Kurs:Lineare Algebra/Teil I/4/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 4 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 1 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 6 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 6 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 5 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 8 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesiebzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Der \stichwort {Graph} {} zu einer Abbildung \maabb {F} {L} {M } {.}
}{Ein \stichwort {kommutativer} {} \definitionsverweis {Ring}{}{} $R$.
}{Der
\stichwort {Orthogonalraum} {}
zu einem
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ \subseteq} { { V }^{ * }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im
\definitionsverweis {Dualraum}{}{}
\mathl{{ V }^{ * }}{} zu einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$.
}{Eine
\stichwort {multilineare} {}
Abbildung
\maabbdisp {\Phi} {V_1 \times \cdots \times V_n} {W
} {,}
wobei
\mathl{V_1 , \ldots , V_n,W}{}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ sind.
}{Das \stichwort {Minimalpolynom} {} zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {f} {V} {V } {} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.
}{Eine \stichwort {diagonalisierbare} {} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Man nennt
\mathdisp {\Gamma_F={ \left\{ (x,F(x)) \mid x \in L \right\} } \subseteq L \times M} { }
den Graphen der Abbildung $F$.
}{Ein
\definitionsverweis {Ring}{}{} $R$ heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.
}{Man nennt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F^{ { \perp } }
}
{ =} { { \left\{ v \in V \mid f(v) = 0 \text{ für alle } f \in F \right\} }
}
{ \subseteq} { V
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den
Orthogonalraum
zu $F$.
}{Die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\Phi} { V_1 \times \cdots \times V_n } {W
} {}
heißt multilinear, wenn für jedes
\mathl{i \in { \{ 1 , \ldots , n \} }}{} und jedes
\mathl{(n-1)}{-}Tupel
\mathl{(v_1 , \ldots , v_{i-1} , v_{i+1} , \ldots , v_n)}{} mit
\mathl{v_j \in V_j}{} die induzierte Abbildung
\maabbeledisp {} {V_i} {W
} {v_i} { \Phi ( v_1 , \ldots , v_{i-1} , v_i , v_{i+1} , \ldots , v_n )
} {,}
$K$-\definitionsverweis {linear}{}{}
ist.
}{Das eindeutig bestimmte
\definitionsverweis {normierte}{}{}
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathl{\mu_f\in K[X]}{} minimalen
\definitionsverweis {Grades}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu_f(f)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
heißt das
\stichwort {Minimalpolynom} {}
von $f$.
}{Der Endomorphismus $\varphi$ heißt \stichwort {diagonalisierbar} {,} wenn $V$ eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
aus
\definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{}
zu $\varphi$ besitzt.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über lineare Abbildungen zwischen gleichdimensionalen Vektorräumen.}{Der Satz über die Beziehung zwischen der adjungierten Matrix und der Determinante.}{Der Satz über die Summe von Haupträumen.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei $K$ ein Körper und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
Vektorräume über $K$ der gleichen Dimension $n$. Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine lineare Abbildung. Dann ist $\varphi$ genau dann injektiv, wenn $\varphi$ surjektiv ist.}{Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $M$ eine
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
über $K$. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( M^{ \operatorname{adj} } ) \cdot M
}
{ =} { M \cdot ( M^{ \operatorname{adj} } )
}
{ =} { ( \det M ) E_{ n }
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{}}{Sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
ein
\definitionsverweis {trigonalisierbarer}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Endomorphismus}{}{}
auf dem
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$. Dann ist $V$ die
\definitionsverweis {direkte Summe}{}{}
der
\definitionsverweis {Haupträume}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} { \operatorname{Haupt}_{ \lambda_1 } (\varphi) \oplus \cdots \oplus \operatorname{Haupt}_{ \lambda_m } (\varphi)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mathl{\lambda_1 , \ldots , \lambda_m}{} die verschiedenen
\definitionsverweis {Eigenwerte}{}{}
zu $\varphi$ durchläuft, und $\varphi$ ist die
\definitionsverweis {direkte Summe}{}{}
der Einschränkungen
\maabbdisp {\varphi_i = \varphi{{|}}_{H_i}} {H_i} {H_i
} {}
auf den Haupträumen
\mathl{H_i= \operatorname{Haupt}_{ \lambda_i } (\varphi)}{.}}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Die offizielle Berechtigung für die Klausurteilnahme werde durch mindestens $200$ Punkte im Übungsbetrieb erworben. Professor Knopfloch sagt, dass es aber auf einen Punkt mehr oder weniger nicht ankomme. Zeige durch eine geeignete Induktion, dass man mit jeder Punkteanzahl zur Klausur zugelassen wird.
