Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesung 27

Gebrochene Ideale

Definition

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper ${}Q(R)$. Dann nennt man einen endlich erzeugten ${}R$- Untermodul ${}{\mathfrak {f}}$ des ${}R$- Moduls ${}Q(R)$ ein gebrochenes Ideal.

Lemma

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper ${}Q(R)$ und sei  ${}{\mathfrak {f}}\subseteq Q(R)$  eine Teilmenge. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}{\mathfrak {f}}$ ist ein gebrochenes Ideal.
2. Es gibt ein endlich erzeugtes Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ in ${}R$ und ein Element ${}r\in R$, ${}r\neq 0$, derart, dass

   ${}{\mathfrak {f}}={\frac {\mathfrak {a}}{r}}={\left\{{\frac {a}{r}}\mid a\in {\mathfrak {a}}\right\}}\,$

   gilt.

Beweis

Es sei zunächst ${}{\mathfrak {f}}$ ein gebrochenes Ideal. Dann ist

${}{\mathfrak {f}}=R{\left({\frac {a_{1}}{r_{1}}},\ldots ,{\frac {a_{n}}{r_{n}}}\right)}\,.$

Nach Übergang zu einem Hauptnenner kann man annehmen, dass  ${}r=r_{1}=\ldots =r_{n}$  ist. Dann hat man mit dem Ideal  ${}{\mathfrak {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{n})$  eine Beschreibung der gewünschten Art. Ist umgekehrt  ${}{\mathfrak {f}}={\frac {\mathfrak {a}}{r}}$,  so ist dies natürlich ein endlich erzeugter ${}R$- Untermodul von ${}Q(R)$.

$\Box$

Wie für Ideale spielen diejenigen gebrochenen Ideale, die von einem Element erzeugt sind, eine besondere Rolle.

Definition

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper ${}Q(R)$. Dann nennt man ein gebrochenes Ideal der Form  ${}{\mathfrak {f}}=Rq$  mit  ${}q\in Q(R)$  ein gebrochenes Hauptideal.

Aus Lemma 27.2 ergibt sich sofort, dass für einen Hauptidealbereich jedes gebrochene Ideal ein gebrochenes Hauptideal ist.

Definition

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper ${}Q(R)$. Dann definiert man für gebrochene Ideale ${}{\mathfrak {f}}$ und ${}{\mathfrak {g}}$ das Produkt ${}{\mathfrak {f}}\cdot {\mathfrak {g}}$ als den von allen Produkten erzeugten ${}R$- Untermodul von ${}Q(R)$, also

${}{\mathfrak {f}}\cdot {\mathfrak {g}}:=R\langle gf:\,f\in {\mathfrak {f}},\,g\in {\mathfrak {g}}\rangle \,,$

wobei die Produkte in ${}Q(R)$ zu nehmen sind.

Wird das gebrochene Ideal ${}{\mathfrak {f}}$ als ${}R$-Modul von ${}f_{1},\ldots ,f_{n}$ erzeugt und wird das gebrochene Ideal ${}{\mathfrak {g}}$ von ${}g_{1},\ldots ,g_{m}$ erzeugt, so wird das Produkt ${}{\mathfrak {f}}{\mathfrak {g}}$ von den Produkten ${}f_{i}g_{j}$, ${}1\leq i\leq n$, ${}1\leq j\leq m$, erzeugt. Also ist das Produkt in der Tat wieder endlich erzeugt und damit ein gebrochenes Ideal. Für Ideale stimmt natürlich das Idealprodukt mit dem hier definierten Produkt von gebrochenen Idealen überein. Das Produkt von gebrochenen Hauptidealen ist wieder ein gebrochenes Hauptideal.

Lokal freie Moduln

Definition

Ein ${}R$- Modul ${}M$ über einem kommutativen Ring ${}R$ heißt lokal frei, wenn für jedes Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ von ${}R$ die Lokalisierung ${}M_{\mathfrak {p}}$ ein freier ${}R_{\mathfrak {p}}$-Modul ist.

Satz

Es sei ${}R$ ein kommutativer noetherscher Ring und sei ${}M$ ein endlich erzeugter ${}R$- Modul. Es sei  ${}r\in \mathbb {N}$.  Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.

