Kurs:Lineare Algebra/Teil I/14/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 1 4 2 6 5 2 5 4 8 2 3 3 3 9 1 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein inverses Element zu einem Element bezüglich einer Verknüpfung

    mit einem neutralen Element .

  2. Äquivalente (inhomogene) lineare Gleichungssysteme zur gleichen Variablenmenge über einem Körper .
  3. Die transponierte Matrix zu einer -Matrix .
  4. Der -te Standardvektor im .
  5. Das Bidual zu einem -Vektorraum .
  6. Der Fixraum zu einem Endomorphismus

    auf einem -Vektorraum .


Lösung

  1. Zu heißt inverses Element, wenn die Gleichheit

    gilt.

  2. Zwei (inhomogene) lineare Gleichungssysteme heißen äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen übereinstimmen.
  3. Man nennt die Matrix

    die transponierte Matrix zu .

  4. Der Vektor

    wobei die an der -ten Stelle steht, heißt -ter Standardvektor.

  5. Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Dann nennt man den Dualraum des Dualraums , also

    das Bidual von .

  6. Unter dem Fixraum zu versteht man den Eigenraum zum Eigenwert .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Superpositionsprinzip für ein inhomogenes (und das zugehörige homogene) Gleichungssystem über einem Körper .
  2. Der Satz über die Interpolation durch Polynome.
  3. Der Festlegungssatz für affine Abbildungen.


Lösung

  1. Es sei ein Körper und

    ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über und es sei

    das zugehörige homogene Gleichungssystem. Wenn eine Lösung des inhomogenen Systems und eine Lösung des homogenen Systems ist, so ist eine Lösung des inhomogenen Systems.
  2. Es sei ein Körper und es seien verschiedene Elemente und Elemente gegeben. Dann gibt es ein Polynom vom Grad derart, dass für alle ist.
  3. Es sei ein Körper und seien und affine Räume über den Vektorräumen  bzw. . Es sei , , eine affine Basis von und , , eine Familie von Punkten in . Dann gibt es eine eindeutig bestimmte affin-lineare Abbildung

    mit

    für alle .


Aufgabe (1 Punkt)

Wir betrachten den Satz „Lucy Sonnenschein tanzt auf allen Hochzeiten“. Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.


Lösung

Es gibt eine Hochzeit, auf der Lucy Sonnenschein nicht tanzt.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein endlicher Körper mit Elementen und sei ein -dimensionaler -Vektorraum. Es sei eine Aufzählung (ohne Wiederholung) der Elemente aus . Nach wie vielen Elementen kann man sich sicher sein, dass diese ein Erzeugendensystem von sind?


Lösung

Wegen der Isomorphie

besitzt genau Elemente. Der „schlechteste“ Fall ist, dass die Elemente zuerst alle Elemente eines -dimensionalen Untervektorraumes durchlaufen. Ein solcher hat Elemente. Da es in der Tat möglich ist, dass die ersten Elemente in einem echten Untervektorraum liegen, muss man einen Schritt weiter gehen. Die ersten -te Elemente können allerdings nicht mehr in einem niedrigerdimensionalen Untervektorraum liegen, sondern erzeugen den vollen Raum.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine -Matrix und eine -Matrix und es seien

die zugehörigen linearen Abbildungen. Zeige, dass das Matrixprodukt die Hintereinanderschaltung der beiden linearen Abbildungen beschreibt.


Lösung

Die Gleichheit von linearen Abbildungen kann man auf der Standardbasis des nachweisen. Es ist

Dabei sind die Koeffizienten

gerade die Einträge in der Produktmatrix .


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei

eine invertierbare Matrix. Zeige durch zwei Matrizenmultiplikationen, dass

ist.


Lösung

Es ist

In der Diagonalen steht immer der gleiche Eintrag, nämlich

Mit dem Vorfaktor ergibt sich also bei Multiplikation die Einheitsmatrix.


Aufgabe (5 (1+1+1+1+1) Punkte)

Es sei eine Basis eines dreidimensionalen -Vektorraumes .

a) Zeige, dass ebenfalls eine Basis von ist.

b) Bestimme die Übergangsmatrix .

c) Bestimme die Übergangsmatrix .

d) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis die Koordinaten besitzt.

e) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis die Koordinaten besitzt.


Lösung

a) Es ist

und

Daher ist ebenfalls ein Erzeugendensystem von und somit eine Basis, da die Dimension ist.

b) In den Spalten von müssen die Koordinaten der Vektoren bezüglich der Basis stehen, also ist

c) Nach a) ist

d) Die Koordinaten ergeben sich aus

e) Die Koordinaten ergeben sich aus


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein -dimensionaler -Vektorraum und seien zwei verschiedene -dimensionale Untervektorräume von . Welche Dimension hat und welche Dimension hat ?