}
{
Wir wollen zeigen, dass man zu jedem
\mathl{n \in \N}{} mit $n$ Punkten zur Klausur zugelassen wird. Dies folgt für
\mathl{n \geq 200}{} unmittelbar aus der offiziellen Grenze. Wir betrachten
\mathl{n \leq 200}{} und setzen
\mathl{k=200 -n}{.} Dies ist eine nichtnegative Zahl, über die wir Induktion führen, die Aussage ist
\mathdisp {A(k) = \text{mit } 200-k \text{ Punkten wird man zugelassen}} { . }
Bei
\mathl{k=0}{} ist
\mathl{n=200}{} und dies reicht zur Zulassung. Es sei nun die Aussage für irgendein $k \in \N$ bewiesen, d. h., mit
\mathl{n=200-k}{} Punkten wird man zugelassen. Es ist zu zeigen, dass die Aussage auch für $k+1$ gilt, d.h. dass man auch mit
\mathl{n=200-k-1}{} Punkten zugelassen wird. Wenn das aber nicht so wäre, so würde man mit
\mathl{200-k}{} Punkten zugelassen werden, aber nicht mit einem Punkt weniger, und es würde doch auf einen einzigen Punkt ankommen im Widerspruch zur Zusicherung des Professors.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Löse das
\definitionsverweis {inhomogene Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} 3 x &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+ z &
+4 w & = & 4 \\ 2 x &
+2 y &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+ w & = & 0 \\ 4 x &
+6 y &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+ w & = & 2 \\ x &
+3 y &
+5 z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & 3 \, . \end{matrix}} { }
}
{
Wir eliminieren zuerst die Variable $z$, indem wir die zweite und die dritte Gleichung übernehmen und
\mathl{IV-5I}{} hinzunehmen. Dies führt auf
\mathdisp {\begin{matrix}
2 x &
+2 y &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+ w & = & 0 \\
4 x &
+6 y &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+ w & = & 2 \\
-14 x &
+3 y &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
-20 w & = & -17 \, .
\end{matrix}} { }
Nun eliminieren wir die Variable $w$, indem wir
\zusatzklammer {bezogen auf das vorhergehende System} {} {}
\mathl{II-I}{} und
\mathl{III+20I}{} ausrechnen. Dies führt auf
\mathdisp {\begin{matrix}
2 x &
+4 y &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & 2 \\
26 x &
+43 y &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & -17 \, .
\end{matrix}} { }
Mit
\mathl{13I-II}{} ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 9 y
}
{ =} {43
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { { \frac{ 43 }{ 9 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Rückwärts gelesen ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { 1-2y
}
{ =} { - { \frac{ 77 }{ 9 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ w
}
{ =} {-2x-2y
}
{ =} { -2 { \left( - { \frac{ 77 }{ 9 } } \right) } -2 { \frac{ 43 }{ 9 } }
}
{ =} { { \frac{ 68 }{ 9 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z
}
{ =} { 4-3x-4w
}
{ =} { 4 + 3 { \frac{ 77 }{ 9 } } - { \frac{ 272 }{ 9 } }
}
{ =} { - { \frac{ 5 }{ 9 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Es sei $D$ die Menge aller reellen $2 \times 2$-Matrizen
\mathdisp {\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}} { , }
die die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_{11}a_{22} - a_{21}a_{12}
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllen. Zeige, dass $D$ kein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
im Raum aller $2 \times 2$-Matrizen ist.
