Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesung 8

Produktringe

Um die Restklassenringe von $ℤ$ besser verstehen zu können, insbesondere dann, wenn man $n$ als Produkt von kleineren Zahlen schreiben kann - z.B., wenn die Primfaktorzerlegung bekannt ist -, braucht man den Begriff des Produktringes.

Definition

Es seien $R_{1}, \dots, R_{n}$ kommutative Ringe. Dann heißt das Produkt

R_{1} \times \dots \times R_{n},

versehen mit komponentenweiser Addition und Multiplikation, der Produktring der $R_{i}$ , $i = 1, \dots, n$ .

Eng verwandt mit dem Begriff des Produktringes ist das Konzept der idempotenten Elemente.

Definition

Ein Element $e$ eines kommutativen Ringes heißt idempotent, wenn $e^{2} = e$ gilt.

Die Elemente $0$ und $1$ sind trivialerweise idempotent, man nennt sie die trivialen idempotenten Elemente. In einem Produktring sind auch diejenigen Elemente, die in allen Komponenten nur den Wert $0$ oder $1$ besitzen, idempotent, also beispielsweise $(1, 0)$ . In einem Integritätsbereich gibt es nur die beiden trivialen idempotenten Elemente: Ein idempotentes Element $e$ besitzt die Eigenschaft

e (1 - e) = e - e^{2} = e - e = 0 .

Im nullteilerfreien Fall folgt daraus $e = 1$ oder $e = 0$ .

Lemma

Es sei $R = R_{1} \times \dots \times R_{n}$ ein Produkt aus kommutativen Ringen.

Dann gilt für die Einheitengruppe von $R$ die Beziehung

$R^{\times} = R_{1}^{\times} \times \dots \times R_{n}^{\times} .$

Beweis

Dies ist klar, da ein Element genau dann eine Einheit ist, wenn es in jeder Komponente eine Einheit ist.

◻

Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und seien $𝔞, 𝔟 \subseteq R$ Ideale mit $𝔞 + 𝔟 = R$ .

Dann ist

$𝔞 \cap 𝔟 = 𝔞 𝔟 .$

Beweis

Die Inklusion $\supseteq$ gilt immer. Es sei also $x \in 𝔞 \cap 𝔟$ und seien $a \in 𝔞$ und $b \in 𝔟$ Elemente mit $a + b = 1$ . Dann ist

x = x \cdot 1 = x (a + b) = x a + x b \in 𝔟 𝔞 + 𝔞 𝔟 = 𝔞 𝔟 .

◻

Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und seien $𝔞_{j}$ , $j = 1, \dots, n$ , Ideale mit $𝔞_{i} + 𝔞_{j} = R$ für alle $i \neq j$ .

Dann ist

$R / 𝔞_{1} \dots 𝔞_{n} ≅ R / 𝔞_{1} \times \dots \times R / 𝔞_{n} .$

Beweis

Der allgemeine Fall folgt aus dem Fall für $n = 2$ , sodass wir uns darauf beschränken. Die natürliche Abbildung

R ⟶ R / 𝔞 \times R / 𝔟

hat den Durchschnitt $𝔞 \cap 𝔟$ als Kern. Dieser stimmt nach Lemma 8.4 mit dem Produkt $𝔞 \cdot 𝔟$ überein und wir erhalten einen injektiven Ringhomomorphismus

R / 𝔞 \cdot 𝔟 ⟶ R / 𝔞 \times R / 𝔟 .

Es ist also noch die Surjektivität nachzuweisen. Es sei dazu $(r, s)$ rechts gegeben. Es seien $a \in 𝔞$ und $b \in 𝔟$ mit $a + b = 1$ . Dann ist $r - a r + s - s b$ ein Urbild. Dieses Element wird ja in der ersten Komponente auf

r - a r + s - s b = r + s - s (1 - a) = r + s - s = r

abgebildet und entsprechend in der zweiten Komponente auf $s$ .

◻

Restklassenringe von Hauptidealbereichen

Satz

Es sei $R$ ein Hauptidealbereich und $p \neq 0$ ein Element. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent.

$p$ ist ein Primelement.
$R / (p)$ ist ein Integritätsbereich.
$R / (p)$ ist ein Körper.

Beweis

Die Äquivalenz (1) $\Leftrightarrow$ (2) gilt in jedem kommutativen Ring (auch für $p = 0$ ), siehe Aufgabe 7.1, und (3) impliziert natürlich (2). Es sei also (1) erfüllt und sei $a \in R / (p)$ von $0$ verschieden. Wir bezeichnen einen Repräsentanten davon in $R$ ebenfalls mit $a$ . Es ist dann $a \notin (p)$ und es ergibt sich eine echte Idealinklusion $(p) \subset (a, p)$ . Ferner können wir $(a, p) = (b)$ schreiben, da wir in einem Hauptidealring sind. Es folgt $p = c b$ . Da $c$ keine Einheit ist und $p$ prim (also nach Lemma 1.22 auch irreduzibel) ist, muss $b$ eine Einheit sein. Es ist also $(a, p) = (1)$ , und das bedeutet modulo $p$ , also in $R / (p)$ , dass $a$ eine Einheit ist. Also ist $R / (p)$ ein Körper.

