Kurs:Lineare Algebra/Teil I/14/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 1 }
\renewcommand{\avier}{ 4 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 6 }
\renewcommand{\asieben}{ 5 }
\renewcommand{\aacht}{ 2 }
\renewcommand{\aneun}{ 5 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 8 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 2 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 9 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 1 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesiebzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {inverses Element} {} zu einem Element
\mathl{x \in M}{} bezüglich einer
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
\maabbeledisp {\circ} {M \times M} {M
} {(x,y)} {x \circ y
} {,}
mit einem
\definitionsverweis {neutralen Element}{}{}
\mathl{e \in M}{.}
}{\stichwort {Äquivalente} {} \zusatzklammer {inhomogene} {} {} \definitionsverweis {lineare Gleichungssysteme}{}{} zur gleichen Variablenmenge über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$.
}{Die \stichwort {transponierte Matrix} {} zu einer
\mathl{m \times n}{-}Matrix $M=(a_{ij})_{1 \leq i \leq m,\, 1 \leq j \leq n}$.
}{Der $i$-te \stichwort {Standardvektor} {} im $K^n$.
}{Das \stichwort {Bidual} {} zu einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.
}{Der \stichwort {Fixraum} {} zu einem \definitionsverweis {Endomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Zu
\mathl{x \in M}{} heißt
\mathl{y \in M}{} inverses Element, wenn die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x \circ y
}
{ =} { e
}
{ =} {y \circ x
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Zwei
\zusatzklammer {inhomogene} {} {} \definitionsverweis {lineare Gleichungssysteme}{}{}
heißen äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen übereinstimmen.
}{Man nennt die Matrix
\mathdisp {{ M^{ \text{tr} } } =(b_{ij})_{ij} \text{ mit } b_{ij} := a_{ji}} { }
die transponierte Matrix zu $M$.
}{Der Vektor
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ e_i
}
{ \defeq} { \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots\\ 0\\1\\ 0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die $1$ an der $i$-ten Stelle steht, heißt $i$-ter Standardvektor.
}{Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Dann nennt man den
\definitionsverweis {Dualraum}{}{}
des Dualraums ${ V }^{ * }$, also
\mathdisp {{ ({ V }^{ * }) }^{ * }} { }
das Bidual von $V$.
}{Unter dem
Fixraum
zu $\varphi$ versteht man den
\definitionsverweis {Eigenraum}{}{}
zum
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
$1$.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Das \stichwort {Superpositionsprinzip} {} für ein inhomogenes \zusatzklammer {und das zugehörige homogene} {} {} Gleichungssystem über einem Körper $K$.}{Der \stichwort {Satz über die Interpolation durch Polynome} {.}}{Der Festlegungssatz für affine Abbildungen.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei $K$ ein Körper und
\mathdisp {\begin{matrix} a _{ 1 1 } x _1 + a _{ 1 2 } x _2 + \cdots + a _{ 1 n } x _{ n } & = & c_1 \\ a _{ 2 1 } x _1 + a _{ 2 2 } x _2 + \cdots + a _{ 2 n } x _{ n } & = & c_2 \\
\vdots & \vdots & \vdots \\ a _{ m 1 } x _1 + a _{ m 2 } x _2 + \cdots + a _{ m n } x _{ n } & = & c_m \end{matrix}} { }
ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über $K$ und es sei
\mathdisp {\begin{matrix} a _{ 1 1 } x _1 + a _{ 1 2 } x _2 + \cdots + a _{ 1 n } x _{ n } & = & 0 \\ a _{ 2 1 } x _1 + a _{ 2 2 } x _2 + \cdots + a _{ 2 n } x _{ n } & = & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a _{ m 1 } x _1 + a _{ m 2 } x _2 + \cdots + a _{ m n } x _{ n } & = & 0 \end{matrix}} { }
das zugehörige homogene Gleichungssystem. Wenn
\mathl{{ \left( y_1 , \ldots, y_n \right) }}{} eine Lösung des inhomogenen Systems und
\mathl{{ \left( z_1 , \ldots, z_n \right) }}{} eine Lösung des homogenen Systems ist, so ist
\mathl{{ \left( y_1+z_1 , \ldots, y_n+z_n \right) }}{} eine Lösung des inhomogenen Systems.}{Es sei $K$ ein Körper und es seien $n$ verschiedene Elemente
\mathl{a_1 , \ldots , a_n \in K}{} und $n$ Elemente
\mathl{b_1 , \ldots , b_n \in K}{} gegeben. Dann gibt es ein Polynom
\mathl{P \in K[X]}{} vom Grad
\mathl{\leq n-1}{} derart, dass
\mathl{P(a_i)= b_i}{} für alle $i$ ist.}{Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und seien
\mathkor {} {E} {und} {F} {}
\definitionsverweis {affine Räume}{}{}
über den
\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{}
\mathbed {V} {bzw.}
{W} {}
{} {} {} {.}
Es sei
\mathbed {P_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {affine Basis}{}{}
von $E$ und
\mathbed {Q_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine Familie von Punkten in $F$. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte
\definitionsverweis {affin-lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\psi} {E} {F
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\psi(P_i)
}
{ =} {Q_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{i \in I}{.}}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{
Wir betrachten den Satz \anfuehrung{Lucy Sonnenschein tanzt auf allen Hochzeiten}{.} Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.
