Lösung
- Man nennt
-
den Graphen der Abbildung
.
- Ein
Ring
heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.
- Man nennt
-

den
Orthogonalraum
zu
.
- Die
Abbildung
-
heißt multilinear, wenn für jedes
und jedes
-Tupel
mit
die induzierte Abbildung
-
-linear
ist.
- Das eindeutig bestimmte
normierte
Polynom
minimalen
Grades
mit
-

heißt das
Minimalpolynom
von
.
- Der Endomorphismus
heißt diagonalisierbar, wenn
eine
Basis
aus
Eigenvektoren
zu
besitzt.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über lineare Abbildungen zwischen gleichdimensionalen Vektorräumen.
- Der Satz über die Beziehung zwischen der adjungierten Matrix und der Determinante.
- Der Satz über die Summe von Haupträumen.
Lösung
- Es sei
ein Körper und es seien
und
Vektorräume über
der gleichen Dimension
. Es sei
-
eine lineare Abbildung. Dann ist
genau dann injektiv, wenn
surjektiv ist.
- Es sei
ein Körper und sei
eine
-Matrix
über
. Dann ist
-

- Sei
-
ein
trigonalisierbarer
-Endomorphismus
auf dem
endlichdimensionalen
-Vektorraum
. Dann ist
die
direkte Summe
der
Haupträume,
also
-

wobei
die verschiedenen
Eigenwerte
zu
durchläuft, und
ist die
direkte Summe
der Einschränkungen
-
auf den Haupträumen
.
Die offizielle Berechtigung für die Klausurteilnahme werde durch mindestens
Punkte im Übungsbetrieb erworben. Professor Knopfloch sagt, dass es aber auf einen Punkt mehr oder weniger nicht ankomme. Zeige durch eine geeignete Induktion, dass man mit jeder Punkteanzahl zur Klausur zugelassen wird.
Lösung
Wir wollen zeigen, dass man zu jedem
mit
Punkten zur Klausur zugelassen wird. Dies folgt für
unmittelbar aus der offiziellen Grenze. Wir betrachten
und setzen
. Dies ist eine nichtnegative Zahl, über die wir Induktion führen, die Aussage ist
-
Bei
ist
und dies reicht zur Zulassung. Sei nun die Aussage für irgendein
bewiesen, d. h., mit
Punkten wird man zugelassen. Es ist zu zeigen, dass die Aussage auch für
gilt, d.h. dass man auch mit
Punkten zugelassen wird. Wenn das aber nicht so wäre, so würde man mit
Punkten zugelassen werden, aber nicht mit einem Punkt weniger, und es würde doch auf einen einzigen Punkt ankommen im Widerspruch zur Zusicherung des Professors.
Löse das
inhomogene Gleichungssystem
-
Lösung
Wir eliminieren zuerst die Variable
, indem wir die zweite und die dritte Gleichung übernehmen und
hinzunehmen. Dies führt auf
-
Nun eliminieren wir die Variable
, indem wir
(bezogen auf das vorhergehende System)
und
ausrechnen. Dies führt auf
-
Mit
ergibt sich
-

und
-

Rückwärts gelesen ergibt sich
-

-

und
-

Lösung
Es sei
ein
Untervektorraum.
Zeige, dass
eine
Basis
aus Vektoren besitzt, deren Einträge allesamt ganze Zahlen sind.
Lösung
Es sei
eine Basis von
. Jeder dieser Basisvektoren hat die Form
-

mit rationalen Zahlen
-

mit ganzen Zahlen
und
.
Es sei
-

Dann besitzt
-

ganzzahlige Einträge. Wir ersetzen nun jeden Basisvektor
durch ein solches Vielfaches
, deren Einträge ganzzahlig sind. Da man aus dieser neuen Familie die ursprüngliche Basis durch skalare Multiplikation zurückgewinnen kann, liegt ein Erzeugendensystem von
vor, und da die Anzahl gleich der Dimension ist, handelt es sich um eine Basis.
Beweise den Satz über die Dimension des Standardraumes.
Lösung
Lösung
Lösung
Bestätige den
Determinantenmultiplikationssatz
für die beiden Matrizen
-
Lösung
Die Determinante von
ist
-

und die Determinante von
ist
-

Das Produkt der beiden Matrizen ist
-

Die Determinante davon ist

Dies stimmt mit dem Produkt der beiden einzelnen Determinanten überein.
Lösung
Es sei
-

