Kurs:Lineare Algebra/Teil I/34/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	2	4	6	1	2	1	4	6	4	2	7	4	3	4	4	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Teilmenge ${}T$ einer Menge ${}M$.
2. Eine ${}m\times n$-Matrix über einem Körper ${}K$.
3. Eine Zerlegung eines ${}K$- Vektorraumes ${}V$ als direkte Summe in die Untervektorräume ${}U_{1},\ldots ,U_{m}$.
4. Die Determinante einer ${}n\times n$- Matrix ${}M$.
5. Eine trigonalisierbare lineare Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow V$, wobei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum ist.
6. Die Dimension eines affinen Raumes ${}E$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Charakterisierungssatz für eine Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.
2. Das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.
3. Der Satz über Eigenvektoren zu paarweise verschiedenen Eigenwerten.

Aufgabe * (2 Punkte)

Ein Mann steht mit einem Wolf, einer Ziege und einem Kohl am Ufer eines Flusses und möchte diesen überqueren. Es steht ein Boot zur Verfügung, in dem neben ihm nur ein weiterer Passagier Platz hat. Wie kann er den Fluss überqueren, ohne dass dabei der Wolf die Ziege oder die Ziege den Kohl frisst?

Aufgabe * (4 (0.5+0.5+1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die Verknüpfung

$\mathbb {N} \times \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,(a,b)\longmapsto a*b,$

die einem Paar ${}(a,b)$ diejenige Zahl zuordnet, die entsteht, wenn man im Zehnersystem die Zahl ${}b$ ${}a$-fach hintereinander schreibt.

1. Bestimme ${}7*6$.
2. Bestimme ${}4*13$.
3. Ist die Verknüpfung kommutativ?
4. Ist die Verknüpfung assoziativ?
5. Besitzt die Verknüpfung ein neutrales Element?

Aufgabe * (6 (1+1+4) Punkte)

1. Skizziere vier Geraden im Raum mit der Eigenschaft, dass es insgesamt zwei Schnittpunkte gibt.
2. Skizziere vier Geraden in der Ebene mit der Eigenschaft, dass es insgesamt drei Schnittpunkte gibt.
3. Zeige, dass es in der Ebene nicht vier Geraden geben kann, die insgesamt zwei Schnittpunkte besitzen.

Aufgabe * (1 Punkt)

Bei einem linearen Gleichungssystem führe das Eliminationsverfahren auf die Gleichung

${}0=1\,.$

Welche Folgerung kann man daraus schließen?

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung

${}-7x+3y=-4\,$

im ${}\mathbb {Q} ^{2}$ gegebene Gerade.

Aufgabe * (1 Punkt)

Es sei ${}G$ eine Gruppe. Es seien  ${}x,y\in G$  Elemente mit

${}x\cdot y=1\,$

Zeige, dass ${}y$ das Inverse von ${}x$ ist.

Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper. Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon K^{2}\longrightarrow K^{2},\,\left(x,\,y\right)\longmapsto \left(x+y,\,x-y\right).$

a) Zeige, dass ${}\varphi$ linear ist.

b) Bestimme die beschreibende Matrix zu ${}\varphi$ bezüglich der Standardbasis.

c) Bestimme die Determinante von ${}\varphi$.

d) Es sei zusätzlich  ${}2\neq 0$  in ${}K$ vorausgesetzt. Zeige, dass ${}\varphi$ bijektiv ist, und bestimme die inverse Matrix der beschreibenden Matrix.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz, dass die Zuordnung zwischen linearen Abbildungen und Matrizen (bei gegebenen Basen) bijektiv ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}\tau$ die Transposition auf der Menge ${}{\{1,\ldots ,n\}}$, die die beiden Zahlen

${}k<\ell \,$

miteinander vertauscht. Bestimme die Fehlstände von ${}\tau$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne das Quadrat des Polynoms

$1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}.$

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Division mit Rest im Polynomring ${}K[X]$ über einem Körper ${}K$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Forme die Gleichung

${}x^{4}+3x^{3}-5x^{2}+2x-7=0\,$

in eine äquivalente Gleichung der Form

${}y^{4}+b_{2}y^{2}+b_{1}y+b_{0}=0\,$

mit  ${}b_{i}\in \mathbb {Q}$  um.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass es maximal ${}\dim _{K}{\left(V\right)}$ viele Eigenwerte zu ${}\varphi$ gibt.

Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)

Es seien ${}\alpha ,\beta$ reelle Zahlen mit  ${}\alpha ^{2}+\beta ^{2}=1$.  Wir betrachten die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\beta &-\alpha \end{pmatrix}}\,.$

a) Bestimme dac charakteristische Polynom von ${}M$.

b) Bestimme die Eigenwerte von ${}M$. Ist ${}M$ diagonalisierbar?

c) Bestimme die Eigenräume von ${}M$.

Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)

Es sei ${}v_{1},v_{2},v_{3}$ eine Basis des ${}K$- Vektorraumes ${}V$ und ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ eine lineare Abbildung, die durch

$v_{2},v_{3}\mapsto v_{1},\,v_{1}\mapsto 0,\,$

festgelegt ist.

a) Erstelle die Matrix, die ${}\varphi$ bezüglich dieser Basis beschreibt.

b) Begründe, warum ${}\varphi$ nilpotent ist.

c) Bestimme den Kern von ${}\varphi$.

d) Finde eine Basis von ${}V$, bezüglich der ${}\varphi$ jordansche Normalform hat.

Aufgabe * (4 Punkte)

Finde eine affine Basis für die Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung

${}16x-3y+5z+w=2\,.$