}
{
Es gibt eine Hochzeit, auf der Lucy Sonnenschein nicht tanzt.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {endlicher Körper}{}{}
mit $q$ Elementen und sei $V$ ein
$n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\mathl{v_1,v_2,v_3, \ldots}{} eine Aufzählung
\zusatzklammer {ohne Wiederholung} {} {}
der Elemente aus $V$. Nach wie vielen Elementen kann man sich sicher sein, dass diese ein
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
von $V$ sind?
}
{
Wegen der Isomorphie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ \cong} {K^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besitzt $V$ genau $q^n$ Elemente. Der \anfuehrung{schlechteste}{} Fall ist, dass die Elemente
\mathl{v_1,v_2, \ldots}{} zuerst alle Elemente eines $n-1$-dimensionalen
\definitionsverweis {Untervektorraumes}{}{}
durchlaufen. Ein solcher hat $q^{n-1}$ Elemente. Da es in der Tat möglich ist, dass die ersten
\mathl{q^{n-1}}{} Elemente in einem echten Untervektorraum liegen, muss man einen Schritt weiter gehen. Die ersten
\mathl{q^{n-1} +1}{-}te Elemente können allerdings nicht mehr in einem niedrigerdimensionalen Untervektorraum liegen, sondern erzeugen den vollen Raum.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Es sei $B$ eine
$n \times p$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
und $A$ eine $m\times n$-Matrix und es seien
\mathdisp {K^p \stackrel{B}{\longrightarrow} K^n \stackrel{A}{\longrightarrow} K^m} { }
die zugehörigen
\definitionsverweis {linearen Abbildungen}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {Matrixprodukt}{}{}
\mathl{A \circ B}{} die Hintereinanderschaltung der beiden linearen Abbildungen beschreibt.
}
{
Die Gleichheit von linearen Abbildungen kann man auf der
\definitionsverweis {Standardbasis}{}{}
\mathl{e_1 , \ldots , e_p}{} des $K^p$ nachweisen. Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( A \circ B \right) } { \left( e_k \right) }
}
{ =} { A(B(e_k))
}
{ =} {A { \left( \sum_{ j = 1 }^{ n } b_{jk} e_j \right) }
}
{ =} { \sum_{ j = 1 }^{ n } b_{jk} { \left( \sum_{ i = 1 }^{ m } a_{ij} e_i \right) }
}
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ m } { \left( \sum_{ j = 1 }^{ n } a_{ij} b_{jk} \right) } e_i
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ m } c_{ik} e_i
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Dabei sind die Koeffizienten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c_{ik}
}
{ =} { \sum_{ j = 1 }^{ n } a_{ij} b_{jk}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gerade die Einträge in der
\definitionsverweis {Produktmatrix}{}{}
\mathl{A \circ B}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\g & h & i \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {invertierbare Matrix}{}{.}
Zeige durch zwei
\definitionsverweis {Matrizenmultiplikationen}{}{,}
dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{-1}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \det M } } \begin{pmatrix} ei - fh & ch - bi & bf - ce \\ fg - di & ai - cg & cd - af \\dh - eg & bg - ah & ae - bd \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{
Es ist
