Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 24/kontrolle

Aufwärmaufgaben

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit Mittelpunkt ${}(2,7)$, der durch den Punkt ${}(4,-3)$ läuft.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden ${}G$ und des Kreises ${}K$, wobei ${}G$ durch die Gleichung ${}2y-3x+1=0$ und ${}K$ durch den Mittelpunkt ${}(2,2)$ und den Radius ${}5$ gegeben ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Berechne die Schnittpunkte der beiden Kreise ${}K_{1}$ und ${}K_{2}$, wobei ${}K_{1}$ den Mittelpunkt ${}(3,4)$ und den Radius ${}6$ und ${}K_{2}$ den Mittelpunkt ${}(-8,1)$ und den Radius ${}7$ besitzt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}P,Q$ zwei Punkte auf einer Geraden ${}L$ und ${}M$ sei eine weitere Gerade durch ${}P$. Konstruiere mit Zirkel und Lineal eine Raute, so dass ${}P$ und ${}Q$ Eckpunkte sind und eine Seite auf ${}M$ liegt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}D$ ein nichtausgeartetes Dreieck in der Ebene mit den drei Eckpunkten ${}A,B,C$. Zeige, dass man die Höhen, die Mittelsenkrechten, die Winkelhalbierenden und die Seitenhalbierenden mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.

Aufgabe Aufgabe 24.6 ändern

Es sei ein Dreieck ${}D$ durch die Eckpunkte ${}A,B,C$ in der Ebene ${}E$ mit den Seiten ${}S,T,R$ gegeben. Es sei ferner eine Strecke ${}S'$ durch zwei Punkte ${}P,Q\in E$ gegeben. Konstruiere mit Zirkel und Lineal ein zu ${}D$ ähnliches (also winkelgleiches) Dreieck ${}D'$ derart, dass ${}S'$ eine Seite von ${}D'$ ist und dass ${}S'$ der Seite ${}S$ entspricht.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Kreis ${}K$ und ein Punkt ${}P\in K$ gegeben. Konstruiere die Tangente an den Kreis durch ${}P$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine Gerade ${}G$ und ein Punkt ${}P\not \in G$ gegeben. Konstruiere einen Kreis mit Mittelpunkt ${}P$ derart, dass die Gerade eine Tangente an den Kreis wird.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}P\in {\mathbb {C} }$ ein nichtkonstruierbarer Punkt.

a) Zeige, dass es unendlich viele Geraden durch ${}P$ gibt, auf denen mindestens ein konstruierbarer Punkt liegt.

b) Zeige, dass es maximal eine Gerade durch ${}P$ gibt, auf der es mindestens zwei konstruierbare Punkte gibt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Erläutere geometrisch, warum die ${}0$ das neutrale Element der geometrischen Addition von reellen Zahlen ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Rekapituliere die Strahlensätze.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}P$ und ${}Q$ zwei konstruierbare Punkte. Zeige, dass dann auch der Abstand ${}d(P,Q)$ konstruierbar ist.

Aufgabe Aufgabe 24.13 ändern

Beschreibe die Konstruktion mit Zirkel und Lineal eines regelmäßigen Fünfecks, wie sie in der folgenden Animation dargestellt ist.

Konstruktion eines regulären Fünfecks mit Zirkel und Lineal

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass man aus dem Einheitsintervall ${}[0,1]$ als Startmenge den gesamten ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass man aus ${}\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ als Startmenge den gesamten ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Aus einer Menge ${}T\subseteq E$ seien „wie üblich“ Geraden und Kreise elementar konstruierbar. Als neue Punkte seien allerdings nur die Durchschnitte von einer Geraden mit einer Geraden und von einer Geraden mit einem Kreis erlaubt (also nicht der Durchschnitt von zwei Kreisen). Bestimme die Menge ${}M$ der Punkte, die aus der Anfangsmenge ${}\{0,1\}$ auf diese Weise konstruierbar ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der beiden Kreise ${}K$ und ${}L$, wobei ${}K$ den Mittelpunkt ${}(2,3)$ und den Radius ${}4$ und ${}L$ den Mittelpunkt ${}(5,-1)$ und den Radius ${}7$ besitzt.

Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei eine zweielementige Menge ${}M=\{0,1\}$ in der Ebene gegeben. Wie viele Punkte lassen sich aus ${}M$ in einem Schritt, in zwei Schritten und in drei Schritten konstruieren?

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Erläutere geometrisch, warum die ${}1$ das neutrale Element der geometrischen Multiplikation von reellen Zahlen ist.

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Erläutere geometrisch, woran die geometrische Division von reellen Zahlen durch ${}0$ scheitert.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme alle Lösungen der Kreisgleichung

${}x^{2}+y^{2}=1\,$

für die Körper ${}K=\mathbb {Z} /(2)$, ${}\mathbb {Z} /(5)$ und ${}\mathbb {Z} /(11)$.

Aufgabe (12 Punkte)Referenznummer erstellen

Schreibe Computeranimationen, die die in Lemma 24.6 beschriebenen Konstruktionen veranschaulichen (über Commons hochladen).