Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Definitionsliste

Definition:Algebraisch abgeschlossener Körper

Ein Körper $K$ heißt algebraisch abgeschlossen, wenn jedes nichtkonstante Polynom  $F\in K[X]$  eine Nullstelle in $K$ besitzt.

Definition:Unterkörper

Es sei $K$ ein Körper. Ein Unterring  $M\subseteq K$,  der zugleich ein Körper ist, heißt Unterkörper von $K$.

Definition:Körpererweiterung

Es sei $L$ ein Körper und  $K\subseteq L$  ein Unterkörper von $L$. Dann heißt $L$ ein Erweiterungskörper (oder Oberkörper) von $K$ und die Inklusion  $K\subseteq L$  heißt eine Körpererweiterung.

Definition:Endliche Körpererweiterung

Eine Körpererweiterung  $K\subseteq L$  heißt endlich, wenn $L$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über $K$ ist.

Definition:Grad einer Körpererweiterung

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung. Dann nennt man die $K$-Vektorraumdimension von $L$ den Grad der Körpererweiterung.

Definition:Quadratische Körpererweiterung

Eine endliche Körpererweiterung  $K\subseteq L$  vom Grad zwei heißt eine quadratische Körpererweiterung.

Definition:Einheitswurzeln

Es sei $K$ ein Körper und  $n\in \mathbb{N}$.  Dann heißen die Nullstellen des Polynoms

$X^n-1$

in $K$ die $n$-ten Einheitswurzeln in $K$.

Definition:Norm eines algebraischen Elementes

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung. Zu einem Element  $f\in L$  nennt man die Determinante der $K$-linearen Abbildung

${\mu }_f:L⟶L,y⟼fy,$

die Norm von $f$. Sie wird mit $N(f)$ bezeichnet.

Definition:Spur eines algebraischen Elementes

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung. Zu einem Element  $f\in L$  nennt man die Spur der $K$-linearen Abbildung

${\mu }_f:L⟶L,y⟼fy,$

die Spur von $f$. Sie wird mit $\mathrm{Spur}\left(f\right)$ bezeichnet.

Definition:Diskriminate einer Basis

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung vom Grad $n$ und seien $b_1,\dots ,b_n$ Elemente in $L$. Dann wird die Diskriminante von $b_1,\dots ,b_n$ durch

$\mathrm{\Delta }(b_1,\dots ,b_n)=det(\mathrm{Spur}{\left(b_i{b}_j\right)}_{i,j})$

definiert.

Definition:Ideal

Eine Teilmenge $𝔞$ eines kommutativen Ringes $R$ heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1.  $0\in 𝔞$. 
2. Für alle  $a,b\in 𝔞$  ist auch  $a+b\in 𝔞$. 
3. Für alle  $a\in 𝔞$  und  $r\in R$  ist auch  $ra\in 𝔞$. 

Definition:Hauptideal

Ein Ideal $𝔞$ in einem kommutativen Ring $R$ der Form

$𝔞=(a)=Ra=\{ra:r\in R\}$

heißt Hauptideal.

Definition:Erzeugtes Ideal

Zu einer Familie von Elementen $a_j\in R$, $j\in J$, in einem kommutativen Ring $R$ bezeichnet $(a_j:j\in J)$ das von den $a_j$ erzeugte Ideal. Es besteht aus allen (endlichen) Linearkombinationen

$\sum _{j\in J_0}{r}_j{a}_j,$

wobei  $J_0\subseteq J$  eine endliche Teilmenge und  $r_j\in R$  sind.

Definition:Integritätsbereich

Ein kommutativer, nullteilerfreier, von $0$ verschiedener Ring heißt Integritätsbereich.

Definition:Einheit

Ein Element $u$ in einem kommutativen Ring $R$ heißt Einheit, wenn es ein Element  $v\in R$  mit  $uv=1$  gibt.

Definition:Teilen (kommutativer Ring)

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, und $a,b$ Elemente in $R$. Man sagt, dass $a$ das Element $b$ teilt (oder dass $b$ von $a$ geteilt wird, oder dass $b$ ein Vielfaches von $a$ ist), wenn es ein  $c\in R$  derart gibt, dass  $b=c\cdot a$  ist. Man schreibt dafür auch $a|b$.