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\g & h & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ei - fh & ch - bi & bf - ce \\ fg - di & ai - cg & cd - af \\dh - eg & bg - ah & ae - bd \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} a( ei - fh) +b(fg-di) +c(dh-eg) & a( ch - bi) +b(ai-cg ) +c(bg-ah) & a( bf - ce ) +b(cd-af) +c(ae - bd) \\ d( ei - fh ) +e( fg-di ) +f( dh-eg ) & d( ch - bi ) +e( ai - cg ) +f(bg - ah ) & d( bf - ce) +e(cd - af ) +f( ae - bd ) \\ g( ei - fh ) +h( fg-di ) +i( dh-eg ) & g( ch - bi ) +h( ai - cg ) +i( bg - ah ) & g( bf - ce ) +h( cd - af ) +i( ae - bd) \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} a ei - afh +bfg-bdi +cdh-ceg & a ch -a bi +bai-bcg +cbg-cah & a bf - ace +b cd-baf +c ae -c bd \\ d ei - dfh +e fg-edi +f dh-feg & d ch - dbi +e ai -e cg +fbg - fah & d bf -d ce +ecd -e af +f ae -f bd \\ g ei - gfh +h fg-hdi +i dh-ieg & g ch - gbi +h ai -hcg +i bg -i ah & g bf -g ce +h cd - haf +i ae - ibd \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} a ei - afh +bfg-bdi +cdh-ceg & 0 & 0 \\ 0 & d ch - dbi +e ai -e cg +fbg - fah & 0 \\ 0 & 0 & g bf -g ce +h cd - haf +i ae - ibd \end{pmatrix}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
In der Diagonalen steht immer der gleiche Eintrag, nämlich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a ei - afh +bfg-bdi +cdh-ceg
}
{ =} {a (ei - fh) -b(di-fg) +c(dh-eg)
}
{ =} { \det M
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Mit dem Vorfaktor
\mathl{{ \frac{ 1 }{ \det M } }}{} ergibt sich also bei Multiplikation die Einheitsmatrix.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5 (1+1+1+1+1)}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ v }
}
{ = }{ v_1,v_2,v_3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
eines dreidimensionalen
$K$-\definitionsverweis {Vektorraumes}{}{}
$V$.
a) Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ w }
}
{ = }{ v_1,v_1+v_2,v_2+v_3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ebenfalls eine Basis von $V$ ist.
b) Bestimme die
\definitionsverweis {Übergangsmatrix}{}{}
\mathl{M^{ \mathfrak{ w } }_{ \mathfrak{ v } }}{.}
c) Bestimme die Übergangsmatrix
\mathl{M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }}{.}
d) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis $\mathfrak{ v }$ für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis $\mathfrak{ w }$ die Koordinaten
\mathl{\begin{pmatrix} 4 \\8\\ -9 \end{pmatrix}}{} besitzt.
e) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis $\mathfrak{ w }$ für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis $\mathfrak{ v }$ die Koordinaten
\mathl{\begin{pmatrix} 3 \\-7\\ 5 \end{pmatrix}}{} besitzt.
}
{
a) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v_2
}
{ =} {w_2-w_1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v_3
}
{ =} {w_3-w_2+w_1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist $w_1,w_2,w_3$ ebenfalls ein Erzeugendensystem von $V$ und somit eine Basis, da die Dimension $3$ ist.
b) In den Spalten von
\mathl{M^{ \mathfrak{ w } }_{ \mathfrak{ v } }}{} müssen die Koordinaten der Vektoren $w_j$ bezüglich der Basis $v_i$ stehen, also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ w } }_{ \mathfrak{ v } }
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
c) Nach a) ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
d) Die Koordinaten ergeben sich aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ w } }_{ \mathfrak{ v } } \begin{pmatrix} 4 \\8\\ -9 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 \\8\\ -9 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 12 \\-1\\ -9 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
e) Die Koordinaten ergeben sich aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } \begin{pmatrix} 3 \\-7\\ 5 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\-7\\ 5 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 15 \\-12\\ 5 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Es sei $V$ ein
$100$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und seien
\mathl{U,W \subseteq V}{} zwei verschiedene $99$-dimensionale
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
von $V$. Welche Dimension hat
