Kurs:Lineare Algebra/Teil I/4/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 3 4 2 4 1 4 4 3 6 6 3 5 2 3 8 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der Graph zu einer Abbildung .
  2. Ein kommutativer Ring .
  3. Der Orthogonalraum zu einem Untervektorraum

    im Dualraum zu einem -Vektorraum .

  4. Eine multilineare Abbildung

    wobei Vektorräume über einem Körper sind.

  5. Das Minimalpolynom zu einer linearen Abbildung

    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum .

  6. Eine diagonalisierbare lineare Abbildung

    auf einem -Vektorraum .


Lösung

  1. Man nennt

    den Graphen der Abbildung .

  2. Ein Ring heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.
  3. Man nennt

    den Orthogonalraum zu .

  4. Die Abbildung

    heißt multilinear, wenn für jedes und jedes -Tupel mit die induzierte Abbildung

    -linear ist.

  5. Das eindeutig bestimmte normierte Polynom minimalen Grades mit

    heißt das Minimalpolynom von .

  6. Der Endomorphismus heißt diagonalisierbar, wenn eine Basis aus Eigenvektoren zu besitzt.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über lineare Abbildungen zwischen gleichdimensionalen Vektorräumen.
  2. Der Satz über die Beziehung zwischen der adjungierten Matrix und der Determinante.
  3. Der Satz über die Summe von Haupträumen.


Lösung

  1. Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über der gleichen Dimension . Es sei
    eine lineare Abbildung. Dann ist genau dann injektiv, wenn surjektiv ist.
  2. Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Dann ist
  3. Sei

    ein trigonalisierbarer -Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen -Vektorraum . Dann ist die direkte Summe der Haupträume, also

    wobei die verschiedenen Eigenwerte zu durchläuft, und ist die direkte Summe der Einschränkungen

    auf den Haupträumen .


Aufgabe (3 Punkte)

Die offizielle Berechtigung für eine Klausurteilnahme werde durch mindestens Punkte im Übungsbetrieb erworben. Professor Knopfloch sagt, dass es aber auf einen Punkt mehr oder weniger nicht ankomme. Zeige durch eine geeignete Induktion, dass man mit jeder Punkteanzahl zur Klausur zugelassen wird.


Lösung

Wir wollen zeigen, dass man zu jedem mit Punkten zur Klausur zugelassen wird. Dies folgt für unmittelbar aus der offiziellen Grenze. Wir betrachten und setzen . Dies ist eine nichtnegative Zahl, über die wir Induktion führen, die Aussage ist

Bei ist und dies reicht zur Zulassung. Sei nun die Aussage für irgendein bewiesen, d. h., mit Punkten wird man zugelassen. Es ist zu zeigen, dass die Aussage auch für gilt, d.h. dass man auch mit Punkten zugelassen wird. Wenn das aber nicht so wäre, so würde man mit Punkten zugelassen werden, aber nicht mit einem Punkt weniger, und es würde doch auf einen einzigen Punkt ankommen im Widerspruch zur Zusicherung des Professors.


Aufgabe (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem


Lösung

Wir eliminieren zuerst die Variable , indem wir die zweite und die dritte Gleichung übernehmen und hinzunehmen. Dies führt auf

Nun eliminieren wir die Variable , indem wir (bezogen auf das vorhergehende System) und ausrechnen. Dies führt auf

Mit ergibt sich

und

Rückwärts gelesen ergibt sich

und


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei die Menge aller reellen -Matrizen

die die Bedingung

erfüllen. Zeige, dass kein Untervektorraum im Raum aller -Matrizen ist.


Lösung

Die beiden Matrizen und gehören offenbar zu . Ihre Summe ist

und für diese Summe ist der entscheidende Ausdruck gleich

Die Teilmenge ist also nicht unter Addition abgeschlossen und kann daher kein Untervektorraum des Matrizenraums sein.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Untervektorraum. Zeige, dass eine Basis aus Vektoren besitzt, deren Einträge allesamt ganze Zahlen sind.


Lösung

Es sei eine Basis von . Jeder dieser Basisvektoren hat die Form

mit rationalen Zahlen

mit ganzen Zahlen und . Es sei

Dann besitzt

ganzzahlige Einträge. Wir ersetzen nun jeden Basisvektor durch ein solches Vielfaches , deren Einträge ganzzahlig sind. Da man aus dieser neuen Familie die ursprüngliche Basis durch skalare Multiplikation zurückgewinnen kann, liegt ein Erzeugendensystem von vor, und da die Anzahl gleich der Dimension ist, handelt es sich um eine Basis.


Aufgabe (1 Punkt)

Beweise den Satz über die Dimension des Standardraumes.


Lösung

Die Standardbasis , , besteht aus Vektoren, also ist die Dimension .


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein -dimensionaler -Vektorraum und es sei ein -dimensionaler Untervektorraum. Zeige, dass es eine Linearform mit gibt.


Lösung

Nach Lemma 9.12 gibt es einen eindimensionalen Untervektorraum mit

Die zu dieser Zerlegung gehörige Projektion

ist linear und besitzt als Kern. Da eindimensional ist, gibt es einen Isomorphismus

Somit ist eine Linearform, deren Kern gerade ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Basis

im und es sei die Projektion von auf bezüglich dieser Basis. Bestimme die Matrix zu bezüglich der Standardbasis.


