Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesung 9

Faktorielle Ringe

In der letzten Vorlesung haben wir gesehen, dass in einem Hauptidealbereich einerseits jedes irreduzible Element prim ist und andererseits jedes Element ein Produkt von irreduziblen Elementen und damit auch von Primelementen ist. Wir werden gleich zeigen, dass unter diesen Voraussetzung die Zerlegung in Primelemente sogar im Wesentlichen eindeutig ist. Um dies prägnant fassen zu können, dient der Begriff des faktoriellen Ringes

Definition

Ein Integritätsbereich heißt faktorieller Bereich, wenn jede Nichteinheit ${}f\neq 0$ sich als ein Produkt von Primelementen schreiben lässt.

Satz

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}R$ ist faktoriell.
2. Jede Nichteinheit ${}f\neq 0$ besitzt eine Faktorzerlegung in irreduzible Elemente, und diese Zerlegung ist bis auf Umordnung und Assoziiertheit eindeutig.
3. Jede Nichteinheit ${}f\neq 0$ besitzt eine Faktorzerlegung in irreduzible Elemente, und jedes irreduzible Element ist ein Primelement.

Beweis

${}(1)\Rightarrow (2)$. Sei ${}f\neq 0$ eine Nichteinheit. Die Faktorisierung in Primelemente ist insbesondere eine Zerlegung in irreduzible Elemente, so dass also lediglich die Eindeutigkeit zu zeigen ist. Dies geschieht durch Induktion über die minimale Anzahl der Primelemente in einer Faktorzerlegung. Wenn es eine Darstellung ${}f=p$ mit einem Primelement gibt, und ${}f=q_{1}{\cdots }q_{r}$ eine weitere Zerlegung in irreduzible Faktoren ist, so teilt ${}p$ einen der Faktoren ${}q_{i}$ und nach Kürzen durch ${}p$ erhält man, dass das Produkt der übrigen Faktoren rechts eine Einheit sein muss. Das bedeutet aber, dass es keine weiteren Faktoren geben kann. Es sei nun ${}f=p_{1}{\cdots }p_{s}$ und diese Aussage sei für Elemente mit kleineren Faktorisierungen in Primelemente bereits bewiesen. Es sei

${}f=p_{1}{\cdots }p_{s}=q_{1}{\cdots }q_{r}\,$

eine weitere Zerlegung mit irreduziblen Elementen. Dann teilt wieder ${}p_{1}$ einen der Faktoren rechts, sagen wir ${}p_{1}u=q_{1}$. Dann muss ${}u$ eine Einheit sein und wir können durch ${}p_{1}$ kürzen, wobei wir ${}u^{-1}$ mit ${}q_{2}$ verarbeiten können, was ein zu ${}q_{2}$ assoziiertes Element ergibt. Das gekürzte Element ${}p_{2}\cdots p_{s}$ hat eine Faktorzerlegung mit ${}s-1$ Primelementen, so dass wir die Induktionsvoraussetzung anwenden können.
${}(2)\Rightarrow (3)$. Wir müssen zeigen, dass ein irreduzibles Element auch prim ist. Es sei also ${}q$ irreduzibel und es teile das Produkt ${}fg$, sagen wir

${}qh=fg\,.$

Für ${}h,\,f$ und ${}g$ gibt es Faktorzerlegungen in irreduzible Elemente, so dass sich insgesamt die Gleichung

${}qh_{1}{\cdots }h_{r}=f_{1}{\cdots }f_{s}g_{1}{\cdots }g_{t}\,$

ergibt. Es liegen also zwei Zerlegungen in irreduzible Element vor, die nach Voraussetzung im Wesentlichen übereinstimmen müssen. D.h. insbesondere, dass es auf der rechten Seite einen Faktor gibt, sagen wir ${}f_{1}$, der assoziiert zu ${}q$ ist. Dann teilt ${}q$ auch den ursprünglichen Faktor ${}f$.
${}(3)\Rightarrow (1)$. Das ist trivial.

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Satz

Ein Hauptidealbereich

ist ein faktorieller Ring.

