Kurs:Lineare Algebra/Teil I/100/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	4	1	3	1	7	9	0	4	0	3	3	4	8	4	4	0	55

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass ${}{\sqrt {2}}$ eine irrationale Zahl ist.

Aufgabe * (1 Punkt)

Wie viele Tage im Jahr gibt es mit der Eigenschaft, dass in ihrem Datum (Tag und Monat) nur eine Ziffer vorkommt (wie ${}1.1$ oder ${}5.5$ oder ${}11.11$)?

Aufgabe (3 Punkte)

Man bringe das Konzept eines inversen Elementes in einer Gruppe mit der Reversibilität von Prozessen in Verbindung.

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme

${\left({\left({\left({\left({\left({\frac {3}{7}}\right)}^{-1}\right)}^{-1}\right)}^{-1}\right)}^{-1}\right)}^{-1}.$

Aufgabe * (7 (1+1+2+3) Punkte)

Es sei ein quadratischer Billardtisch ohne Löcher mit einer Seitenlänge von einem Meter gegeben, darauf bewegt sich eine punktförmige Kugel ohne Bremswirkung nach dem Reflexionsprinzip „Einfallswinkel ist gleich Ausfallswinkel“.

1. Beschreibe durch eine Skizze (inklusive Winkel oder Punktkoordinaten) eine periodische Bewegung, bei der zwei Randpunkte getroffen werden.
2. Beschreibe durch eine Skizze (inklusive Winkel oder Punktkoordinaten) eine periodische Bewegung, bei der vier Randpunkte getroffen werden.
3. Beschreibe durch eine Skizze (inklusive Winkel oder Punktkoordinaten) eine periodische Bewegung, bei der acht Randpunkte getroffen werden.
4. Zeige, dass es keine periodische Bewegung gibt, bei der drei Randpunkte getroffen werden.

Aufgabe * (9 (1+2+3+3) Punkte)

Es sei ein quadratischer Billardtisch ohne Löcher mit einer Seitenlänge von einem Meter gegeben, darauf bewegt sich eine punktförmige Kugel ohne Bremswirkung nach dem Reflexionsprinzip „Einfallswinkel ist gleich Ausfallswinkel“.

1. Beschreibe durch eine Skizze (inklusive Winkel oder Punktkoordinaten) eine periodische Bewegung, bei der zwei Randpunkte getroffen werden.
2. Beschreibe durch eine Skizze (inklusive Winkel oder Punktkoordinaten) eine periodische Bewegung, bei der sechs Randpunkte getroffen werden.
3. Zeige, dass es bei einer solchen Bewegung nur (höchstens) zwei nichtparallele Bewegungsrichtungen gibt.
4. Zeige, dass es keine periodische Bewegung gibt, bei der eine ungerade Anzahl von Randpunkten getroffen wird.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei  ${}P\in \mathbb {R} [X]$  ein normiertes reelles Polynom, das in (reelle) Linearfaktoren zerfalle. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

a) Alle Nullstellen von ${}P$ sind negativ.

b) Alle Koeffizienten von ${}P$ sind positiv.

c) Auf ${}\mathbb {R} _{\geq 0}$ nimmt ${}f$ nur positive Werte an.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 (2+1) Punkte)

Es sei  ${}d\in \mathbb {N}$. 

a) Finde ein reelles Polynom  ${}P\in \mathbb {R} [X]$  vom Grad ${}\leq d$, das die Bedingungen

${}P(i)=0\,$

für  ${}-d\leq i\leq -1$  und

${}P(0)=1\,$

erfüllt.

b) Bringe das Polynom ${}P$ mit einem Binomialkoeffizienten in Zusammenhang.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei  ${}\zeta \neq 1$  eine ${}n$-te Einheitswurzel in einem Körper ${}K$. Zeige

${}\zeta ^{n-1}+\zeta ^{n-2}+\cdots +\zeta +1=0\,.$

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Es sei  ${}m\in \mathbb {N} _{+}$.  Wir betrachten das Polynom

${}P_{m}(X)={\frac {(X+1)(X+2)\cdots (X+m-1)}{(m-1)!}}\,.$

a) Zeige

${}P_{m}(-X-m)=(-1)^{m-1}P_{m}(X)\,.$

b) Es sei  ${}d\in \mathbb {N} _{+}$,  wir setzen (${}m$ ist nach wie vor fixiert)

${}Q_{d}(X)=P_{m}(X)-P_{m}(X-d)\,.$

Zeige

${}Q_{d}(-X-m+d)=(-1)^{m-2}Q_{d}(X)\,.$

Aufgabe * (8 (1+1+1+5) Punkte)

Wir betrachten die reelle „Telefonmatrix“

${}M={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}\,.$

1. Bestimme die Determinante von ${}M$.
2. Bestimme das charakteristische Polynom von ${}M$.
3. Bestimme die Eigenwerte von ${}M$.
4. Bestimme die Eigenräume von ${}M$.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die komplexen Zahlen ${}z$, für die die Matrix

${\begin{pmatrix}z&2&2z+1\\3&1&4\\z&5&z\end{pmatrix}}$

nicht invertierbar ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume für die Matrix

${\begin{pmatrix}-1&-1\\1&0\end{pmatrix}}$

über ${}{\mathbb {C} }$

Aufgabe (0 Punkte)