Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesung 8

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Produktringe

Um die Restklassenringe von besser verstehen zu können, insbesondere dann, wenn man als Produkt von kleineren Zahlen schreiben kann - z.B., wenn die Primfaktorzerlegung bekannt ist -, braucht man den Begriff des Produktringes.


Definition  

Seien kommutative Ringe. Dann heißt das Produkt

versehen mit komponentenweiser Addition und Multiplikation, der Produktring der , .

Eng verwandt mit dem Begriff des Produktringes ist das Konzept der idempotenten Elemente.


Definition  

Ein Element eines kommutativen Ringes heißt idempotent, wenn gilt.

Die Elemente und sind trivialerweise idempotent, man nennt sie die trivialen idempotenten Elemente. In einem Produktring sind auch diejenigen Elemente, die in allen Komponenten nur den Wert oder besitzen, idempotent, also beispielsweise . In einem Integritätsbereich gibt es nur die beiden trivialen idempotenten Elemente: Ein idempotentes Element besitzt die Eigenschaft

Im nullteilerfreien Fall folgt daraus oder .



Lemma  

Es sei ein Produkt aus kommutativen Ringen.

Dann gilt für die Einheitengruppe von die Beziehung

Beweis  

Dies ist klar, da ein Element genau dann eine Einheit ist, wenn es in jeder Komponente eine Einheit ist.




Restklassenringe von Hauptidealbereichen

Für die Restklassenringe von Hauptidealbereichen gilt der chinesische Restsatz (für beliebige faktorielle Bereiche gilt er nicht, da das Lemma von Bezout dafür im Allgemeinen nicht gilt).



Satz  

Es sei ein Hauptidealbereich und , , ein Element mit kanonischer Primfaktorzerlegung

Dann gilt für den Restklassenring die kanonische Isomorphie

Beweis  

Wegen gelten die Idealinklusionen und daher gibt es kanonische Ringhomomorphismen

Diese setzen sich zu einem Ringhomomorphismus in den Produktring zusammen, nämlich

Wir müssen zeigen, dass dieser bijektiv ist. Zur Injektivität sei derart, dass es in jeder Komponente auf abgebildet wird. Das bedeutet für alle . D.h. ist ein Vielfaches dieser und aufgrund der Primfaktorzerlegung folgt, dass ein Vielfaches von sein muss. Also ist in .
Zur Surjektivität genügt es zu zeigen, dass alle Elemente, die in einer Komponente den Wert und in allen anderen Komponenten den Wert haben, im Bild liegen. Sei also vorgegeben. Wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung sind und teilerfremd. Daher gibt es nach dem Lemma von Bezout eine Darstellung der Eins, sagen wir

Betrachten wir . Das wird unter der Restklassenabbildung in der ersten Komponente auf und in den übrigen Komponenten auf abgebildet, wie gewünscht.



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