Definition:Teilerfremd

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Man sagt, dass zwei Elemente  $a,b\in R$  teilerfremd sind, wenn jedes Element  $c\in R$,  das sowohl $a$ als auch $b$ teilt, eine Einheit ist.

Definition:Irreduzibles Element

Eine Nichteinheit $p$ in einem kommutativen Ring heißt irreduzibel (oder unzerlegbar), wenn eine Faktorisierung  $p=ab$  nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.

Definition:Primelement

Eine Nichteinheit  $p\ne 0$  in einem kommutativen Ring $R$ heißt prim (oder ein Primelement), wenn Folgendes gilt: Teilt $p$ ein Produkt $ab$ mit $a,b\in R$, so teilt $p$ einen der Faktoren.

Definition:Hauptidealbereich

Ein Integritätsbereich, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealbereich.

Definition:Gruppenhomomorphismus

Es seien $(G,\circ ,e_G)$ und $(H,\circ ,e_H)$ Gruppen. Eine Abbildung

$\psi :G⟶H$

heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit

$\psi (g\circ g^{\prime })=\psi (g)\circ \psi (g^{\prime })$

für alle  $g,g^{\prime }\in G$  gilt.

Definition:Gruppenisomorphismus

Es seien $G$ und $H$ Gruppen. Einen bijektiven Gruppenhomomorphismus

$\phi :G⟶H$

nennt man einen Isomorphismus (oder eine Isomorphie).

Definition:Kern (Gruppenhomomorphismus)

Es seien $G$ und $H$ Gruppen und sei

$\phi :G⟶H$

ein Gruppenhomomorphismus. Dann nennt man das Urbild des neutralen Elementes den Kern von $\phi$, geschrieben

$\mathrm{kern}\phi ={\phi }^{-1}(e_H)=\{g\in G\mid \phi (g)=e_H\}.$

Definition:Äquivalenzrelation zu einer Untergruppe

Es sei $G$ eine Gruppe und  $H\subseteq G$  eine Untergruppe. Wir setzen  $x{\sim }_{H}y$  (und sagen, dass $x$ und $y$ äquivalent sind), wenn  $x^{-1}y\in H$. 

Definition:Nebenklassen

Es sei $G$ eine Gruppe und  $H\subseteq G$  eine Untergruppe. Dann heißt zu jedem  $x\in G$  die Teilmenge

$xH=\{xh\mid h\in H\}$

die Linksnebenklasse von $x$ in $G$ bezüglich $H$. Jede Teilmenge von dieser Form heißt Linksnebenklasse. Entsprechend heißt eine Menge der Form

$Hx=\{hx\mid h\in H\}$

Rechtsnebenklasse (zu $x$).

Definition:Gruppenordnung

Zu einer endlichen Gruppe $G$ bezeichnet man die Anzahl ihrer Elemente als Gruppenordnung oder als die Ordnung der Gruppe, geschrieben

$\mathrm{ord}(G)=\mathrm{\#}\left(G\right).$

Definition:Ordnung eines Gruppenelementes

Es sei $G$ eine Gruppe und  $g\in G$  ein Element. Dann nennt man die kleinste positive Zahl $n$ mit  $g^n=e_G$  die Ordnung von $g$. Man schreibt hierfür $\mathrm{ord}(g)$. Wenn alle positiven Potenzen von $g$ vom neutralen Element verschieden sind, so setzt man  $\mathrm{ord}(g)=\mathrm{\infty }$. 

Definition:Index (Untergruppe)

Zu einer Untergruppe  $H\subseteq G$  heißt die Anzahl der (Links- oder Rechts--)Nebenklassen der Index von $H$ in $G$, geschrieben

${\mathrm{ind}}_{G}H.$

Definition:Innerer Automorphismus

Es sei $G$ eine Gruppe und  $g\in G$  fixiert. Die durch $g$ definierte Abbildung

${\kappa }_g:G⟶G,x⟼gx{g}^{-1},$

heißt innerer Automorphismus.

Definition:Normalteiler

Es sei $G$ eine Gruppe und  $H\subseteq G$  eine Untergruppe. Man nennt $H$ einen Normalteiler, wenn

$xH=Hx$

für alle  $x\in G$  ist, wenn also die Linksnebenklasse zu $x$ mit der Rechtsnebenklasse zu $x$ übereinstimmt.