}
{
Die beiden Matrizen
\mathkor {} {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}} {und} {\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}} {}
gehören offenbar zu $D$. Ihre Summe ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und für diese Summe ist der entscheidende Ausdruck gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1 \cdot 1 - 0 \cdot 0
}
{ =} {1
}
{ \neq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Teilmenge $D$ ist also nicht unter Addition abgeschlossen und kann daher kein Untervektorraum des Matrizenraums sein.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es sei
\mathl{U \subseteq \Q^n}{} ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}
Zeige, dass $U$ eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
aus Vektoren besitzt, deren Einträge allesamt ganze Zahlen sind.
}
{
Es sei
\mathl{u_1 , \ldots , u_m}{} eine Basis von $U$. Jeder dieser Basisvektoren hat die Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{u
}
{ =} { \begin{pmatrix} q_1 \\\vdots\\ q_n \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit rationalen Zahlen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{q_j
}
{ =} { { \frac{ r_j }{ s_j } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit ganzen Zahlen
\mathl{r_j,s_j}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s_j
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s
}
{ =} {s_1 \cdots s_n
}
{ \neq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann besitzt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{su
}
{ =} { s \begin{pmatrix} q_1 \\\vdots\\ q_n \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} s q_1 \\\vdots\\ sq_n \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} s { \frac{ r_1 }{ s_1 } } \\\vdots\\ s { \frac{ r_n }{ s_n } } \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} s_2 \cdots s_n r_1 \\\vdots\\ s_1 \cdots s_{n-1} r_n \end{pmatrix}
}
}
{}{}{}
ganzzahlige Einträge. Wir ersetzen nun jeden Basisvektor $u_i$ durch ein solches Vielfaches
\mathl{\neq 0}{,} deren Einträge ganzzahlig sind. Da man aus dieser neuen Familie die ursprüngliche Basis durch skalare Multiplikation zurückgewinnen kann, liegt ein Erzeugendensystem von $U$ vor, und da die Anzahl gleich der Dimension ist, handelt es sich um eine Basis.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{
Beweise den Satz über die Dimension des Standardraumes.
}
{
Die
\definitionsverweis {Standardbasis}{}{}
\mathbed {e_i} {}
{i = 1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,} besteht aus $n$ Vektoren, also ist die Dimension $n$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es sei $V$ ein
$n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und es sei
\mathl{U \subseteq V}{} ein
\mathl{(n-1)}{-}dimensionaler
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}
Zeige, dass es eine
\definitionsverweis {Linearform}{}{}
\maabb {f} {V} {K
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ = }{ \operatorname{kern} f
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{
Nach
Lemma 9.12
gibt es einen eindimensionalen Untervektorraum
\mathl{W \subseteq V}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} { U \oplus W
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die zu dieser Zerlegung gehörige
\definitionsverweis {Projektion}{}{}
\maabbdisp {p_W} {V} {W
} {}
ist linear und besitzt $U$ als Kern. Da $W$ eindimensional ist, gibt es einen
\definitionsverweis {Isomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\psi} {W} {K
} {.}
Somit ist
\mathl{\psi \circ p_W}{} eine Linearform, deren Kern gerade $U$ ist.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 \\-5 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 4 \\3 \end{pmatrix}} { }
im $\R^2$ und es sei
\maabb {\varphi} {\R^2} { \R^2
} {}
die Projektion von $\R^2$ auf
\mathl{\R \begin{pmatrix} 2 \\-5 \end{pmatrix} \subseteq \R^2}{} bezüglich dieser Basis. Bestimme die Matrix zu $\varphi$ bezüglich der
\definitionsverweis {Standardbasis}{}{.}
}
{
Die Projektion $\varphi$ ist durch die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi \begin{pmatrix} 2 \\-5 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 \\-5 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi \begin{pmatrix} 4 \\3 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 \\0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eindeutig festgelegt. Bezüglich dieser Basis wird die Abbildung also durch die Matrix
\mathl{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}}{} beschrieben. Die Matrix bezüglich der Standardbasis ergibt sich hieraus mit Hilfe von
Korollar 11.12 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)).
