktorisierung  ${}p=ab$  nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.

Definition:Primelement

Eine Nichteinheit  ${}p\neq 0$  in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt prim (oder ein Primelement), wenn folgendes gilt: Teilt ${}p$ ein Produkt ${}ab$ mit ${}a,b\in R$, so teilt ${}p$ einen der Faktoren.

Definition:Hauptidealbereich

Ein Integritätsbereich, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealbereich.

Definition:Gruppenhomomorphismus

Es seien ${}(G,\circ ,e_{G})$ und ${}(H,\circ ,e_{H})$ Gruppen. Eine Abbildung

$\psi \colon G\longrightarrow H$

heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit

${}\psi (g\circ g')=\psi (g)\circ \psi (g')\,$

für alle  ${}g,g'\in G$  gilt.

Definition:Gruppenisomorphismus

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen. Einen bijektiven Gruppenhomomorphismus

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

nennt man einen Isomorphismus (oder eine Isomorphie).

Definition:Kern (Gruppenhomomorphismus)

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein Gruppenhomomorphismus. Dann nennt man das Urbild des neutralen Elementes den Kern von ${}\varphi$, geschrieben

${}\operatorname {kern} \varphi =\varphi ^{-1}(e_{H})={\left\{g\in G\mid \varphi (g)=e_{H}\right\}}\,.$

Definition:Äquivalenzrelation zu einer Untergruppe

Es sei ${}G$ eine Gruppe und  ${}H\subseteq G$  eine Untergruppe. Wir setzen  ${}x\sim _{H}y$  (und sagen, dass ${}x$ und ${}y$ äquivalent sind) wenn  ${}x^{-1}y\in H$. 

Definition:Nebenklassen

Es sei ${}G$ eine Gruppe und  ${}H\subseteq G$  eine Untergruppe. Dann heißt zu jedem  ${}x\in G$  die Teilmenge

${}xH={\left\{xh\mid h\in H\right\}}\,$

die Linksnebenklasse von ${}x$ in ${}G$ bezüglich ${}H$. Jede Teilmenge von dieser Form heißt Linksnebenklasse. Entsprechend heißt eine Menge der Form

${}Hx={\left\{hx\mid h\in H\right\}}\,$

Rechtsnebenklasse (zu ${}x$).

Definition:Gruppenordnung

Zu einer endlichen Gruppe ${}G$ bezeichnet man die Anzahl ihrer Elemente als Gruppenordnung oder als die Ordnung der Gruppe, geschrieben

${}\operatorname {ord} \,(G)={\#\left(G\right)}\,.$

Definition:Ordnung eines Gruppenelementes

Es sei ${}G$ eine Gruppe und  ${}g\in G$  ein Element. Dann nennt man die kleinste positive Zahl ${}n$ mit  ${}g^{n}=e_{G}$  die Ordnung von ${}g$. Man schreibt hierfür ${}\operatorname {ord} \,(g)$. Wenn alle positiven Potenzen von ${}g$ vom neutralen Element verschieden sind, so setzt man  ${}\operatorname {ord} \,(g)=\infty$. 

Definition:Index (Untergruppe)

Zu einer Untergruppe  ${}H\subseteq G$  heißt die Anzahl der (Links- oder Rechts--)Nebenklassen der Index von ${}H$ in ${}G$, geschrieben

$\operatorname {ind} _{G}H.$

Definition:Innerer Automorphismus

Es sei ${}G$ eine Gruppe und  ${}g\in G$  fixiert. Die durch ${}g$ definierte Abbildung

$\kappa _{g}\colon G\longrightarrow G,\,x\longmapsto gxg^{-1},$

heißt innerer Automorphismus.

Definition:Normalteiler

Es sei ${}G$ eine Gruppe und  ${}H\subseteq G$  eine Untergruppe. Man nennt ${}H$ einen Normalteiler, wenn

${}xH=Hx\,$

für alle  ${}x\in G$  ist, wenn also die Linksnebenklasse zu ${}x$ mit der Rechtsnebenklasse zu ${}x$ übereinstimmt.