◻

Korollar

Es sei $n \geq 1$ eine natürliche Zahl und $ℤ / (n)$ der zugehörige Restklassenring. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

$ℤ / (n)$ ist ein Körper.

$ℤ / (n)$ ist ein Integritätsbereich.

$n$ ist eine Primzahl.

Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Satz 8.6.

◻

Für die Restklassenringe von Hauptidealbereichen gilt der chinesische Restsatz (für beliebige faktorielle Bereiche gilt er nicht, da das Lemma von Bézout dafür im Allgemeinen nicht gilt).

Satz

Es sei $R$ ein Hauptidealbereich und $f \in R$ , $f \neq 0$ , ein Element mit kanonischer Primfaktorzerlegung

f = p_{1}^{r_{1}} \dots p_{k}^{r_{k}} .

Dann gilt für den Restklassenring $R / (f)$ die kanonische Isomorphie

$R / (f) ≅ R / (p_{1}^{r_{1}}) \times \dots \times R / (p_{k}^{r_{k}}) .$

Beweis

Wegen $p_{i}^{r_{i}} ∣ f$ gelten die Idealinklusionen $(f) \subseteq (p_{i}^{r_{i}})$ und daher gibt es kanonische Ringhomomorphismen

R / (f) ⟶ R / (p_{i}^{r_{i}}) .

Diese setzen sich zu einem Ringhomomorphismus in den Produktring zusammen, nämlich

R / (f) ⟶ R / (p_{1}^{r_{1}}) \times \dots \times R / (p_{k}^{r_{k}}), a ⟼ (a mod p_{1}^{r_{1}}, \dots, a mod p_{k}^{r_{k}}) .

Wir müssen zeigen, dass dieser bijektiv ist. Zur Injektivität sei $a \in R$ derart, dass es in jeder Komponente auf $0$ abgebildet wird. Das bedeutet $a \in (p_{i}^{r_{i}})$ für alle $i$ . D.h. $a$ ist ein Vielfaches dieser $p_{i}^{r_{i}}$ und aufgrund der Primfaktorzerlegung folgt, dass $a$ ein Vielfaches von $f$ sein muss. Also ist $\overline{a} = 0$ in $R / (f)$ .
Zur Surjektivität genügt es nach Aufgabe 8.1 zu zeigen, dass alle Elemente, die in einer Komponente den Wert $1$ und in allen anderen Komponenten den Wert $0$ haben, im Bild liegen. Es sei also $(1, 0, \dots, 0)$ vorgegeben. Wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung sind $p_{1}^{r_{1}}$ und $p_{2}^{r_{2}} \dots p_{k}^{r_{k}}$ teilerfremd. Daher gibt es nach dem Lemma von Bézout eine Darstellung der Eins, sagen wir

s p_{1}^{r_{1}} + t p_{2}^{r_{2}} \dots p_{k}^{r_{k}} = 1 .

Betrachten wir $t p_{2}^{r_{2}} \dots p_{k}^{r_{k}} = 1 - s p_{1}^{r_{1}} \in R$ . Das wird unter der Restklassenabbildung in der ersten Komponente auf $1$ und in den übrigen Komponenten auf $0$ abgebildet, wie gewünscht.

◻

Korollar

Es sei $n$ eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung

n = p_{1}^{r_{1}} \cdot p_{2}^{r_{2}} \dots p_{k}^{r_{k}}

(die $p_{i}$ seien also verschieden und $r_{i} \geq 1$ ).

Dann induzieren die kanonischen Ringhomomorphismen $ℤ / (n) \to ℤ / (p_{i}^{r_{i}})$ einen Ringisomorphismus

$ℤ / (n) ≅ ℤ / (p_{1}^{r_{1}}) \times ℤ / (p_{2}^{r_{2}}) \times \dots \times ℤ / (p_{k}^{r_{k}}) .$

Zu gegebenen ganzen Zahlen $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k})$ gibt es also genau eine natürliche Zahl $a < n$ , die die simultanen Kongruenzen

a = a_{1} mod p_{1}^{r_{1}}, a = a_{2} mod p_{2}^{r_{2}}, \dots, a = a_{k} mod p_{k}^{r_{k}}

löst.

Beweis

Da die Ringe links und rechts beide endlich sind und die gleiche Anzahl von Elementen haben, nämlich $n$ , genügt es, die Injektivität zu zeigen. Es sei $x$ eine natürliche Zahl, die im Produktring (rechts) zu $0$ wird, also modulo $p_{i}^{r_{i}}$ den Rest $0$ hat für alle $i = 1, 2, \dots, k$ . Dann ist $x$ ein Vielfaches von $p_{i}^{r_{i}}$ für alle $i = 1, 2, \dots, k$ , d.h. in der Primfaktorzerlegung von $x$ muss $p_{i}$ zumindest mit dem Exponenten $r_{i}$ vorkommen. Also muss $x$ nach Korollar 6.8 ein Vielfaches des Produktes sein, also ein Vielfaches von $n$ . Damit ist $x = 0$ in $ℤ / (n)$ und die Abbildung ist injektiv.

◻

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