Dazu berechnen wir die inverse Basiswechselmatrix:
\matabellezweivier {\leitzeilezwei {} {} } {\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -5 & 3 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 0 & 13 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ { \frac{ 5 }{ 2 } } & 1 \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ 2 } } & 0 \\ { \frac{ 5 }{ 26 } } & { \frac{ 1 }{ 13 } } \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} { \frac{ 3 }{ 26 } } & - { \frac{ 2 }{ 13 } } \\ { \frac{ 5 }{ 26 } } & { \frac{ 1 }{ 13 } } \end{pmatrix}
} }
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -5 & 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} { \frac{ 3 }{ 26 } } & - { \frac{ 2 }{ 13 } } \\ { \frac{ 5 }{ 26 } } & { \frac{ 1 }{ 13 } } \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -5 & 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} { \frac{ 3 }{ 26 } } & - { \frac{ 2 }{ 13 } } \\ { \frac{ 5 }{ 26 } } & { \frac{ 1 }{ 13 } } \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ 3 }{ 13 } } & { \frac{ -4 }{ 13 } } \\ { \frac{ -15 }{ 26 } } & { \frac{ 10 }{ 13 } } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Bestätige den
Determinantenmultiplikationssatz
für die beiden Matrizen
\mathdisp {A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 5 \\0 & 2 & -1 \end{pmatrix} \text{ und } B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 7 \\ 0 & 3 & 6 \\0 & -2 & -3 \end{pmatrix}} { . }
}
{
Die Determinante von $A$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 5 \\0 & 2 & -1 \end{pmatrix}
}
{ =} { -10 -2 (-4)
}
{ =} { -2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die Determinante von $B$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 7 \\ 0 & 3 & 6 \\0 & -2 & -3 \end{pmatrix}
}
{ =} { -9 +12
}
{ =} { 3
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das Produkt der beiden Matrizen ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ AB
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 5 \\0 & 2 & -1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 7 \\ 0 & 3 & 6 \\0 & -2 & -3 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 14 & 31 \\ 2 & -6 & -1 \\0 & 8 & 15 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Determinante davon ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \det AB
}
{ =} { \det \begin{pmatrix} 1 & 14 & 31 \\ 2 & -6 & -1 \\0 & 8 & 15 \end{pmatrix}
}
{ =} { -90+8 -2 (14 \cdot 15 - 8 \cdot 31)
}
{ =} { -82 -2 (210-248)
}
{ =} { -82 -2 ( -38)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { -82 +76
}
{ =} { -6
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Dies stimmt mit dem Produkt der beiden einzelnen Determinanten überein.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6}
{
Beweise die Leibniz-Formel für die \definitionsverweis {Determinante}{}{} direkt aus dem Distributivgesetz für multilineare Abbildungen.