Definition:Restklassengruppe

Es sei ${}G$ eine Gruppe und  ${}H\subseteq G$  ein Normalteiler. Die Quotientenmenge

$G/H$

mit der aufgrund von Satz 5.7 eindeutig bestimmten Gruppenstruktur heißt Restklassengruppe von ${}G$ modulo ${}H$. Die Elemente  ${}[g]\in G/H$  heißen Restklassen. Für eine Restklasse ${}[g]$ heißt jedes Element ${}g'\in G$ mit ${}[g']=[g]$ ein Repräsentant von ${}[g]$.

Definition:Ringhomomorphismus

Es seien ${}R$ und ${}S$ Ringe. Eine Abbildung

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

heißt Ringhomomorphismus , wenn folgende Eigenschaften gelten:

1.  ${}\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)$. 
2.  ${}\varphi (1)=1$. 
3.  ${}\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)$. 

Definition:Charakteristik

Die Charakteristik eines kommutativen Ringes ${}R$ ist die kleinste positive natürliche Zahl ${}n$ mit der Eigenschaft  ${}n\cdot 1_{R}=0$.  Die Charakteristik ist ${}0$, falls keine solche Zahl existiert.

Definition:Algebra

Es seien ${}R$ und ${}A$ kommutative Ringe und sei ${}R\rightarrow A$ ein fixierter Ringhomomorphismus. Dann nennt man ${}A$ eine ${}R$-Algebra.

Definition:Algebrahomomorphismus

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative ${}K$- Algebren über einem kommutativen Grundring ${}K$. Dann nennt man einen Ringhomomorphismus

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

einen ${}K$-Algebrahomomorphismus, wenn er zusätzlich mit den beiden fixierten Ringhomomorphismen ${}K\rightarrow R$ und ${}K\rightarrow S$ verträglich ist.

Definition:Algebraisches Element

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}A$ eine ${}K$- Algebra. Es sei  ${}f\in A$  ein Element. Dann heißt ${}f$ algebraisch über ${}K$, wenn es ein von ${}0$ verschiedenes Polynom  ${}P\in K[X]$  mit  ${}P(f)=0$  gibt.

Definition:Minimalpolynom

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}A$ eine ${}K$- Algebra. Es sei  ${}f\in A$  ein über ${}K$ algebraisches Element. Dann heißt das normierte Polynom  ${}P\in K[X]$  mit  ${}P(f)=0$,  welches von minimalem Grad mit dieser Eigenschaft ist, das Minimalpolynom von ${}f$.

Definition:Algebraische Körpererweiterung

Eine Körpererweiterung  ${}K\subseteq L$,  heißt algebraisch, wenn jedes Element ${}f\in L$ algebraisch über ${}K$ ist.

Definition:Erzeugte Algebra

Es sei ${}A$ eine ${}R$- Algebra und sei ${}f_{i}\in A$, ${}i\in I$, eine Familie von Elementen aus ${}A$. Dann heißt die kleinste ${}R$-Unteralgebra von ${}A$, die alle ${}f_{i}$ enthält, die von diesen Elementen erzeugte ${}R$-Algebra.[[Kategorie:erzeugte ${}R$-Algebra (MSW)|~]] Sie wird mit ${}R[f_{i},\,i\in I]$ bezeichnet.

Definition:Primkörper

Es sei ${}K$ ein Körper. Der Primkörper von ${}K$ ist der kleinste Unterkörper von ${}K$.

Definition:Einfache Körpererweiterung

Eine Körpererweiterung  ${}K\subseteq L$,  heißt einfach, wenn es ein Element  ${}x\in L$  mit

${}L=K(x)\,$

gibt.

Definition:Einfache Radikalerweiterung

Eine Körpererweiterung  ${}K\subseteq L$  heißt eine einfache Radikalerweiterung, wenn es ein ${}b\in L$ gibt mit  ${}L=K(b)$  und ein ${}n\in \mathbb {N}$ mit ${}b^{n}\in K$.

Definition:Radikalerweiterung

Eine Körpererweiterung  ${}K\subseteq L$  heißt eine Radikalerweiterung, wenn es Zwischenkörper

${}K\subseteq L_{1}\subseteq \ldots \subseteq L_{n-1}\subseteq L_{n}=L\,$

derart gibt, dass  ${}L_{i}\subseteq L_{i+1}$  für jedes ${}i$ eine einfache Radikalerweiterung ist.

