Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesung 27

Lemma

Es sei ${}R$ ein noetherscher Integritätsbereich.

Dann ist

${}R=\bigcap _{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}\,,$

wobei der Durchschnitt über alle Primideale läuft, die zu einem Restklassenring ${}R/(h)$ mit ${}h\in R$, ${}h\neq 0$, assoziiert sind.

Beweis

Der Durchschnitt wird im Quotientenkörper genommen, die Inklusion ${}\subseteq$ ist klar. Sei ${}f\in Q(R)$ gegeben, wir schreiben

${}f=g/h\,.$

Es sei ${}g/h\notin R$, was wiederum ${}g\notin hR$ bedeutet. Dann ist die Restklasse ${}[g]$ von ${}g$ in ${}R/(hR)$ nicht ${}0$. Wir betrachten den von ${}0$ verschiedenen Untermodul

${}(Rg+Rh)/Rh\subseteq R/Rh\,.$

Es sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein dazu assoziiertes Primideal, das das Annullatorideal zu ${}[g]$ umfasse, was es nach Lemma 26.2 gibt. Wäre ${}g\in hR_{\mathfrak {p}}$, so wäre

${}gs=hr\,$

mit ${}s\notin {\mathfrak {p}}$, doch dann wäre ${}r$ ein Annullator von ${}[g]$, ein Widerspruch. Also ist ${}g/h\notin R_{\mathfrak {p}}$.

$\Box$

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