Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesung 9

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Faktorielle Ringe

In der letzten Vorlesung haben wir gesehen, dass in einem Hauptidealbereich einerseits jedes irreduzible Element prim ist und andererseits jedes Element ein Produkt von irreduziblen Elementen und damit auch von Primelementen ist. Wir werden gleich zeigen, dass unter diesen Voraussetzung die Zerlegung in Primelemente sogar im Wesentlichen eindeutig ist. Um dies prägnant fassen zu können, dient der Begriff des faktoriellen Ringes


Definition  

Ein Integritätsbereich heißt faktorieller Bereich, wenn jede Nichteinheit sich als ein Produkt von Primelementen schreiben lässt.



Satz  

Sei ein Integritätsbereich. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist faktoriell.
  2. Jede Nichteinheit besitzt eine Faktorzerlegung in irreduzible Elemente, und diese Zerlegung ist bis auf Umordnung und Assoziiertheit eindeutig.
  3. Jede Nichteinheit besitzt eine Faktorzerlegung in irreduzible Elemente, und jedes irreduzible Element ist ein Primelement.

Beweis  

. Sei eine Nichteinheit. Die Faktorisierung in Primelemente ist insbesondere eine Zerlegung in irreduzible Elemente, so dass also lediglich die Eindeutigkeit zu zeigen ist. Dies geschieht durch Induktion über die minimale Anzahl der Primelemente in einer Faktorzerlegung. Wenn es eine Darstellung mit einem Primelement gibt, und eine weitere Zerlegung in irreduzible Faktoren ist, so teilt einen der Faktoren und nach Kürzen durch erhält man, dass das Produkt der übrigen Faktoren rechts eine Einheit sein muss. Das bedeutet aber, dass es keine weiteren Faktoren geben kann. Sei nun und diese Aussage sei für Elemente mit kleineren Faktorisierungen in Primelemente bereits bewiesen. Es sei

eine weitere Zerlegung mit irreduziblen Elementen. Dann teilt wieder einen der Faktoren rechts, sagen wir . Dann muss eine Einheit sein und wir können durch kürzen, wobei wir mit verarbeiten können, was ein zu assoziiertes Element ergibt. Das gekürzte Element hat eine Faktorzerlegung mit Primelementen, so dass wir die Induktionsvoraussetzung anwenden können.
. Wir müssen zeigen, dass ein irreduzibles Element auch prim ist. Sei also irreduzibel und es teile das Produkt , sagen wir

Für und gibt es Faktorzerlegungen in irreduzible Elemente, so dass sich insgesamt die Gleichung

ergibt. Es liegen also zwei Zerlegungen in irreduzible Element vor, die nach Voraussetzung im Wesentlichen übereinstimmen müssen. D.h. insbesondere, dass es auf der rechten Seite einen Faktor gibt, sagen wir , der assoziiert zu ist. Dann teilt auch den ursprünglichen Faktor .
. Das ist trivial.




Satz  

Beweis  

Dies folgt sofort aus Fakt *****, Fakt ***** und Fakt *****.




Korollar  

Sei ein faktorieller Ring und seien und zwei Elemente mit Primfaktorzerlegungen

(wobei die Einheiten sind und die Exponenten auch sein können). Dann gilt genau dann, wenn für alle Exponenten ist.

Beweis  

Wenn die Exponentenbedingung erfüllt ist, so ist und man kann

schreiben, was die Teilbarkeit bedeutet. Die Umkehrung folgt aus der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung in einem faktoriellen Ring.





Lemma  

Es sei ein noetherscher Integritätsbereich und ein Primelement. Es sei faktoriell und ein Element, das aufgefasst in prim ist.

Dann gilt in mit einer Einheit oder einem Primelement .

Beweis  

Wir schreiben mit dem maximal möglichen Exponenten , den es nach Fakt ***** gibt, und behaupten, dass ein Primelement oder eine Einheit ist. Wir betrachten die Situation, wo keine Einheit ist, und müssen als Primelement nachweisen. Es teile ein Produkt, sagen wir

Daraus ergibt sich in , da wie prim in ist, dass einen der Faktoren in teilt. Es gibt also ein mit

also

in . Bei ist man fertig. Andernfalls teilt , da es wegen der Maximalität des Exponenten nicht teilt, den anderen Faktor und so erhält man

in . Induktive Anwendung dieses Arguments liefert das Resultat.




Lemma  

Es sei ein noetherscher Integritätsbereich und ein Primelement. Es sei faktoriell.

Dann ist selbst faktoriell.

Beweis  

Sei eine von verschiedene Nichteinheit von . In gilt

mit , die in prim sind (ein Faktor kann eine Einheit sein). In gilt somit

Nach Fakt ***** ist

mit Primelementen oder Einheiten . Somit ist

Da kein Teiler der ist, kann man vollständig wegkürzen und erhält eine Zerlegung von in Primfaktoren.



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Arbeitsblatt zur Vorlesung (PDF)