Definition:Nebenklasse (Ideal)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und  ${}I\subseteq R$  ein Ideal in ${}R$. Zu  ${}a\in R$  heißt die Teilmenge

${}a+I={\left\{a+f\mid f\in I\right\}}\,$

die Nebenklasse von ${}a$ zum Ideal ${}I$. Jede Teilmenge von dieser Form heißt Nebenklasse zu ${}I$.

Definition:Restklassenring

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und  ${}I\subseteq R$  ein Ideal in ${}R$. Dann ist der Restklassenring ${}R/I$ (sprich „R modulo I“) ein kommutativer Ring, der durch folgende Daten festgelegt ist.

1. Als Menge ist ${}R/I$ die Menge der Nebenklassen zu ${}I$.
2. Durch

   ${}(a+I)+(b+I):=(a+b+I)\,$

   wird eine Addition von Nebenklassen definiert.

3. Durch

   ${}(a+I)\cdot (b+I):=(a\cdot b+I)\,$

   wird eine Multiplikation von Nebenklassen definiert.

4.  ${}{\bar {0}}=0+I=I$  definiert das neutrale Element für die Addition (die Nullklasse).
5.  ${}{\bar {1}}=1+I$  definiert das neutrale Element für die Multiplikation (die Einsklasse).

Definition:Algebraische Zahlen

Eine komplexe Zahl ${}z$ heißt algebraisch oder algebraische Zahl, wenn sie algebraisch über den rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ ist. Andernfalls heißt sie transzendent.

Definition:Algebraischer Abschluss in Erweiterung

Es sei  ${}K\subseteq L$  eine Körpererweiterung. Dann nennt man die Menge

${}M={\left\{x\in L\mid x{\text{ ist algebraisch über }}K\right\}}\,$

den algebraischen Abschluss von ${}K$ in ${}L$.

Definition:Algebraautomorphismus

Es sei ${}K$ ein kommutativer Ring und ${}A$ eine kommutative ${}K$- Algebra. Ein bijektiver ${}K$- Algebrahomomorphismus

$\varphi \colon A\longrightarrow A$

heißt ${}K$-Algebraautomorphismus.

Definition:Automorphismengruppe (Algebra)

Es sei ${}K$ ein kommutativer Ring und ${}A$ eine kommutative ${}K$-Algebra. Die Menge der ${}K$- Algebra-Automorphismen

$\varphi \colon A\longrightarrow A$

mit der Hintereinanderschaltung als Verknüpfung heißt Automorphismengruppe der Algebra. Sie wird mit ${}\operatorname {Aut} _{K}\,(A)$ bezeichnet.

Definition:Galoisgruppe

Es sei  ${}K\subseteq L$  eine Körpererweiterung. Dann nennt man die Automorphismengruppe

${}\operatorname {Gal} \,(L{|}K)=\operatorname {Aut} _{K}\,(L)\,$

die Galoisgruppe der Körpererweiterung.

Definition:Graduierte Algebra

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}D$ eine kommutative Gruppe. Eine ${}K$- Algebra ${}A$ heißt ${}D$-graduiert, wenn es eine direkte Summenzerlegung

${}A=\bigoplus _{d\in D}A_{d}\,$

mit ${}K$- Untervektorräumen ${}A_{d}$ derart gibt, dass  ${}K\subseteq A_{0}$  ist und für die Multiplikation auf ${}A$ die Beziehung

${}A_{d}\cdot A_{e}\subseteq A_{d+e}\,$

gilt.

Definition:Graduierte Körpererweiterung

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}D$ eine endliche kommutative Gruppe. Unter einer ${}D$-graduierten Körpererweiterung versteht man eine Körpererweiterung  ${}K\subseteq L$,  bei der auf ${}L$ eine ${}D$- Graduierung  ${}L=\bigoplus _{d\in D}L_{d}$  mit  ${}L_{0}=K$  und  ${}L_{d}\neq 0$  für alle ${}d\in D$ gegeben ist.