\mathl{U + W}{} und welche Dimension hat
\mathl{U \cap W}{?}
}
{
Da die beiden Räume verschieden sind, ist in
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq} { U + W
}
{ \subseteq} {V
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die erste Inklusion echt und daher muss $U+V$ schon der Gesamtraum sein, also von der Dimension $100$. Nach
Satz 9.7 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))
ist somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{dim}_{ } { \left( U \cap V \right) }
}
{ =} { \operatorname{dim}_{ } { \left( U \right) } +\operatorname{dim}_{ } { \left( W \right) } - \operatorname{dim}_{ } { \left( U + V \right) }
}
{ =} { 99+99-100
}
{ =} {98
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Es sei $M$ eine
$m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
über dem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ mit dem
\definitionsverweis {Rang}{}{}
$r$. Zeige, dass es eine
\mathl{r \times n}{-}Matrix $A$ und eine
\mathl{m \times r}{-}Matrix $B$, beide mit dem Rang $r$, mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{B \circ A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{
Wir fassen die Matrix als
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {} {K^n} { K^m
} {.}
Nach
Lemma 12.14
ist der
\definitionsverweis {Rang}{}{}
dieser Abbildung gleich $r$, d.h. das Bild
\mathl{V \subseteq K^m}{} besitzt die Dimension $r$. Es gibt also eine Faktorisierung
\mathdisp {K^n \longrightarrow V \longrightarrow K^m} { , }
wobei die erste Abbildung die durch $M$ gegebene Abbildung mit dem Bild $V$ ist und die zweite Abbildung die Inklusion
\mathl{V \subseteq K^m}{.} Mit einer Basis
\mathl{v_1 , \ldots , v_r}{} von $V$ und den Standardbasen links und rechts werden diese beiden linearen Abbildungen durch eine
\mathl{r \times n}{-}Matrix $A$ und eine
\mathl{m \times r}{-}Matrix $B$ beschrieben. Somit gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {B \circ A
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da die durch $A$ beschriebene lineare Abbildung surjektiv auf $V$ abbildet, ist ihr Rang gleich $r$. Da das Bild der durch $B$ beschriebenen linearen Abbildung wegen der Injektivität ebenfalls die Dimension $r$ besitzt, ist ihr Rang auch $r$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} zwei $K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{.} Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) } } { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( { W }^{ * } , { V }^{ * } \right) } } {\varphi} { \varphi^* } {,} die einer linearen Abbildung ihre \definitionsverweis {duale Abbildung}{}{} zuordnet, linear ist.
}
{
Es seien
\mathl{\varphi, \psi \in \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) }}{.} Wir müssen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{( \varphi+ \psi)^*
}
{ =} { \varphi^* + \psi^*
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in
\mathl{\operatorname{Hom}_{ K } { \left( { W }^{ * } , { V }^{ * } \right) }}{} zeigen. Es sei dazu
\mathl{f \in { W }^{ * }}{.} Dann ist wegen der
Distributivität
von linearen Abbildungen
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ ( \varphi+ \psi)^* (f)
}
{ =} { f \circ ( \varphi+ \psi)
}
{ =} { f \circ \varphi + f \circ \psi
}
{ =} { \varphi^*(f) + \psi^*(f)
}
{ =} { (\varphi^* + \psi^*)(f)
}
}
{}
{}{.}
Für einen Skalar
\mathl{s \in K}{} ist ferner
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (s \varphi )^* (f)
}
{ =} { f \circ (s \varphi)
}
{ =} { s (f \circ \varphi)
}
{ =} { s ( ( \varphi )^* (f) )
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{8}
{
Beweise die Leibniz-Formel für die Determinante.