}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { { \left( a_{ij} \right) }_{ij}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir schreiben die $i$-te Zeile der Matrix als
\mathl{\sum_{j=1}^n a_{ij} e_j}{.} Damit ist unter Verwendung der Multilinearität in den Zeilen
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \det M
}
{ =} { \det \begin{pmatrix} \sum_{ j = 1}^n a_{1j} e_j \\ \vdots \\ \sum_{ j = 1}^n a_{nj} e_j \end{pmatrix}
}
{ =} { \sum_{ (j_1 , \ldots , j_n) \in \{1 , \ldots , n \}^n} a_{1 j_1} \cdots a_{n j_n} \det \begin{pmatrix} e_{j_1} \\ \vdots \\ e_{j_n} \end{pmatrix}
}
{ =} { \sum_{\pi \in S_n} a_{1 \pi(1)} \cdots a_{n \pi(n) } \det \begin{pmatrix} e_{\pi (1)} \\ \vdots \\ e_{\pi (n)} \end{pmatrix}
}
{ =} { \sum_{\pi \in S_n} a_{1 \pi(1)} \cdots a_{n \pi(n) } \operatorname{sgn}(\pi)
}
}
{}
{}{.}
Hierbei beruht die vorletzte Gleichung darauf, dass die Determinante von
\mathl{\begin{pmatrix} e_{j_1} \\ \vdots \\ e_{j_n} \end{pmatrix}}{} gleich $0$ ist, sobald ein Vektor $e_j$ mehrfach vorkommt, und man daher nur über die Permutationen aufsummieren muss. Die letzte Gleichung beruht darauf, dass man durch eine Anzahl an Zeilenvertauschungen aus
\mathl{\begin{pmatrix} e_{j_1} \\ \vdots \\ e_{j_n} \end{pmatrix}}{} die Einheitsmatrix mit Determinante $1$ erhält. Bei jeder Zeilenvertauschung ändert sich die Determinante um $-1$ und dies entspricht der Änderung des Signums bei einer Transposition.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6}
{
Bestimme explizit die
\definitionsverweis {reellen}{}{}
$2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M^2
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Die Bedingung bedeutet
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M^2
}
{ =} { \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^2
}
{ =} { \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} a^2+bc & ab+bd \\ ac+dc & d^2+bc \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
}
}
{}{}{.}
Aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b(a+d)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a+d
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a+d
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt aus den Einträgen rechts oben und links unten direkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b
}
{ =} {c
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daraus ergibt sich aus links oben und rechts unten ebenfalls
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} {d
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
was der Annahme widerspricht. Es muss also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a+d
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sein, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d
}
{ =} {-a
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Damit sind die Bedingungen rechts oben und links unten erfüllt und die beiden anderen Bedingungen sind äquivalent und bedeuten einfach
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a^2 +bc
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {bzw.
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
ist, so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} {d
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und $c$
\zusatzklammer {bzw. $b$} {} {}
beliebig. Dies führt zu den Lösungen
\mathkor {} {\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ c & 0 \end{pmatrix}} {und} {\begin{pmatrix} 0 & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix}} {.}
Es seien nun
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b,c
}
{ \neq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn
\mathl{b,c}{} beide positiv oder beide negativ sind, so gibt es keine Lösung für $a$. Also müssen die Vorzeichen von
\mathkor {} {b} {und} {c} {}
verschieden sein. In diesem Fall ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} \pm \sqrt{-bc} & b \\ c & \mp \sqrt{-bc} \end{pmatrix}} { }
eine Lösung.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda_1
}
{ \neq }{ \lambda_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elemente in $K$. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Eig}_{ \lambda_1 } { \left( \varphi \right) } \cap \operatorname{Eig}_{ \lambda_2 } { \left( \varphi \right) }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{\operatorname{Eig}_{ \lambda_1 } { \left( \varphi \right) } \cap \operatorname{Eig}_{ \lambda_2 } { \left( \varphi \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lambda_1 v
}
{ =} { \varphi(v)
}
{ =} { \lambda_2 v
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{( \lambda_1-\lambda_2) v
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
woraus wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda_1
}
{ \neq }{\lambda_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
direkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und es sei
\maabbdisp {f} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
$\chi_{ f }$ und das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
\mathl{\mu_f}{} die gleichen Nullstellen besitzen.
}
{
Dass die Nullstellen des Minimalpolynoms auch Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind, folgt direkt aus
Cayley-Hamilton.