Definition:Charakter (Monoid)

Es sei ${}G$ ein Monoid und ${}K$ ein Körper. Dann heißt ein Monoidhomomorphismus

$\chi \colon G\longrightarrow (K^{\times },1,\cdot )$

ein Charakter von ${}G$ in ${}K$.

Definition:Charaktergruppe

Es sei ${}G$ ein Gruppe und ${}K$ ein Körper. Dann nennt man die Menge der Charaktere

${}G^{\vee }:=\operatorname {Char} \,(G,K)={\left\{\chi :G\rightarrow K^{\times }\mid \chi {\text{ Charakter}}\right\}}\,$

die Charaktergruppe von ${}G$ (in ${}K$).

Definition:Exponent einer Gruppe

Der Exponent ${}\exp {\left(G\right)}$ einer endlichen Gruppe ${}G$ ist die kleinste positive Zahl ${}n$ mit der Eigenschaft, dass  ${}x^{n}=1$  für alle  ${}x\in G$  ist.

Definition:Primitive Einheit

Eine Einheit  ${}u\in {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$  heißt primitiv (oder eine primitive Einheit), wenn sie die Einheitengruppe erzeugt.

Definition:Primitive Einheitswurzel

Eine ${}n$-te Einheitswurzel heißt primitiv, wenn sie die Ordnung ${}n$ besitzt.

Definition:Endlicher Körper

Ein Körper heißt endlich, wenn er nur endlich viele Elemente besitzt.

Definition:Zerfällungskörper

Es sei ${}K$ ein Körper,  ${}F\in K[X]$  ein Polynom und  ${}K\subseteq L$  eine Körpererweiterung, über der ${}F$ in Linearfaktoren zerfällt. Es seien  ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in L$  die Nullstellen von ${}F$. Dann nennt man

${}K[a_{1},\ldots ,a_{n}]\subseteq L\,$

einen Zerfällungskörper von ${}F$.

Definition:Formale Ableitung

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Zu einem Polynom  ${}F=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\in K[X]$  heißt das Polynom

${}F'=na_{n}X^{n-1}+(n-1)a_{n-1}X^{n-2}+\cdots +3a_{3}X^{2}+2a_{2}X+a_{1}\,$

die formale Ableitung von ${}F$.

Definition:Separables Polynom

Es sei ${}K$ ein Körper. Ein Polynom ${}P\in K[X]$ heißt separabel, wenn es über keinem Erweiterungskörper  ${}K\subseteq L$  mehrfache Nullstellen besitzt.

Definition:Separable Körpererweiterung

Eine endliche Körpererweiterung  ${}K\subseteq L$  heißt separabel, wenn für jedes Element ${}x\in L$ das Minimalpolynom separabel ist.

Definition:Vollkommener Körper

Ein Körper ${}K$ heißt vollkommen, wenn jedes irreduzible Polynom ${}P\in K[X]$ separabel ist.

Definition:Konjugierte Elemente

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}A$ eine kommutative ${}K$- Algebra. Zwei über ${}K$ algebraische Elemente  ${}\alpha ,\beta \in A$  heißen konjugiert, wenn ihre Minimalpolynome übereinstimmen.

Definition:Galoiserweiterung

Es sei  ${}K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung. Sie heißt eine Galoiserweiterung, wenn

${}{\#\left(\operatorname {Gal} \,(L{|}K)\right)}=\operatorname {grad} _{K}L\,$

gilt.

Definition:Normale Körpererweiterung

Eine Körpererweiterung  ${}K\subseteq L$  heißt normal, wenn es zu jedem ${}x\in L$ ein Polynom ${}F\in K[X]$, ${}F\neq 0$, mit  ${}F(x)=0$  gibt, das über ${}L$ zerfällt.

Definition:Fixkörper

Es sei ${}L$ ein Körper und  ${}H\subseteq \operatorname {Aut} _{}^{}{\left(L\right)}$  eine Untergruppe der Automorphismengruppe von ${}L$. Dann heißt

${}\operatorname {Fix} \,(H)={\left\{x\in L\mid \varphi (x)=x{\text{ für alle }}\varphi \in H\right\}}\,$

der Fixkörper zu ${}H$.