}
{
Wir führen Induktion über
\mathl{n \geq 1}{,} wobei der Induktionsanfang klar ist. Es sei also
\mathl{n \geq 2}{.} Die Menge der Permutationen
\mathl{\pi \in S_n}{} kann man aufspalten, indem man nach
\mathl{\pi(1)}{} sortiert und die bijektive Abbildung
\maabbdisp {\pi {{|}}_{ \{2 , \ldots , n\} }} {\{2 , \ldots , n\} } { \{1 , \ldots , n\} \setminus \{i\}
} {}
als eine Permutation $\rho$ auf
\mathl{\{1 , \ldots , n-1\}}{} auffasst, indem man beide Mengen ordnungstreu mit
\mathl{\{1 , \ldots , n-1\}}{} identifiziert. Dies ergibt eine Bijektion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S_{n, i}
}
{ \cong }{ S_{n-1 }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei hier
\mathl{S_{n, i}}{} die Menge der Permutationen auf
\mathl{{ \{ 1 , \ldots , n \} }}{} bezeichnet, die $1$ auf $i$ abbilden. Zwischen den Signa besteht dabei die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{sgn}( \pi )
}
{ =} { (-1)^{i-1} \operatorname{sgn}( \rho )
}
{ =} { (-1)^{i+1} \operatorname{sgn}( \rho )
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
da man
\mathl{i-1}{} Transpositionen braucht, um die $i$-te Stelle und die erste Stelle zu vertauschen. Es besteht also insgesamt eine natürliche Bijektion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S_n
}
{ =} { \biguplus_{i \in \{1 , \ldots , n\} } S_{n, i }
}
{ =} { \biguplus_{i \in \{1 , \ldots , n\} } S_{n-1 }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit gilt
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \sum_{ \pi \in S_{ n } } \operatorname{sgn}( \pi ) a_{1 \pi (1)} \cdots a_{ n \pi ( n)}
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n \sum_{ \pi \in S_{n,i} } \operatorname{sgn}( \pi) \prod_{j = 1}^n a_{j \pi (j) }
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n a_{1 i} \sum_{ \pi \in S_{n,i} } \operatorname{sgn}( \pi ) \prod_{j = 2}^n a_{j \pi (j) }
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n a_{1 i} \sum_{ \rho \in S_{n-1} } (-1)^{i+1} \operatorname{sgn}( \rho ) \prod_{k = 1}^{n-1} (M_{1i})_{k \rho (k) }
}
{ =} { \sum_{i =1}^n(-1)^{i+1} a_{1i} \det M_{1i}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \det M
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{,}
wobei $M_{1i}$ die Streichungsmatrix zur ersten Zeile und $i$-ten Spalte ist
\zusatzklammer {und sich die Indizierung auf diese Matrix bezieht} {} {.}
Für die vorletzte Gleichung geht die Induktionsvoraussetzung ein und die letzte Gleichung beruht auf
der Entwicklung nach der ersten Zeile.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Führe in $\Z/(5)[X]$ die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden \definitionsverweis {Polynome}{}{} \mathkor {} {P=X^3+4X^2+3X+4} {und} {T=3X^2+2X+1} {} durch.
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^3+4X^2+3X+4
}
{ =} { { \left( 3X^2+2X+1 \right) } 2 X + X +4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Es sei $V\neq 0$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {Projektion}{}{.}
Zeige, dass es für das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
zu $\varphi$ drei Möglichkeiten gibt, nämlich
\mathl{X,X-1}{} und
\mathl{X(X-1)}{.}
}
{
Nach Definition ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi^2
}
{ = }{ \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
d.h. das Polynom
\mathl{X^2-X=X(X-1)}{} ist jedenfalls ein Vielfaches des Minimalpolynoms. Als
\definitionsverweis {Teiler}{}{}
von diesem Polynom kommen nur
\mathl{1,X,X-1}{} und
\mathl{X(X-1)}{} in Frage. Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
scheidet $1$ aus. Die verbleibenden Fälle treten in der Tat auf, wie die Nullabbildung, die Identität und die Matrix
\mathl{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}}{} zeigen.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Es sei $M$ eine \definitionsverweis {reell-symmetrische}{}{} $2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrix}{}{.} Zeige, dass $M$ einen \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} besitzt.
}
{
Die Matrix hat die Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} a & b \\ b & d \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
hat daher die Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }
}
{ =} { \det { \left( x E_2 - \begin{pmatrix} a & b \\ b & d \end{pmatrix} \right) }
}
{ =} { (x -a)(x-d) -b^2
}
{ =} { x^2 - (a+d)x +ad-b^2
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir schreiben dies als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( x - { \frac{ a+d }{ 2 } } \right) }^2 - { \left( { \frac{ a+d }{ 2 } } \right) }^2 +ad-b^2
}
{ =} { { \left( x - { \frac{ a+d }{ 2 } } \right) }^2 - { \frac{ a^2 }{ 4 } } - { \frac{ d^2 }{ 4 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } } ad - b^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ a^2 }{ 4 } } + { \frac{ d^2 }{ 4 } } - { \frac{ 1 }{ 2 } } ad + b^2
}
{ =} { { \left( { \frac{ a-d }{ 2 } } \right) }^2 +b^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nichtnegativ ist, kann man daraus im Reellen die Quadratwurzel ziehen und das charakteristische Polynom besitzt Nullstellen, die Eigenwerte der Matrix sind.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass es dann nur endlich viele \definitionsverweis {Eigenwerte}{}{} zu $\varphi$ gibt.