Wir schreiben die
-te Zeile der Matrix als
. Damit ist unter Verwendung der Multilinearität in den Zeilen

Hierbei beruht die vorletzte Gleichung darauf, dass die Determinante von
gleich
ist, sobald ein Vektor
mehrfach vorkommt, und man daher nur über die Permutationen aufsummieren muss. Die letzte Gleichung beruht darauf, dass man durch eine Anzahl an Zeilenvertauschungen aus
die Einheitsmatrix mit Determinante
erhält. Bei jeder Zeilenvertauschung ändert sich die Determinante um
und dies entspricht der Änderung des Signums bei einer Transposition.
Bestimme explizit die
reellen
-Matrizen
der Form
-

mit
-

Lösung
Die Bedingung bedeutet
-

Aus
-

folgt
oder
.
Bei
folgt aus den Einträgen rechts oben und links unten direkt
-

Daraus ergibt sich aus links oben und rechts unten ebenfalls
-

was der Annahme widerspricht. Es muss also
-

sein, also
-

Damit sind die Bedingungen rechts oben und links unten erfüllt und die beiden anderen Bedingungen sind äquivalent und bedeuten einfach
-

Wenn
(bzw.
)
ist, so ist
-

und
(bzw.
)
beliebig. Dies führt zu den Lösungen
und
.
Seien nun
-

Wenn
beide positiv oder beide negativ sind, so gibt es keine Lösung für
. Also müssen die Vorzeichen von
und
verschieden sein. In diesem Fall ist
-
eine Lösung.
Lösung
Lösung
Lösung
Eine
lineare Abbildung
-
werde bezüglich der Standardbasis durch die
Matrix
-
beschrieben. Finde eine
Basis,
bezüglich der
durch die Matrix
-
beschrieben wird.
Lösung
Es ist
-

und
-

Der Vektor
gehört nicht zum Kern von
, daher kann man aus den sukzessiven Bildern davon eine Basis wie gewünscht herstellen. Es ist
-

und
-

Daher ist
-
eine Basis, bezüglich der die jordansche Normalform
-
vorliegt.
Es sei
ein
affiner Raum
über einem
-Vektorraum
und es sei
-
eine endliche Familie von Punkten aus
. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
- Die Punkte
sind
affin unabhängig.
- Für jedes
ist die Vektorfamilie
-
linear unabhängig.
- Es gibt ein
derart, dass die Vektorfamilie
-
linear unabhängig ist.
- Die Punkte
bilden in dem von ihnen
erzeugten affinen Unterraum
eine
affine Basis.
Lösung
Von (1) nach (2). Sei
fixiert. Nehmen wir an, dass die Vektoren
,
linear abhängig sind. Dann gibt es ein
-

derart, dass sich
als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen lässt. Es gilt also
-

Dann ist

mit
-

Somit liegen zwei verschiedene baryzentrische Kombinationen des gleichen Punktes vor im Widerspruch zur affinen Unabhängigkeit.
Von (2) nach (3) ist eine Abschwächung
(wenn die Punktmenge leer ist, so sind alle vier Bedingungen wahr).
Von (3) nach (4). Die Familie
-
ist linear unabhängig, daher eine Basis des davon erzeugten Untervektorraums. Daher ist

nach Definition eine affine Basis des von (Ihnen erzeugten Unterraums.
Von (4) nach (1). Seien
-

zwei baryzentrische Kombinationen, also
-

und damit
-

Weil

eine affine Basis des von Ihnen erzeugten Raumes bilden, ist die Familie

, linear unabhängig in

und daher gilt

.