Definition:Frobeniushomomorphismus

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik  ${}p>0$  enthalte. Der Frobeniushomomorphismus ist der Ringhomomorphismus

$R\longrightarrow R,\,f\longmapsto f^{p}.$

Definition:Kummererweiterung

Es sei  ${}m\in \mathbb {N}$  und sei ${}K$ ein Körper, der eine ${}m$-te primitive Einheitswurzel enthält. Eine Galoiserweiterung  ${}K\subseteq L$  heißt eine Kummererweiterung zum Exponenten ${}m$, wenn ihre Galoisgruppe abelsch und ihr Exponent ein Teiler von ${}m$ ist.

Definition:Kreisteilungskörper

Der ${}n$-te Kreisteilungskörper ist der Zerfällungskörper des Polynoms

$X^{n}-1$

über ${}\mathbb {Q}$.

Definition:Eulersche ${}\varphi$-Funktion

Zu einer natürlichen Zahl ${}n$ bezeichnet ${}{\varphi (n)}$ die Anzahl der Elemente von ${}(\mathbb {Z} /(n))^{\times }$. Man nennt ${}{\varphi (n)}$ die Eulersche Funktion.

Definition:Kreisteilungspolynom

Es sei  ${}n\in \mathbb {N} _{+}$  und seien ${}z_{1},\ldots ,z_{\varphi (n)}$ die primitiven komplexen Einheitswurzeln. Dann heißt das Polynom

${}\Phi _{n}=\prod _{i=1}^{\varphi (n)}(X-z_{i})\in {\mathbb {C} }[X]\,$

das ${}n$-te Kreisteilungspolynom.

Definition:Kompositum

Es sei  ${}K\subseteq L$  eine Körpererweiterung und seien  ${}K\subseteq M_{1},M_{2}\subseteq L$  zwei Zwischenkörper. Dann nennt man den von ${}M_{1}$ und ${}M_{2}$ erzeugten Unterkörper das Kompositum der beiden Körper (in ${}L$). Es wird mit ${}M_{1}M_{2}$ bezeichnet.

Definition:Auflösbare Gruppe

Eine Gruppe ${}G$ heißt auflösbar, wenn es eine Filtrierung

${}\{e\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq G_{2}\subseteq \ldots \subseteq G_{k-1}\subseteq G_{k}=G\,$

derart gibt, dass ${}G_{i}$ ein Normalteiler in ${}G_{i+1}$ ist und die Restklassengruppe ${}G_{i+1}/G_{i}$ abelsch ist (für jedes ${}i=0,\ldots ,k-1$).

Definition:Kommutatorgruppe

Zu einer Gruppe ${}G$ heißt die von allen Kommutatoren ${}aba^{-1}b^{-1}$, ${}a,b\in G$, erzeugte Untergruppe die Kommutatorgruppe von ${}G$. Sie wird mit ${}K(G)$ bezeichnet.

Definition:Iterierte Kommutatorgruppe

Es sei ${}G$ eine Gruppe. Die ${}i$-te iterierte Kommutatoruntergruppe wird induktiv durch

$K^{0}(G)=G{\text{ und }}K^{i}(G)=K(K^{i-1}(G))$

definiert.

Definition:Normale Hülle

Es sei  ${}K\subseteq L$  eine algebraische Körpererweiterung. Man nennt einen Körper ${}N$ mit  ${}L\subseteq N$  eine normale Hülle von ${}L$ über ${}K$, wenn ${}N$ der gemeinsame Zerfällungskörper aller Minimalpolynome von Elementen aus ${}L$ ist.

Definition:Auflösbare Körpererweiterung

Eine Körpererweiterung  ${}K\subseteq L$  heißt auflösbar, wenn es eine Radikalerweiterung  ${}K\subseteq M$  mit  ${}L\subseteq M$  gibt.

Definition:Auflösbare Gleichung

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}F\in K[X]$ ein Polynom. Man sagt, dass das Polynom ${}F$ auflösbar ist (bzw., dass die Gleichung ${}F(x)=0$ auflösbar ist), wenn die Körpererweiterung  ${}K\subseteq Z(F)$  auflösbar ist.