1. Die Lokalisierungen ${}M_{\mathfrak {p}}$ sind frei vom Rang ${}r$ für jedes Primideal  ${}{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$. 
2. Die Lokalisierungen ${}M_{\mathfrak {m}}$sind frei vom Rang ${}r$ für jedes maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ von ${}R$.
3. Es gibt Elemente  ${}f_{1},\ldots ,f_{k}\in R$,  die das Einheitsideal erzeugen derart, dass die Nenneraufnahmen ${}M_{f_{j}}$ für jedes  ${}j=1,\ldots ,k$  frei vom Rang ${}r$ sind.

Beweis

${}(1)\Rightarrow (2)$. Dies ist eine Spezialisierung.
${}(2)\Rightarrow (3)$. Wir fixieren ein maximales Ideal ${}{\mathfrak {m}}$. Nach Voraussetzung gibt es einen ${}R_{\mathfrak {m}}$- Modulisomorphismus

$\varphi \colon {\left(R_{\mathfrak {m}}\right)}^{r}\longrightarrow M_{\mathfrak {m}}.$

Wir schreiben das Bild des ${}i$-ten Standardvektors ${}e_{i}$ als

${}\varphi {\left(e_{i}\right)}={\frac {m_{i}}{g_{i}}}\,$

mit  ${}m_{i}\in M$  und  ${}g_{i}\in R\setminus {\mathfrak {m}}$.  Es sei  ${}g=g_{1}{\cdots }g_{r}$  das Produkt der Nenner. Wir betrachten die Situation über der Nenneraufnahme ${}R_{g}$. Der Isomorphismus ${}\varphi$ ist auf ${}R_{g}$ definiert, d.h. wir haben einen ${}R_{g}$-Modulhomomorphismus

$\psi \colon {\left(R_{g}\right)}^{r}\longrightarrow M_{g},$

der in der Lokalisierung an ${}{\mathfrak {m}}$ den Isomorphismus ${}\varphi$ induziert. Allerdings ist ${}\psi$ im Allgemeinen kein Isomorphismus. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{s}$ ein Erzeugendensystem für den Modul ${}M$. Da ${}\psi$ auf ${}R_{\mathfrak {m}}$ eine Surjektion induziert, gibt es Elemente  ${}u_{j}={\frac {a_{j}}{h_{j}}}\in {\left(R_{\mathfrak {m}}\right)}^{r}$,  die nach ${}v_{j}$ abbilden. Die Nenner ${}h_{j}$ gehören nicht zu ${}{\mathfrak {m}}$, daher können wir ${}g$ durch  ${}h=gh_{1}\cdots h_{s}$  ersetzen und erhalten

$\psi \colon {\left(R_{h}\right)}^{r}\longrightarrow M_{h}$

mit Elementen  ${}u_{j}={\left(R_{h}\right)}^{r}$  derart, dass die ${}\psi (u_{j})$ in ${}M_{\mathfrak {m}}$ auf die Erzeuger ${}v_{j}$ einschränken. Dies bedeutet, dass es Elemente  ${}p_{j}\notin {\mathfrak {m}}$  mit  ${}p_{j}\psi (u_{j})=p_{j}v_{j}$  in ${}M_{h}$ gibt. Wenn man ${}h$ durch  ${}p=hp_{1}\cdots p_{s}$  ersetzt, erhält man, dass ${}\psi$ ebenfalls surjektiv ist. Es sei ${}N$ der Kern von (diesem neuen) ${}\psi$. Da ${}\varphi$ injektiv ist, gilt  ${}N_{\mathfrak {m}}=0$.  Da ${}R$ noethersch ist, ist ${}N$ nach Lemma 23.2 endlich erzeugt und so gibt es wiederum ein Element ${}f$, ${}f\notin {\mathfrak {m}}$, mit  ${}N_{f}=0$.  Indem wir zu einem weiteren Nenner übergehen erhalten wir einen Isomorphismus ${}\psi \colon {\left(R_{f}\right)}^{r}\rightarrow M_{f}$ für ein ${}f$, ${}f\notin {\mathfrak {m}}$.