Definition:Restklassengruppe

Es sei $G$ eine Gruppe und  $H\subseteq G$  ein Normalteiler. Die Quotientenmenge

$G/H$

mit der aufgrund von Satz 5.7 eindeutig bestimmten Gruppenstruktur heißt Restklassengruppe von $G$ modulo $H$. Die Elemente  $[g]\in G/H$  heißen Restklassen. Für eine Restklasse $[g]$ heißt jedes Element $g^{\prime }\in G$ mit $[g^{\prime }]=[g]$ ein Repräsentant von $[g]$.

Definition:Ringhomomorphismus

Es seien $R$ und $S$ Ringe. Eine Abbildung

$\phi :R⟶S$

heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:

1.  $\phi (a+b)=\phi (a)+\phi (b)$. 
2.  $\phi (1)=1$. 
3.  $\phi (a\cdot b)=\phi (a)\cdot \phi (b)$. 

Definition:Charakteristik

Die Charakteristik eines kommutativen Ringes $R$ ist die kleinste positive natürliche Zahl $n$ mit der Eigenschaft  $n\cdot 1_R=0$.  Die Charakteristik ist $0$, falls keine solche Zahl existiert.

Definition:Algebra

Es seien $R$ und $A$ kommutative Ringe und sei $R\to A$ ein fixierter Ringhomomorphismus. Dann nennt man $A$ eine $R$-Algebra.

Definition:Algebrahomomorphismus

Es seien $R$ und $S$ kommutative $K$-Algebren über einem kommutativen Grundring $K$. Dann nennt man einen Ringhomomorphismus

$\phi :R⟶S$

einen $K$-Algebrahomomorphismus, wenn er zusätzlich mit den beiden fixierten Ringhomomorphismen $K\to R$ und $K\to S$ verträglich ist.

Definition:Algebraisches Element

Es sei $K$ ein Körper und $A$ eine $K$-Algebra. Es sei  $f\in A$  ein Element. Dann heißt $f$ algebraisch über $K$, wenn es ein von $0$ verschiedenes Polynom  $P\in K[X]$  mit  $P(f)=0$  gibt.

Definition:Minimalpolynom

Es sei $K$ ein Körper und $A$ eine $K$-Algebra. Es sei  $f\in A$  ein über $K$ algebraisches Element. Dann heißt das normierte Polynom  $P\in K[X]$  mit  $P(f)=0$,  welches von minimalem Grad mit dieser Eigenschaft ist, das Minimalpolynom von $f$.

Definition:Algebraische Körpererweiterung

Eine Körpererweiterung  $K\subseteq L$,  heißt algebraisch, wenn jedes Element $f\in L$ algebraisch über $K$ ist.

Definition:Erzeugte Algebra

Es sei $A$ eine $R$-Algebra und sei $f_i\in A$, $i\in I$, eine Familie von Elementen aus $A$. Dann heißt die kleinste $R$-Unteralgebra von $A$, die alle $f_i$ enthält, die von diesen Elementen erzeugte $R$-Algebra. Sie wird mit $R[f_i,i\in I]$ bezeichnet.

Definition:Primkörper

Es sei $K$ ein Körper. Der Primkörper von $K$ ist der kleinste Unterkörper von $K$.

Definition:Einfache Körpererweiterung

Eine Körpererweiterung  $K\subseteq L$  heißt einfach, wenn es ein Element  $x\in L$  mit

$L=K(x)$

gibt.

Definition:Einfache Radikalerweiterung

Eine Körpererweiterung  $K\subseteq L$  heißt eine einfache Radikalerweiterung, wenn es ein $b\in L$ gibt mit  $L=K(b)$  und ein $n\in \mathbb{N}$ mit $b^n\in K$.

Definition:Radikalerweiterung

Eine Körpererweiterung  $K\subseteq L$  heißt eine Radikalerweiterung, wenn es Zwischenkörper

$K\subseteq L_1\subseteq \dots \subseteq L_{n-1}\subseteq L_n=L$

derart gibt, dass  $L_i\subseteq L_{i+1}$  für jedes $i$ eine einfache Radikalerweiterung ist.