}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ =} { \operatorname{dim}_{ } { \left( V \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir nehmen an, dass es unendlich viele Eigenwerte gibt. Dann gibt es insbesondere
\mathl{n+1}{} Eigenwerte
\mathdisp {a_1 , \ldots , a_{n+1}} { }
und zugehörige Eigenvektoren
\mathdisp {v_1 , \ldots , v_{n+1}} { . }
Nach
Lemma 22.3 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))
sind diese
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{,}
das widerspricht aber
dem Basisaustauschsatz.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{9 (2+3+4)}
{
Wir betrachten die reelle Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
a) Bestimme
\mathdisp {M^{n} \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix}} { }
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 1,2,3,4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
b) Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x_{n+1} \\ y_{n+1} \end{pmatrix}
}
{ \defeq} { M^n \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Erstelle eine Beziehung zwischen den Folgen $x_n$ und $y_n$ und Rekursionsformeln für diese Folgen.
c) Bestimme die Eigenwerte und die Eigenvektoren zu $M$.
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 \\1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^2 \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\1 \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} 2 \\1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^3 \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\1 \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} 3 \\2 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^4 \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\2 \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} 5 \\3 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b) Wir behaupten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_{n+1}
}
{ =} { x_{n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die rekursive Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_{n+1}
}
{ =} {x_n + x_{n-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit den Anfangsbedingungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_1
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Beides beweisen wir durch Induktion über $n$, wobei der Induktionsanfang klar ist. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x_{n+1} \\ y_{n+1} \end{pmatrix}
}
{ =} { M \begin{pmatrix} x_n \\y_{n} \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_n \\ y_{n} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_{n+1}
}
{ =} {x_n+y_n
}
{ =} {x_n + x_{n-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_{n+1}
}
{ =} {x_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
c) Das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
zu $M$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \begin{pmatrix} x-1 & -1 \\ -1 & x \end{pmatrix}
}
{ =} { (x-1)x -1
}
{ =} { x^2-x-1
}
{ =} { { \left( x- { \frac{ 1 }{ 2 } } \right) }^2 - { \frac{ 1 }{ 4 } } -1
}
{ =} { { \left( x- { \frac{ 1 }{ 2 } } \right) }^2 - { \frac{ 5 }{ 4 } }
}
}
{}{}{.}
Somit sind
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_1,x_2
}
{ =} { { \frac{ \pm \sqrt{5} }{ 2 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Nullstellen und nach
Satz 23.2 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))
die Eigenwerte von $M$. Der Kern zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} { \frac{ \sqrt{5} +1 }{ 2 } } -1 & -1 \\ -1 & { \frac{ \sqrt{5} +1 }{ 2 } } \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ \sqrt{5} -1 }{ 2 } } & -1 \\ -1 & { \frac{ \sqrt{5} +1 }{ 2 } } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
wird von
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 \\ { \frac{ \sqrt{5} -1 }{ 2 } } \end{pmatrix}} { }
und der Kern zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} { \frac{ - \sqrt{5} +1 }{ 2 } } -1 & -1 \\ -1 & { \frac{ - \sqrt{5} +1 }{ 2 } } \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ - \sqrt{5} -1 }{ 2 } } & -1 \\ -1 & { \frac{ - \sqrt{5} +1 }{ 2 } } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
wird von
\mathdisp {\begin{pmatrix} -1 \\ { \frac{ \sqrt{5} + 1 }{ 2 } } \end{pmatrix}} { }
erzeugt. Die Eigenvektoren sind also
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 \\ { \frac{ \sqrt{5} -1 }{ 2 } } \end{pmatrix}} { }
und
\mathdisp {\begin{pmatrix} -1 \\ { \frac{ \sqrt{5} + 1 }{ 2 } } \end{pmatrix}} { . }
}
\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{
Bestimme, ob im $\R^3$ der Ausdruck
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 2 } } \begin{pmatrix} 2 \\7\\ 6 \end{pmatrix} + { \frac{ 1 }{ 3 } } \begin{pmatrix} 9 \\0\\ 9 \end{pmatrix} + { \frac{ 1 }{ 6 } } \begin{pmatrix} 5 \\5\\ 2 \end{pmatrix}} { }
eine
\definitionsverweis {baryzentrische Kombination}{}{}
ist.
}
{
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 2 } } + { \frac{ 1 }{ 3 } } + { \frac{ 1 }{ 6 } }
}
{ =} { { \frac{ 3+2+1 }{ 6 } }
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
liegt eine baryzentrische Kombination vor.
}