Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesung 8

Produktringe

Um die Restklassenringe von ${}\mathbb {Z}$ besser verstehen zu können, insbesondere dann, wenn man ${}n$ als Produkt von kleineren Zahlen schreiben kann - z.B., wenn die Primfaktorzerlegung bekannt ist -, braucht man den Begriff des Produktringes.

Definition

Es seien ${}R_{1},\ldots ,R_{n}$ kommutative Ringe. Dann heißt das Produkt

$R_{1}\times \cdots \times R_{n},$

versehen mit komponentenweiser Addition und Multiplikation, der Produktring der ${}R_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$.

Eng verwandt mit dem Begriff des Produktringes ist das Konzept der idempotenten Elemente.

Definition

Ein Element ${}e$ eines kommutativen Ringes heißt idempotent, wenn  ${}e^{2}=e$  gilt.

Die Elemente ${}0$ und ${}1$ sind trivialerweise idempotent, man nennt sie die trivialen idempotenten Elemente. In einem Produktring sind auch diejenigen Elemente, die in allen Komponenten nur den Wert ${}0$ oder ${}1$ besitzen, idempotent, also beispielsweise ${}(1,0)$. In einem Integritätsbereich gibt es nur die beiden trivialen idempotenten Elemente: Ein idempotentes Element ${}e$ besitzt die Eigenschaft

${}e(1-e)=e-e^{2}=e-e=0\,.$

Im nullteilerfreien Fall folgt daraus ${}e=1$ oder ${}e=0$.

Lemma

Es sei  ${}R=R_{1}\times \cdots \times R_{n}$  ein Produkt aus kommutativen Ringen.

Dann gilt für die Einheitengruppe von ${}R$ die Beziehung

${}R^{\times }=R_{1}^{\times }\times \cdots \times R_{n}^{\times }\,.$

Beweis

Dies ist klar, da ein Element genau dann eine Einheit ist, wenn es in jeder Komponente eine Einheit ist.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien  ${}{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq R$  Ideale mit  ${}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}=R$. 

Dann ist

${}{\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}\,.$

Beweis

Die Inklusion ${}\supseteq$ gilt immer. Es sei also  ${}x\in {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}$  und seien  ${}a\in {\mathfrak {a}}$  und  ${}b\in {\mathfrak {b}}$  Elemente mit  ${}a+b=1$.  Dann ist

${}x=x\cdot 1=x(a+b)=xa+xb\in {\mathfrak {b}}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}\,.$

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}{\mathfrak {a}}_{j}$, ${}j=1,\ldots ,n$, Ideale mit  ${}{\mathfrak {a}}_{i}+{\mathfrak {a}}_{j}=R$  für alle  ${}i\neq j$. 

Dann ist

${}R/{\mathfrak {a}}_{1}\cdots {\mathfrak {a}}_{n}\cong R/{\mathfrak {a}}_{1}\times \cdots \times R/{\mathfrak {a}}_{n}\,.$

Beweis

Der allgemeine Fall folgt aus dem Fall für  ${}n=2$,  sodass wir uns darauf beschränken. Die natürliche Abbildung

$R\longrightarrow R/{\mathfrak {a}}\times R/{\mathfrak {b}}$

hat den Durchschnitt ${}{\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}$ als Kern. Dieser stimmt nach Lemma 8.4 mit dem Produkt ${}{\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}}$ überein und wir erhalten einen injektiven Ringhomomorphismus

$R/{\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}}\longrightarrow R/{\mathfrak {a}}\times R/{\mathfrak {b}}.$

Es ist also noch die Surjektivität nachzuweisen. Es sei dazu ${}(r,s)$ rechts gegeben. Es seien  ${}a\in {\mathfrak {a}}$  und  ${}b\in {\mathfrak {b}}$  mit  ${}a+b=1$.  Dann ist ${}r-ar+s-sb$ ein Urbild. Dieses Element wird ja in der ersten Komponente auf

${}r-ar+s-sb=r+s-s(1-a)=r+s-s=r\,$

abgebildet und entsprechend in der zweiten Kompoente auf ${}s$.

$\Box$

Restklassenringe von Hauptidealbereichen

Satz

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich und  ${}p\neq 0$  ein Element. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent.

1. ${}p$ ist ein Primelement.
2. ${}R/(p)$ ist ein Integritätsbereich.
3. ${}R/(p)$ ist ein Körper.

Beweis

Die Äquivalenz (1) ${}\Leftrightarrow$ (2) gilt in jedem kommutativen Ring (auch für ${}p=0$), siehe Aufgabe 7.1, und (3) impliziert natürlich (2). Es sei also (1) erfüllt und sei  ${}a\in R/(p)$  von ${}0$ verschieden. Wir bezeichnen einen Repräsentanten davon in ${}R$ ebenfalls mit ${}a$. Es ist dann  ${}a\notin (p)$  und es ergibt sich eine echte Idealinklusion  ${}(p)\subset (a,p)$.  Ferner können wir  ${}(a,p)=(b)$  schreiben, da wir in einem Hauptidealring sind. Es folgt  ${}p=cb$.  Da ${}c$ keine Einheit ist und ${}p$ prim (also nach Lemma 1.22 auch irreduzibel) ist, muss ${}b$ eine Einheit sein. Es ist also  ${}(a,p)=(1)$,  und das bedeutet modulo ${}p$, also in ${}R/(p)$, dass ${}a$ eine Einheit ist. Also ist ${}R/(p)$ ein Körper.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}n\geq 1$ eine natürliche Zahl und ${}\mathbb {Z} /(n)$ der zugehörige Restklassenring. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}\mathbb {Z} /(n)$ ist ein Körper.
2. ${}\mathbb {Z} /(n)$ ist ein Integritätsbereich.
3. ${}n$ ist eine Primzahl.

Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Satz 8.6.

$\Box$

Für die Restklassenringe von Hauptidealbereichen gilt der chinesische Restsatz (für beliebige faktorielle Bereiche gilt er nicht, da das Lemma von Bezout dafür im Allgemeinen nicht gilt).

Satz

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich und ${}f\in R$, ${}f\neq 0$, ein Element mit kanonischer Primfaktorzerlegung

${}f=p_{1}^{r_{1}}{\cdots }p_{k}^{r_{k}}\,.$

Dann gilt für den Restklassenring ${}R/(f)$ die kanonische Isomorphie

${}R/(f)\cong R/(p_{1}^{r_{1}})\times \cdots \times R/(p_{k}^{r_{k}})\,.$

Beweis

Wegen ${}p_{i}^{r_{i}}{|}f$ gelten die Idealinklusionen  ${}(f)\subseteq (p_{i}^{r_{i}})$  und daher gibt es kanonische Ringhomomorphismen

$R/(f)\longrightarrow R/(p_{i}^{r_{i}}).$

Diese setzen sich zu einem Ringhomomorphismus in den Produktring zusammen, nämlich

$R/(f)\longrightarrow R/(p_{1}^{r_{1}})\times \cdots \times R/(p_{k}^{r_{k}}),\,a\longmapsto (a\mod p_{1}^{r_{1}},\ldots ,a\mod p_{k}^{r_{k}}).$

Wir müssen zeigen, dass dieser bijektiv ist. Zur Injektivität sei  ${}a\in R$  derart, dass es in jeder Komponente auf ${}0$ abgebildet wird. Das bedeutet  ${}a\in (p_{i}^{r_{i}})$  für alle ${}i$. D.h. ${}a$ ist ein Vielfaches dieser ${}p_{i}^{r_{i}}$ und aufgrund der Primfaktorzerlegung folgt, dass ${}a$ ein Vielfaches von ${}f$ sein muss. Also ist  ${}{\overline {a}}\,=0$  in ${}R/(f)$.
Zur Surjektivität genügt es nach Aufgabe 8.1 zu zeigen, dass alle Elemente, die in einer Komponente den Wert ${}1$ und in allen anderen Komponenten den Wert ${}0$ haben, im Bild liegen. Es sei also ${}(1,0,\ldots ,0)$ vorgegeben. Wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung sind ${}p_{1}^{r_{1}}$ und ${}p_{2}^{r_{2}}{\cdots }p_{k}^{r_{k}}$ teilerfremd. Daher gibt es nach dem Lemma von Bezout eine Darstellung der Eins, sagen wir

${}sp_{1}^{r_{1}}+tp_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}=1\,.$

Betrachten wir  ${}tp_{2}^{r_{2}}{\cdots }p_{k}^{r_{k}}=1-sp_{1}^{r_{1}}\in R$.  Das wird unter der Restklassenabbildung in der ersten Komponente auf ${}1$ und in den übrigen Komponenten auf ${}0$ abgebildet, wie gewünscht.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}n$ eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung

${}n=p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{2}^{r_{2}}{\cdots }p_{k}^{r_{k}}\,$

(die ${}p_{i}$ seien also verschieden und ${}r_{i}\geq 1$).

Dann induzieren die kanonischen Ringhomomorphismen ${}\mathbb {Z} /(n)\rightarrow \mathbb {Z} /(p_{i}^{r_{i}})$ einen Ringisomorphismus

${}\mathbb {Z} /(n)\cong \mathbb {Z} /(p_{1}^{r_{1}})\times \mathbb {Z} /(p_{2}^{r_{2}})\times \cdots \times \mathbb {Z} /(p_{k}^{r_{k}})\,.$

Zu gegebenen ganzen Zahlen ${}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k})$ gibt es also genau eine natürliche Zahl  ${}a<n$,  die die simultanen Kongruenzen

$a=a_{1}\mod p_{1}^{r_{1}},\,\,a=a_{2}\mod p_{2}^{r_{2}},\,\ldots ,\,\,a=a_{k}\mod p_{k}^{r_{k}}$

löst.

Beweis

Da die Ringe links und rechts beide endlich sind und die gleiche Anzahl von Elementen haben, nämlich ${}n$, genügt es, die Injektivität zu zeigen. Es sei ${}x$ eine natürliche Zahl, die im Produktring (rechts) zu ${}0$ wird, also modulo ${}p_{i}^{r_{i}}$ den Rest ${}0$ hat für alle  ${}i=1,2,\ldots ,k$.  Dann ist ${}x$ ein Vielfaches von ${}p_{i}^{r_{i}}$ für alle  ${}i=1,2,\ldots ,k$,  d.h. in der Primfaktorzerlegung von ${}x$ muss ${}p_{i}$ zumindest mit dem Exponenten ${}r_{i}$ vorkommen. Also muss ${}x$ nach Korollar 6.8 ein Vielfaches des Produktes sein, also ein Vielfaches von ${}n$. Damit ist  ${}x=0$  in ${}\mathbb {Z} /(n)$ und die Abbildung ist injektiv.

$\Box$

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