Definition:Nebenklasse (Ideal)

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und  $I\subseteq R$  ein Ideal in $R$. Zu  $a\in R$  heißt die Teilmenge

$a+I=\{a+f\mid f\in I\}$

die Nebenklasse von $a$ zum Ideal $I$. Jede Teilmenge von dieser Form heißt Nebenklasse zu $I$.

Definition:Restklassenring

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und  $I\subseteq R$  ein Ideal in $R$. Dann ist der Restklassenring $R/I$ (sprich „R modulo I“) ein kommutativer Ring, der durch folgende Daten festgelegt ist.

1. Als Menge ist $R/I$ die Menge der Nebenklassen zu $I$.
2. Durch

   $(a+I)+(b+I):=(a+b+I)$

   wird eine Addition von Nebenklassen definiert.

3. Durch

   $(a+I)\cdot (b+I):=(a\cdot b+I)$

   wird eine Multiplikation von Nebenklassen definiert.

4.  $\overline{0}=0+I=I$  definiert das neutrale Element für die Addition (die Nullklasse).
5.  $\overline{1}=1+I$  definiert das neutrale Element für die Multiplikation (die Einsklasse).

Definition:Exponent einer Gruppe

Der Exponent $\exp \left(G\right)$ einer endlichen Gruppe $G$ ist die kleinste positive Zahl $n$ mit der Eigenschaft, dass  $x^n=1$  für alle  $x\in G$  ist.

Definition:Primitive Einheitswurzel

Eine $n$-te Einheitswurzel heißt primitiv, wenn sie die Ordnung $n$ besitzt.

Definition:Algebraische Zahlen

Eine komplexe Zahl $z$ heißt algebraisch oder algebraische Zahl, wenn sie algebraisch über den rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ ist. Andernfalls heißt sie transzendent.

Definition:Algebraischer Abschluss in Erweiterung

Es sei  $K\subseteq L$  eine Körpererweiterung. Dann nennt man die Menge

$M=\{x\in L\mid x\text{ ist algebraisch über }K\}$

den algebraischen Abschluss von $K$ in $L$.

Definition:Algebraautomorphismus

Es sei $K$ ein kommutativer Ring und $A$ eine kommutative $K$-Algebra. Ein bijektiver $K$-Algebrahomomorphismus

$\phi :A⟶A$

heißt $K$-Algebraautomorphismus.

Definition:Automorphismengruppe (Algebra)

Es sei $K$ ein kommutativer Ring und $A$ eine kommutative $K$-Algebra. Die Menge der $K$-Algebra-Automorphismen

$\phi :A⟶A$

mit der Hintereinanderschaltung als Verknüpfung heißt Automorphismengruppe der Algebra. Sie wird mit ${\mathrm{Aut}}_K(A)$ bezeichnet.

Definition:Galoisgruppe

Es sei  $K\subseteq L$  eine Körpererweiterung. Dann nennt man die Automorphismengruppe

$\mathrm{Gal}(L/K)={\mathrm{Aut}}_K(L)$

die Galoisgruppe der Körpererweiterung.

Definition:Endlicher Körper

Ein Körper heißt endlich, wenn er nur endlich viele Elemente besitzt.

Definition:Zerfällungskörper

Es sei $K$ ein Körper,  $F\in K[X]$  ein Polynom und  $K\subseteq L$  eine Körpererweiterung, über der $F$ in Linearfaktoren zerfällt. Es seien  $a_1,\dots ,a_n\in L$  die Nullstellen von $F$. Dann nennt man

$K[a_1,\dots ,a_n]\subseteq L$

einen Zerfällungskörper von $F$.

Definition:Formale Ableitung

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Zu einem Polynom  $F=\sum _{i=0}^n{a}_i{X}^i\in K[X]$  heißt das Polynom

$F^{\prime }=n{a}_n{X}^{n-1}+(n-1)a_{n-1}{X}^{n-2}+\cdots +3a_3{X}^2+2a_{2}X+a_1$

die formale Ableitung von $F$.