Wir wissen also, dass es zu jedem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ ein  ${}f_{\mathfrak {m}}\notin {\mathfrak {m}}$  derart gibt, dass ${}M_{f_{\mathfrak {m}}}$ frei vom Rang ${}r$ ist. Das Ideal ${}{\left(f_{\mathfrak {m}}:\,{\mathfrak {m}}{\text{ maximal}}\right)}$ muss das Einheitsideal sein, da es in keinem maximalen Ideal enthalten ist. Dieses wird bereits von endlich vielen der ${}f_{\mathfrak {m}}$ erzeugt.
${}(3)\Rightarrow (1)$. Es sei  ${}{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$  ein Primideal. Wegen  ${}{\left(f_{1},\ldots ,f_{k}\right)}=(1)$  gibt es ein ${}f_{j}$ mit  ${}f_{j}\notin {\mathfrak {p}}$.  Die Freiheit von ${}M_{f_{j}}$ und die Rangeigenschaft überträgt sich auf ${}M_{\mathfrak {p}}$.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}M$ ein lokal freier Modul über dem kommutativen Ring ${}R$.

Dann ist ${}M$ torsionsfrei.

Beweis

Modul/Lokal frei/Torsionsfrei/Fakt/Beweis

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein noetherscher Ring und ${}M$ ein endlich erzeugter lokal freier ${}R$- Modul vom Rang ${}r$.

Dann ist der duale Modul ebenfalls lokal frei vom Rang ${}r$.

Beweis

Nach Lemma 26.9 ist

${}{\left(\operatorname {Hom} _{R}{\left(M,R\right)}\right)}_{\mathfrak {p}}=\operatorname {Hom} _{R_{\mathfrak {p}}}{\left(M_{\mathfrak {p}},R_{\mathfrak {p}}\right)}\,$

für jedes Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ von ${}R$. Da ${}M_{\mathfrak {p}}$ frei vom Rang ${}r$ ist, überträgt sich dies auf den Dualmodul.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein noetherscher Ring und ${}M$ ein endlich erzeugter lokal freier ${}R$- Modul.

Dann ist ${}M$ reflexiv.

Beweis

Wir betrachten die natürliche Abbildung

$M\longrightarrow {{M}^{*}}^{*}.$

Nach Lemma 26.9 und Lemma 25.14 liegt lokal ein Isomorphismus vor, also auch global.

$\Box$

Invertierbare Moduln

Definition

Ein ${}R$- Modul ${}L$ über einem kommutativen Ring ${}R$ heißt invertierbar, wenn für jedes Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ von ${}R$ die Lokalisierung ${}L_{\mathfrak {p}}$ isomorph zu ${}R_{\mathfrak {p}}$ ist.

Korollar

Es sei ${}R$ ein kommutativer noetherscher Ring und sei ${}M$ ein endlich erzeugter ${}R$- Modul. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.

1. ${}M$ ist invertierbar.
2. Die Lokalisierungen ${}M_{\mathfrak {m}}$ sind frei vom Rang für jedes maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ von ${}R$.
3. Es gibt Elemente  ${}f_{1},\ldots ,f_{k}\in R$,  die das Einheitsideal erzeugen derart, dass die Nenneraufnahmen ${}M_{f_{j}}$ für jedes  ${}j=1,\ldots ,k$  frei vom Rang ${}1$ sind.

Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Satz 27.6.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und sei ${}L$ ein endlich erzeugter invertierbarer ${}R$- Modul.

Dann lässt sich ${}L$ realisieren als ein ${}R$- Untermodul des Quotientenkörpers ${}Q(R)$.

Beweis

Wir gehen von Korollar 27.11  (3) aus, es sei  ${}f_{i}\neq 0$  ein Element derart, dass

${}L_{f_{j}}\cong R_{f_{j}}\,$

ist, wobei wir einen solchen ${}R_{f_{i}}$-Modulhomomorphismus fixieren. Es ergibt sich dann die Verkettung von ${}R$-Modulhomomorphismen

$L\longrightarrow L_{f_{i}}{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}R_{f_{i}}\longrightarrow Q(R_{f_{i}})=Q(R).$

Die erste Abbildung ist injektiv aufgrund von Lemma 27.7 und Lemma 26.6  (3)

$\Box$

Ein endlich erzeugter invertierbarer Modul ist also isomorph zu einem (gebrochenen) Ideal.

<< | Kurs:Kommutative Algebra/Teil I | >> PDF-Version dieser Vorlesung Arbeitsblatt zur Vorlesung (PDF)