Umgekehrt sei
\mathl{\lambda \in K}{} eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms und sei
\mathl{v \in V}{} ein
\definitionsverweis {Eigenvektor}{}{}
von $f$ zum
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
$\lambda$, den es nach
Satz 23.2 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))
gibt. Das Minimalpolynom schreiben wir als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\mu_f
}
{ =} { (X- \lambda_1)^{m_1} \cdots (X- \lambda_k)^{m_k} Q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei $Q$ nullstellenfrei sei. Dann ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ 0
}
{ =} { \mu_f(f)
}
{ =} { { \left( (X- \lambda_1)^{m_1} \cdots (X- \lambda_k)^{m_k} Q \right) } (f)
}
{ =} { (f- \lambda_1
\operatorname{Id}_{ V } )^{m_1} \cdots (f - \lambda_k
\operatorname{Id}_{ V })^{m_k} Q(f)
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Wir wenden dies auf $v$ an. Nach
Lemma 24.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))
bilden die Faktoren den Vektor $v$ auf
\mathl{(\lambda - \lambda_i)^{m_i} v}{} bzw. auf
\mathl{Q(\lambda) v}{} ab. Insgesamt wird somit $v$ auf
\mathdisp {( \lambda- \lambda_1)^{m_1} \cdots ( \lambda- \lambda_k)^{m_k} Q ( \lambda) v} { }
abgebildet. Da die Gesamtabbildung die Nullabbildung und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q(\lambda)
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, muss ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\lambda_i
}
{ = }{ \lambda
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {nilpotente}{}{}
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,} die auch
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{}
sei. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Den diagonalisierbaren Endomorphismus $\varphi$ kann man bezüglich einer geeigneten Basis als Diagonalmatrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D
}
{ =} { \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & a_{ n-1\, n-1} & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & a_{ n n} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
darstellen. Die $k$-te Potenz davon ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D^k
}
{ =} { \begin{pmatrix} a^k_{11} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & a^k_{22} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & a^k_{ n-1\, n-1} & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & a^k_{ n n} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen der Nilpotenz gibt es ein $k$, wo dies die Nullmatrix ist, also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_{ii}^k
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $i$. In einem Körper folgt aber aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a^k
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
direkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
so dass $D$ schon die Nullmatrix ist.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {\R^3} {\R^3
} {}
werde bezüglich der Standardbasis durch die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 5 & 7 & 1 \\ 0 & 5 & 4 \\0 & 0 & 5 \end{pmatrix}} { }
beschrieben. Finde eine
\definitionsverweis {Basis}{}{,}
bezüglich der $\varphi$ durch die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 5 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 \\0 & 0 & 5 \end{pmatrix}} { }
beschrieben wird.
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {\begin{pmatrix} 5 & 7 & 1 \\ 0 & 5 & 4 \\0 & 0 & 5 \end{pmatrix} - 5 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} 0 & 7 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0 & 7 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 & 7 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} 0 & 0 & 28 \\ 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der Vektor
\mathl{\begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1 \end{pmatrix}}{} gehört nicht zum Kern von $M^2$, daher kann man aus den sukzessiven Bildern davon eine Basis wie gewünscht herstellen. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 7 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 \\4\\ 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M^2 \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 28 \\0\\ 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} 28 \\0\\ 0 \end{pmatrix}\, , \begin{pmatrix} 1 \\4\\ 0 \end{pmatrix} \, , \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1 \end{pmatrix}} { }
eine Basis, bezüglich der die jordansche Normalform
\mathdisp {\begin{pmatrix} 5 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 \\0 & 0 & 5 \end{pmatrix}} { }
vorliegt.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{8}
{
Es sei $E$ ein
\definitionsverweis {affiner Raum}{}{}
über einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ und es sei
\mathdisp {P_1 , \ldots , P_n} { }
eine endliche Familie von Punkten aus $E$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungvier{Die Punkte
\mathl{P_1 , \ldots , P_n}{} sind
\definitionsverweis {affin unabhängig}{}{.}
}{Für jedes
\mathl{i \in { \{ 1 , \ldots , n \} }}{} ist die Vektorfamilie
\mathdisp {\overrightarrow{ P_i P_1 } , \ldots , \overrightarrow{ P_i P_{i-1} }, \, \overrightarrow{ P_i P_{i+1} } , \ldots , \overrightarrow{ P_i P_n }} { }
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{.}
}{Es gibt ein
\mathl{i \in { \{ 1 , \ldots , n \} }}{} derart, dass die Vektorfamilie
\mathdisp {\overrightarrow{ P_i P_1 } , \ldots , \overrightarrow{ P_i P_{i-1} }, \, \overrightarrow{ P_i P_{i+1} } , \ldots , \overrightarrow{ P_i P_n }} { }
linear unabhängig ist.