Definition:Graduierte Algebra

Es sei $K$ ein Körper und $D$ eine kommutative Gruppe. Eine $K$-Algebra $A$ heißt $D$-graduiert, wenn es eine direkte Summenzerlegung

$A=\underset{d\in D}{⨁}{A}_d$

mit $K$-Untervektorräumen $A_d$ derart gibt, dass  $K\subseteq A_0$  ist und für die Multiplikation auf $A$ die Beziehung

$A_d\cdot A_e\subseteq A_{d+e}$

gilt.

Definition:Graduierte Körpererweiterung

Es sei $K$ ein Körper und $D$ eine endliche kommutative Gruppe. Unter einer $D$-graduierten Körpererweiterung versteht man eine Körpererweiterung  $K\subseteq L$,  bei der auf $L$ eine $D$-Graduierung  $L=\underset{d\in D}{⨁}{L}_d$  mit  $L_0=K$  und  $L_d\ne 0$  für alle $d\in D$ gegeben ist.

Definition:Charakter (Monoid)

Es sei $G$ ein Monoid und $K$ ein Körper. Dann heißt ein Monoidhomomorphismus

$\chi :G⟶(K^{\times },1,\cdot )$

ein Charakter von $G$ in $K$.

Definition:Charaktergruppe

Es sei $G$ ein Gruppe und $K$ ein Körper. Dann nennt man die Menge der Charaktere

$G^{\vee }:=\mathrm{Char}(G,K)=\{\chi :G\to K^{\times }\mid \chi \text{ Charakter}\}$

die Charaktergruppe von $G$ (in $K$).

Definition:Separables Polynom

Es sei $K$ ein Körper. Ein Polynom $P\in K[X]$ heißt separabel, wenn es über keinem Erweiterungskörper  $K\subseteq L$  mehrfache Nullstellen besitzt.

Definition:Separable Körpererweiterung

Eine endliche Körpererweiterung  $K\subseteq L$  heißt separabel, wenn für jedes Element $x\in L$ das Minimalpolynom separabel ist.

Definition:Vollkommener Körper

Ein Körper $K$ heißt vollkommen, wenn jedes irreduzible Polynom $P\in K[X]$ separabel ist.

Definition:Konjugierte Elemente

Es sei $K$ ein Körper und $A$ eine kommutative $K$-Algebra. Zwei über $K$ algebraische Elemente  $\alpha ,\beta \in A$  heißen konjugiert, wenn ihre Minimalpolynome übereinstimmen.

Definition:Galoiserweiterung

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung. Sie heißt eine Galoiserweiterung, wenn

$\mathrm{\#}(\mathrm{Gal}(L/K))={\mathrm{grad}}_{K}L$

gilt.

Definition:Normale Körpererweiterung

Eine Körpererweiterung  $K\subseteq L$  heißt normal, wenn es zu jedem $x\in L$ ein Polynom $F\in K[X]$, $F\ne 0$, mit  $F(x)=0$  gibt, das über $L$ zerfällt.

Definition:Fixkörper

Es sei $L$ ein Körper und  $H\subseteq {\mathrm{Aut}}_{}^{}\left(L\right)$  eine Untergruppe der Automorphismengruppe von $L$. Dann heißt

$\mathrm{Fix}(H)=\{x\in L\mid \phi (x)=x\text{ für alle }\phi \in H\}$

der Fixkörper zu $H$.

Definition:Frobeniushomomorphismus

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik  $p>0$  enthalte. Der Frobeniushomomorphismus ist der Ringhomomorphismus

$R⟶R,f⟼f^p.$

Definition:Kummererweiterung

Es sei  $m\in \mathbb{N}$  und sei $K$ ein Körper, der eine $m$-te primitive Einheitswurzel enthält. Eine Galoiserweiterung  $K\subseteq L$  heißt eine Kummererweiterung zum Exponenten $m$, wenn ihre Galoisgruppe abelsch und ihr Exponent ein Teiler von $m$ ist.

Definition:Kreisteilungskörper

Der $n$-te Kreisteilungskörper ist der Zerfällungskörper des Polynoms

$X^n-1$

über $\mathbb{Q}$.

Definition:Eulersche $\phi$-Funktion

Zu einer natürlichen Zahl $n$ bezeichnet $\phi \left(n\right)$ die Anzahl der Elemente von $(\mathbb{Z}/(n){)}^{\times }$. Man nennt $\phi \left(n\right)$ die Eulersche Funktion.