Lösung

Die Projektion ist durch die Bedingung

und

eindeutig festgelegt. Bezüglich dieser Basis wird die Abbildung also durch die Matrix beschrieben. Die Matrix bezüglich der Standardbasis ergibt sich hieraus mit Hilfe von Korollar 11.12 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)). Dazu berechnen wir die inverse Basiswechselmatrix:

Daher ist


Aufgabe (3 Punkte)

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für die beiden Matrizen


Lösung

Die Determinante von ist

und die Determinante von ist

Das Produkt der beiden Matrizen ist

Die Determinante davon ist

Dies stimmt mit dem Produkt der beiden einzelnen Determinanten überein.


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise die Leibniz-Formel für die Determinante direkt aus dem Distributivgesetz für multilineare Abbildungen.


Lösung

Es sei

Wir schreiben die -te Zeile der Matrix als . Damit ist unter Verwendung der Multilinearität in den Zeilen

Hierbei beruht die vorletzte Gleichung darauf, dass die Determinante von gleich ist, sobald ein Vektor mehrfach vorkommt, und man daher nur über die Permutationen aufsummieren muss. Die letzte Gleichung beruht darauf, dass man durch eine Anzahl an Zeilenvertauschungen aus die Einheitsmatrix mit Determinante erhält. Bei jeder Zeilenvertauschung ändert sich die Determinante um und dies entspricht der Änderung des Signums bei einer Transposition.


Aufgabe (6 Punkte)

Bestimme explizit die reellen -Matrizen der Form

mit


Lösung

Die Bedingung bedeutet

Aus

folgt oder . Bei folgt aus den Einträgen rechts oben und links unten direkt

Daraus ergibt sich aus links oben und rechts unten ebenfalls

was der Annahme widerspricht. Es muss also

sein, also

Damit sind die Bedingungen rechts oben und links unten erfüllt und die beiden anderen Bedingungen sind äquivalent und bedeuten einfach

Wenn (bzw. ) ist, so ist

und (bzw. ) beliebig. Dies führt zu den Lösungen und . Seien nun

Wenn beide positiv oder beide negativ sind, so gibt es keine Lösung für . Also müssen die Vorzeichen von und verschieden sein. In diesem Fall ist

eine Lösung.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung und seien Elemente in . Zeige, dass

ist.


Lösung

Sei . Dann ist

Also ist

woraus wegen direkt folgt.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper und es sei

eine lineare Abbildung. Zeige, dass das charakteristische Polynom und das Minimalpolynom die gleichen Nullstellen besitzen.


Lösung

Dass die Nullstellen des Minimalpolynoms auch Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind, folgt direkt aus Cayley-Hamilton. Umgekehrt sei eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms und sei ein Eigenvektor von zum Eigenwert , den es nach Satz 23.2 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) gibt. Das Minimalpolynom schreiben wir als

wobei nullstellenfrei sei. Dann ist

Wir wenden dies auf an. Nach Lemma 24.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) bilden die Faktoren den Vektor auf bzw. auf ab. Insgesamt wird somit auf

abgebildet. Da die Gesamtabbildung die Nullabbildung und ist, muss ein sein.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine nilpotente lineare Abbildung, die auch diagonalisierbar sei. Zeige


Lösung

Den diagonalisierbaren Endomorphismus kann man bezüglich einer geeigneten Basis als Diagonalmatrix

darstellen. Die -te Potenz davon ist

Wegen der Nilpotenz gibt es ein , wo dies die Nullmatrix ist, also ist

für alle . In einem Körper folgt aber aus direkt , so dass schon die Nullmatrix ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Eine lineare Abbildung

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der durch die Matrix

beschrieben wird.


Lösung

Es ist

und

Der Vektor gehört nicht zum Kern von , daher kann man aus den sukzessiven Bildern davon eine Basis wie gewünscht herstellen. Es ist

und

Daher ist

eine Basis, bezüglich der die jordansche Normalform

vorliegt.


Aufgabe (8 Punkte)

Es sei ein affiner Raum über einem -Vektorraum und es sei

eine endliche Familie von Punkten aus . Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. Die Punkte sind affin unabhängig.
  2. Für jedes ist die Vektorfamilie

    linear unabhängig.

  3. Es gibt ein derart, dass die Vektorfamilie

    linear unabhängig ist.

  4. Die Punkte bilden in dem von ihnen erzeugten affinen Unterraum eine affine Basis.


Lösung

Von (1) nach (2). Sei fixiert. Nehmen wir an, dass die Vektoren , linear abhängig sind. Dann gibt es ein

derart, dass sich als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen lässt. Es gilt also

Dann ist

mit

Somit liegen zwei verschiedene baryzentrische Kombinationen des gleichen Punktes vor im Widerspruch zur affinen Unabhängigkeit.


Von (2) nach (3) ist eine Abschwächung (wenn die Punktmenge leer ist, so sind alle vier Bedingungen wahr).


Von (3) nach (4). Die Familie
ist linear unabhängig, daher eine Basis des davon erzeugten Untervektorraums. Daher ist nach Definition eine affine Basis des von (Ihnen erzeugten Unterraums.


Von (4) nach (1). Seien
zwei baryzentrische Kombinationen, also
und damit
Weil eine affine Basis des von Ihnen erzeugten Raumes bilden, ist die Familie , linear unabhängig in und daher gilt .