}{Die Punkte
\mathl{P_1 , \ldots , P_n}{} bilden in dem von ihnen
\definitionsverweis {erzeugten}{}{} \definitionsverweis {affinen Unterraum}{}{}
eine
\definitionsverweis {affine Basis}{}{.}
}
}
{
Von (1) nach (2). Es sei $i_0$ fixiert. Nehmen wir an, dass die Vektoren
\mathbed {\overrightarrow{ P_{i_0} P_i }} {}
{i \neq i_0} {}
{} {} {} {}
linear abhängig sind. Dann gibt es ein
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{j
}
{ \neq} {i_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
derart, dass sich
\mathl{\overrightarrow{ P_{i_0} P_j }}{} als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen lässt. Es gilt also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \overrightarrow{ P_{i_0} P_j }
}
{ =} {\sum_{i\neq i_0, j} c_i \overrightarrow{ P_{i_0} P_i }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ P_j
}
{ =} { P_{i_0} + \overrightarrow{ P_{i_0} P_j }
}
{ =} { P_{i_0} +\sum_{i\neq i_0, j} c_i \overrightarrow{ P_{i_0} P_i }
}
{ =} { P_{i_0} + { \left( 1- \sum_{i\neq i_0, j} c_i \right) } \overrightarrow{ P_{i_0} P_{i_0} } + \sum_{i\neq i_0, j} c_i \overrightarrow{ P_{i_0} P_i }
}
{ =} { \sum_{i\neq j} c_i P_i
}
}
{}
{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c_{i_0}
}
{ =} { 1- \sum_{i\neq i_0, j} c_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit liegen zwei verschiedene baryzentrische Kombinationen des gleichen Punktes vor im Widerspruch zur affinen Unabhängigkeit.
Von (2) nach (3) ist eine Abschwächung \zusatzklammer {wenn die Punktmenge leer ist, so sind alle vier Bedingungen wahr} {} {.}
Von (3) nach (4). Die Familie
\mathdisp {\overrightarrow{ P_i P_1 } , \ldots , \overrightarrow{ P_i P_{i-1} }, \, \overrightarrow{ P_i P_{i+1} } , \ldots , \overrightarrow{ P_i P_n }} { }
ist linear unabhängig, daher eine Basis des davon erzeugten Untervektorraums. Daher ist
\mathl{P_1 , \ldots , P_n}{} nach Definition eine affine Basis des von (Ihnen erzeugten Unterraums.
Von (4) nach (1). Seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 1}^n a_i P_i
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n b_i P_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zwei baryzentrische Kombinationen, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P_{i_0}+ \sum_{i \neq i_0} a_i \overrightarrow{ P_{i_0} P_i }
}
{ =} { P_{i_0}+ \sum_{i \neq i_0} b_i \overrightarrow{ P_{i_0} P_i }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i \neq i_0} (a_i-b_i) \overrightarrow{ P_{i_0} P_i }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Weil
\mathl{P_1 , \ldots , P_n}{} eine affine Basis des von Ihnen erzeugten Raumes bilden, ist die Familie
\mathl{\overrightarrow{ P_{i_0} P_i }, i\neq i_0}{,} linear unabhängig in $V$ und daher gilt $a_i=b_i$.
}