Beweis

Dies folgt sofort aus Fakt *****, Fakt ***** und Fakt *****.

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Korollar

Es sei ${}R$ ein faktorieller Ring und seien ${}a$ und ${}b$ zwei Elemente ${}\neq 0$ mit Primfaktorzerlegungen

$a=u\cdot p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}{\text{ und }}b=v\cdot p_{1}^{s_{1}}\cdot p_{2}^{s_{2}}\cdots p_{k}^{s_{k}}$

(wobei die ${}u,v$ Einheiten sind und die Exponenten auch ${}0$ sein können). Dann gilt ${}a{|}b$ genau dann, wenn ${}r_{i}\leq s_{i}$ für alle Exponenten ${}i=1,\ldots ,k$ ist.

Beweis

Wenn die Exponentenbedingung erfüllt ist, so ist ${}s_{i}-r_{i}\geq 0$ und man kann

${}b=a{\left(vu^{-1}p_{1}^{s_{1}-r_{1}}\cdots p_{k}^{s_{k}-r_{k}}\right)}\,$

schreiben, was die Teilbarkeit bedeutet. Die Umkehrung folgt aus der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung in einem faktoriellen Ring.

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Lemma

Es sei ${}R$ ein noetherscher Integritätsbereich und ${}p\in R$ ein Primelement. Es sei ${}R_{p}$ faktoriell und ${}g\in R$ ein Element, das aufgefasst in ${}R_{p}$ prim ist.

Dann gilt ${}g=hp^{r}$ in ${}R$ mit einer Einheit oder einem Primelement ${}h$.

Beweis

Wir schreiben ${}g=hp^{r}$ mit dem maximal möglichen Exponenten ${}r$, den es nach Fakt ***** gibt, und behaupten, dass ${}h$ ein Primelement oder eine Einheit ist. Wir betrachten die Situation, wo ${}h$ keine Einheit ist, und müssen ${}h$ als Primelement nachweisen. Es teile ${}h$ ein Produkt, sagen wir

${}hc=ab\,.$

Daraus ergibt sich in ${}R_{p}$, da ${}h$ wie ${}g$ prim in ${}R_{p}$ ist, dass ${}h$ einen der Faktoren in ${}R_{p}$ teilt. Es gibt also ein ${}d\in R$ mit

${}h{\frac {d}{p^{s}}}=a\,,$

also

${}hd=ap^{s}\,$

in ${}R$. Bei ${}s=0$ ist man fertig. Andernfalls teilt ${}p$, da es ${}h$ wegen der Maximalität des Exponenten nicht teilt, den anderen Faktor ${}d$ und so erhält man

${}h{\frac {d}{p}}=ap^{s-1}\,$

in ${}R$. Induktive Anwendung dieses Arguments liefert das Resultat.

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Lemma

Es sei ${}R$ ein noetherscher Integritätsbereich und ${}p\in R$ ein Primelement. Es sei ${}R_{p}$ faktoriell.

Dann ist ${}R$ selbst faktoriell.

Beweis

Sei ${}f\in R$ eine von ${}0$ verschiedene Nichteinheit von ${}R$. In ${}R_{p}$ gilt

${}f={\frac {g_{1}}{p^{n_{1}}}}\cdots {\frac {g_{s}}{p^{n_{s}}}}\,$

mit ${}g_{i}$, die in ${}R_{p}$ prim sind (ein Faktor kann eine Einheit sein). In ${}R$ gilt somit

${}p^{n}f=g_{1}\cdots g_{s}\,.$

Nach Fakt ***** ist

${}g_{i}=h_{i}p^{r_{i}}\,$

mit Primelementen oder Einheiten ${}h_{i}$. Somit ist

${}p^{n}f=p^{r+r_{1}+\cdots +r_{s}}h_{1}\cdots h_{s}\,.$

Da ${}p$ kein Teiler der ${}h_{i}$ ist, kann man ${}p^{n}$ vollständig wegkürzen und erhält eine Zerlegung von ${}f$ in Primfaktoren.

$\Box$

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