Definition:Kreisteilungspolynom

Es sei  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$  und seien $z_1,\dots ,z_{\phi \left(n\right)}$ die primitiven komplexen Einheitswurzeln. Dann heißt das Polynom

${\mathrm{\Phi }}_n=\prod _{i=1}^{\phi \left(n\right)}(X-z_i)\in ℂ[X]$

das $n$-te Kreisteilungspolynom.

Definition:Kompositum

Es sei  $K\subseteq L$  eine Körpererweiterung und seien  $K\subseteq M_1,M_2\subseteq L$  zwei Zwischenkörper. Dann nennt man den von $M_1$ und $M_2$ erzeugten Unterkörper das Kompositum der beiden Körper (in $L$). Es wird mit $M_1{M}_2$ bezeichnet.

Definition:Auflösbare Gruppe

Eine Gruppe $G$ heißt auflösbar, wenn es eine Filtrierung

$\{e\}=G_0\subseteq G_1\subseteq G_2\subseteq \dots \subseteq G_{k-1}\subseteq G_k=G$

derart gibt, dass $G_i$ ein Normalteiler in $G_{i+1}$ ist und die Restklassengruppe $G_{i+1}/G_i$ abelsch ist (für jedes $i=0,\dots ,k-1$).

Definition:Kommutatorgruppe

Zu einer Gruppe $G$ heißt die von allen Kommutatoren $ab{a}^{-1}{b}^{-1}$, $a,b\in G$, erzeugte Untergruppe die Kommutatorgruppe von $G$. Sie wird mit $K(G)$ bezeichnet.

Definition:Iterierte Kommutatorgruppe

Es sei $G$ eine Gruppe. Die $i$-te iterierte Kommutatoruntergruppe wird induktiv durch

$K^0(G)=G\text{ und }{K}^i(G)=K(K^{i-1}(G))$

definiert.

Definition:Normale Hülle

Es sei  $K\subseteq L$  eine algebraische Körpererweiterung. Man nennt einen Körper $N$ mit  $L\subseteq N$  eine normale Hülle von $L$ über $K$, wenn $N$ der gemeinsame Zerfällungskörper aller Minimalpolynome von Elementen aus $L$ ist.

Definition:Auflösbare Körpererweiterung

Eine Körpererweiterung  $K\subseteq L$  heißt auflösbar, wenn es eine Radikalerweiterung  $K\subseteq M$  mit  $L\subseteq M$  gibt.

Definition:Auflösbare Gleichung

Es sei $K$ ein Körper und $F\in K[X]$ ein Polynom. Man sagt, dass das Polynom $F$ auflösbar ist (bzw., dass die Gleichung $F(x)=0$ auflösbar ist), wenn die Körpererweiterung  $K\subseteq Z(F)$  auflösbar ist.

Definition:Transitive Untergruppe einer Permutationsgruppe

Es sei $M$ eine Menge und sei  $G=S(M)$  die zugehörige Permutationsgruppe. Eine Untergruppe  $H\subseteq G$  heißt transitiv, wenn es zu je zwei Elementen  $x,y\in M$  ein  $\sigma \in H$  gibt mit  $\sigma (x)=y$. 

Definition:Elementar konstruierbare Geraden und Kreise

Es sei  $M\subseteq E$  eine Teilmenge der Ebene $E$. Eine Gerade  $G\subseteq E$  heißt aus $M$ elementar konstruierbar, wenn es zwei Punkte $P,Q\in M$, $P\ne Q$, derart gibt, dass die Verbindungsgerade von $P$ und $Q$ gleich $G$ ist. Ein Kreis  $C\subseteq E$  heißt aus $M$ elementar konstruierbar, wenn es zwei Punkte $Z,S\in M$, $Z\ne S$, derart gibt, dass der Kreis mit dem Mittelpunkt $Z$ und durch den Punkt $S$ gleich $C$ ist.

Definition:Konstruierbar in einem Schritt

Es sei  $M\subseteq E$  eine Teilmenge der Ebene $E$. Dann heißt ein Punkt  $P\in E$  aus $M$ in einem Schritt konstruierbar, wenn eine der folgenden Möglichkeiten zutrifft.