Lösung

Da die beiden Räume verschieden sind, ist in

die erste Inklusion echt und daher muss schon der Gesamtraum sein, also von der Dimension . Nach Fakt ***** ist somit


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei eine -Matrix über dem Körper mit dem Rang . Zeige, dass es eine -Matrix und eine -Matrix , beide mit dem Rang , mit gibt.


Lösung

Wir fassen die Matrix als lineare Abbildung

Nach Lemma 12.14 ist der Rang dieser Abbildung gleich , d.h. das Bild besitzt die Dimension . Es gibt also eine Faktorisierung

wobei die erste Abbildung die durch gegebene Abbildung mit dem Bild ist und die zweite Abbildung die Inklusion . Mit einer Basis von und den Standardbasen links und rechts werden diese beiden linearen Abbildungen durch eine -Matrix und eine -Matrix beschrieben. Somit gilt

Da die durch beschriebene lineare Abbildung surjektiv auf abbildet, ist ihr Rang gleich . Da das Bild der durch beschriebenen linearen Abbildung wegen der Injektivität ebenfalls die Dimension besitzt, ist ihr Rang auch .


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper und es seien und zwei -Vektorräume. Zeige, dass die Abbildung

die einer linearen Abbildung ihre duale Abbildung zuordnet, linear ist.


Lösung

Es seien . Wir müssen

in zeigen. Sei dazu . Dann ist wegen der Distributivität von linearen Abbildungen

Für einen Skalar ist ferner


Aufgabe (8 Punkte)

Beweise die Leibniz-Formel für die Determinante.


Lösung

Wir führen Induktion über , wobei der Induktionsanfang klar ist. Sei also . Die Menge der Permutationen kann man aufspalten, indem man nach sortiert und die bijektive Abbildung

als eine Permutation auf auffasst, indem man beide Mengen ordnungstreu mit identifiziert. Dies ergibt eine Bijektion , wobei hier die Menge der Permutationen auf bezeichnet, die auf abbilden. Zwischen den Signa besteht dabei die Beziehung

da man Transpositionen braucht, um die -te Stelle und die erste Stelle zu vertauschen. Es besteht also insgesamt eine natürliche Bijektion

Somit gilt

wobei die Streichungsmatrix zur ersten Zeile und -ten Spalte ist (und sich die Indizierung auf diese Matrix bezieht). Für die vorletzte Gleichung geht die Induktionsvoraussetzung ein und die letzte Gleichung beruht auf der Entwicklung nach der ersten Zeile.


Aufgabe (2 Punkte)

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Lösung

Es ist


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und

eine Projektion. Zeige, dass es für das Minimalpolynom zu drei Möglichkeiten gibt, nämlich und .


Lösung

Nach Definition ist , d.h. das Polynom ist jedenfalls ein Vielfaches des Minimalpolynoms. Als Teiler von diesem Polynom kommen nur und in Frage. Wegen scheidet aus. Die verbleibenden Fälle treten in der Tat auf, wie die Nullabbildung, die Identität und die Matrix zeigen.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine reell-symmetrische -Matrix. Zeige, dass einen Eigenwert besitzt.


Lösung

Die Matrix hat die Form

Das charakteristische Polynom hat daher die Form

Wir schreiben dies als

Da

nichtnegativ ist, kann man daraus im Reellen die Quadratwurzel ziehen und das charakteristische Polynom besitzt Nullstellen, die Eigenwerte der Matrix sind.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung. Zeige, dass es dann nur endlich viele Eigenwerte zu gibt.


Lösung

Es sei

Wir nehmen an, dass es unendlich viele Eigenwerte gibt. Dann gibt es insbesondere Eigenwerte

und zugehörige Eigenvektoren

Nach Lemma 22.3 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) sind diese linear unabhängig, das widerspricht aber dem Basisaustauschsatz.


Aufgabe (9 (2+3+4) Punkte)

Wir betrachten die reelle Matrix

a) Bestimme

für .

b) Sei

Erstelle eine Beziehung zwischen den Folgen und und Rekursionsformeln für diese Folgen.

c) Bestimme die Eigenwerte und die Eigenvektoren zu .


Lösung

Es ist

b) Wir behaupten

und die rekursive Beziehung

mit den Anfangsbedingungen und . Beides beweisen wir durch Induktion über , wobei der Induktionsanfang klar ist. Wegen

ist

und

c) Das charakteristische Polynom zu ist

Somit sind

die Nullstellen und nach Satz 23.2 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) die Eigenwerte von . Der Kern zu

wird von

und der Kern zu

wird von

erzeugt. Die Eigenvektoren sind also

und


Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme, ob im der Ausdruck

eine baryzentrische Kombination ist.


Lösung

Wegen

liegt eine baryzentrische Kombination vor.