Definition:Transitive Untergruppe einer Permutationsgruppe

Es sei ${}M$ eine Menge und sei  ${}G=S(M)$  die zugehörige Permutationsgruppe. Eine Untergruppe  ${}H\subseteq G$  heißt transitiv, wenn es zu je zwei Elementen  ${}x,y\in M$  ein  ${}\sigma \in H$  gibt mit  ${}\sigma (x)=y$. 

Definition:Elementar konstruierbare Geraden und Kreise

Es sei  ${}M\subseteq E$  eine Teilmenge der Ebene ${}E$. Eine Gerade  ${}G\subseteq E$  heißt aus ${}M$ elementar konstruierbar, wenn es zwei Punkte ${}P,Q\in M$, ${}P\neq Q$, derart gibt, dass die Verbindungsgerade von ${}P$ und ${}Q$ gleich ${}G$ ist. Ein Kreis  ${}C\subseteq E$  heißt aus ${}M$ elementar konstruierbar, wenn es zwei Punkte ${}Z,S\in M$, ${}Z\neq S$, derart gibt, dass der Kreis mit dem Mittelpunkt ${}Z$ und durch den Punkt ${}S$ gleich ${}C$ ist.

Definition:Konstruierbar in einem Schritt

Es sei  ${}M\subseteq E$  eine Teilmenge der Ebene ${}E$. Dann heißt ein Punkt  ${}P\in E$  aus ${}M$ in einem Schritt konstruierbar, wenn eine der folgenden Möglichkeiten zutrifft.

1. Es gibt zwei aus ${}M$ elementar konstruierbare Geraden ${}G_{1}$ und ${}G_{2}$ mit  ${}G_{1}\cap G_{2}=\{P\}$. 
2. Es gibt eine aus ${}M$ elementar konstruierbare Gerade ${}G$ und einen aus ${}M$ elementar konstruierbaren Kreis ${}C$ derart, dass ${}P$ ein Schnittpunkt von ${}G$ und ${}C$ ist.
3. Es gibt zwei aus ${}M$ elementar konstruierbare Kreise ${}C_{1}$ und ${}C_{2}$ derart, dass ${}P$ ein Schnittpunkt der beiden Kreise ist.

Definition:Konstruierbare Punkte aus einer Startmenge

Es sei  ${}M\subseteq E$  eine Teilmenge der Ebene ${}E$. Dann heißt ein Punkt  ${}P\in E$  aus ${}M$ konstruierbar (oder mit Zirkel und Lineal konstruierbar), wenn es eine Folge von Punkten

$P_{1},\ldots ,P_{n}=P$

derart gibt, dass ${}P_{i}$ jeweils aus ${}M\cup \{P_{1},\ldots ,P_{i-1}\}$ in einem Schritt konstruierbar ist.

Definition:Konstruierbare Zahl

Eine Zahl  ${}z\in {\mathbb {C} }\cong E$  heißt konstruierbar oder konstruierbare Zahl, wenn sie aus der Startmenge  ${}\{0,1\}\subset \mathbb {R} \subset {\mathbb {C} }$  mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.

Definition:Konjugationsklassen

Zu einer Gruppe ${}G$ nennt man die Äquivalenzklassen zur Äquivalenzrelation, bei der zwei Elemente als äquivalent (oder konjugiert) gelten, wenn sie durch einen inneren Automorphismus ineinander überführt werden können, die Konjugationsklassen.

Definition:Konstruierbares regelmäßiges n-Eck

Es sei  ${}n\in \mathbb {N} _{+}$.  Man sagt, dass das regelmäßige ${}n$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, wenn die komplexe Zahl

${}e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}=\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)+{\mathrm {i} }\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)\,$

eine konstruierbare Zahl ist.

Definition:Fermatsche Primzahl

Eine Primzahl der Form ${}2^{s}+1$, wobei ${}s$ eine positive natürliche Zahl ist, heißt Fermatsche Primzahl.

Definition:Fermat-Zahl

Eine Zahl der Form ${}2^{2^{r}}+1$, wobei ${}r$ eine natürliche Zahl ist, heißt Fermat-Zahl.