1. Es gibt zwei aus $M$ elementar konstruierbare Geraden $G_1$ und $G_2$ mit  $G_1\cap G_2=\{P\}$. 
2. Es gibt eine aus $M$ elementar konstruierbare Gerade $G$ und einen aus $M$ elementar konstruierbaren Kreis $C$ derart, dass $P$ ein Schnittpunkt von $G$ und $C$ ist.
3. Es gibt zwei aus $M$ elementar konstruierbare Kreise $C_1$ und $C_2$ derart, dass $P$ ein Schnittpunkt der beiden Kreise ist.

Definition:Konstruierbare Punkte aus einer Startmenge

Es sei  $M\subseteq E$  eine Teilmenge der Ebene $E$. Dann heißt ein Punkt  $P\in E$  aus $M$ konstruierbar (oder mit Zirkel und Lineal konstruierbar), wenn es eine Folge von Punkten

$P_1,\dots ,P_n=P$

derart gibt, dass $P_i$ jeweils aus $M\cup \{P_1,\dots ,P_{i-1}\}$ in einem Schritt konstruierbar ist.

Definition:Konstruierbare Zahl

Eine Zahl  $z\in ℂ\cong E$  heißt konstruierbar oder konstruierbare Zahl, wenn sie aus der Startmenge  $\{0,1\}\subset ℝ\subset ℂ$  mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.

Definition:Konjugationsklassen

Zu einer Gruppe $G$ nennt man die Äquivalenzklassen zur Äquivalenzrelation, bei der zwei Elemente als äquivalent (oder konjugiert) gelten, wenn sie durch einen inneren Automorphismus ineinander überführt werden können, die Konjugationsklassen.

Definition:Konstruierbares regelmäßiges n-Eck

Es sei  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$.  Man sagt, dass das regelmäßige $n$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, wenn die komplexe Zahl

$e^{2\pi \mathrm{i}/n}=\cos \left(\frac{2\pi }{n}\right)+\mathrm{i}\sin \left(\frac{2\pi }{n}\right)$

eine konstruierbare Zahl ist.

Definition:Fermatsche Primzahl

Eine Primzahl der Form $2^s+1$, wobei $s$ eine positive natürliche Zahl ist, heißt Fermatsche Primzahl.

Definition:Fermat-Zahl

Eine Zahl der Form $2^{2^r}+1$, wobei $r$ eine natürliche Zahl ist, heißt Fermat-Zahl.

Definition:Körper der rationalen Funktionen in $n$ Variablen

Es sei $K$ ein Körper. Den Quotientenkörper des Polynomringes $K[X_1,\dots ,X_n]$ nennt man Körper der rationalen Funktionen in $n$ Variablen. Er wird mit $K(X_1,\dots ,X_n)$ bezeichnet.

Definition:Algebraisch unabhängig

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $A$ eine kommutative $R$-Algebra. Die Elemente $f_1,\dots ,f_n\in A$ heißen algebraisch unabhängig (über $R$), wenn für jedes vom Nullpolynom verschiedene Polynom  $P\in R[X_1,\dots ,X_n]$  bei der Einsetzung

$P(f_1,\dots ,f_n)\ne 0$

gilt.

Definition:Transzendenzbasis

Es sei $K$ ein Grundkörper und  $K\subseteq L$  eine Körpererweiterung. Man sagt, dass $f_1,\dots ,f_n\in L$ eine Transzendenzbasis von $L$ über $K$ ist, wenn die $f_1,\dots ,f_n$ algebraisch unabhängig sind und  $K(f_1,\dots ,f_n)\subseteq L$  eine algebraische Körpererweiterung ist.

Definition:Rein transzendente Körpererweiterung

Eine Körpererweiterung  $K\subseteq L$  heißt rein transzendent, wenn es algebraisch unabhängige Elemente $f_1,\dots ,f_n\in L$ mit  $L=K(f_1,\dots ,f_n)$  gibt.

Definition:Transzendenzgrad

Es sei $K$ ein Grundkörper und  $K\subseteq L$  eine Körpererweiterung mit einer endlichen Transzendenzbasis. Dann nennt man die Anzahl der Elemente in einer jeden Transzendenzbasis von $L$ über $K$ den Transzendenzgrad von $L$ über $K$. Dafür schreibt man $\mathrm{trdeg}(L/K)$.