Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesung 27

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Lemma  

Es sei ein noetherscher Integritätsbereich.

Dann ist

wobei der Durchschnitt über alle Primideale läuft, die zu einem Restklassenring mit , , assoziiert sind.

Beweis  

Der Durchschnitt wird im Quotientenkörper genommen, die Inklusion ist klar. Sei gegeben, wir schreiben

Es sei , was wiederum bedeutet. Dann ist die Restklasse von in nicht . Wir betrachten den von verschiedenen Untermodul

Es sei ein dazu assoziiertes Primideal, das das Annullatorideal zu umfassse, was es nach Lemma 26.2 gibt. Wäre , so wäre

mit , doch dann wäre ein Annullator von , ein Widerspruch. Also ist .



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