Kurs:Lineare Algebra/Teil I/55/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	1	7	3	4	4	8	4	4	3	2	7	2	4	4	1	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Teilmenge ${}T$ einer Menge ${}M$.
2. Ein Erzeugendensystem ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eines ${}K$-Vektorraumes ${}V$.
3. Die beschreibende Matrix zu einer linearen Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen ${}V$ und ${}W$ bezüglich einer Basis  ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$  von ${}V$ und einer Basis  ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$  von ${}W$.

4. Die Determinante einer ${}n\times n$- Matrix ${}M$.
5. Der Polynomring über einem Körper ${}K$ (einschließlich der darauf definierten Verknüpfungen).
6. Der Hauptraum zu einer linearen Abbildung ${}\varphi$ auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ und einem Eigenwert ${}\lambda \in K$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Anzahl von Basiselementen.
2. Der Satz über die Umkehrabbildung einer linearen Abbildung
3. Die Leibniz-Formel für die Determinante.

Aufgabe (1 Punkt)

Wie sinnvoll ist die Gleichungskette

${}{\text{Pythagoras}}=c^{2}=a^{2}+b^{2}\,?$

Aufgabe * weiter

Auf der Dating-Plattform „Catch your match“ ist eine Menge ${}M$ von Personen registriert. Es gibt ferner eine Menge ${}E$ von Eigenschaften, über die die Personen verfügen oder nicht (was man dem Profil entnehmen kann). Zu einer Teilmenge an Eigenschaften  ${}W\subseteq E$  (Wunscheigenschaften) definieren wir

${}W^{\perp }={\left\{m\in M\mid m{\text{ besitzt alle Eigenschaften aus }}W\right\}}\,$

und zu einer Teilmenge  ${}S\subseteq M$  definieren wir

${}S^{\perp }={\left\{e\in E\mid {\text{ jeder Mensch aus }}S{\text{ besitzt die Eigenschaft }}e\right\}}\,.$

1. Beschreibe zu einer Eigenschaft  ${}e\in E$  die Menge ${}\{e\}^{\perp }$ mit einem Satz.
2. Beschreibe zu einer Person  ${}m\in M$  die Menge ${}\{m\}^{\perp }$ mit einem Satz.
3. Warum ist vermutlich  ${}E^{\perp }=\emptyset$? 
4. Zeige: Zu Teilmengen  ${}W_{1}\subseteq W_{2}$  (in ${}E$) ist

   ${}{\left(W_{1}\right)}^{\perp }\supseteq {\left(W_{2}\right)}^{\perp }\,.$

5. Zeige: Für eine beliebige Teilmenge  ${}W\subseteq E$  ist

   ${}W\subseteq {\left(W^{\perp }\right)}^{\perp }\,.$

6. Zeige: Für eine Vereinigung

   ${}W=W_{1}\cup W_{2}\subseteq E\,$

   ist

   ${}{\left(W_{1}\cup W_{2}\right)}^{\perp }={\left(W_{1}\right)}^{\perp }\cap {\left(W_{2}\right)}^{\perp }\,.$

7. Gilt für einen Durchschnitt

   ${}W=W_{1}\cap W_{2}\subseteq E\,$

   die Beziehung

   ${}{\left(W_{1}\cap W_{2}\right)}^{\perp }={\left(W_{1}\right)}^{\perp }\cup {\left(W_{2}\right)}^{\perp }\,?$

8. Gilt für eine beliebige Teilmenge  ${}W\subseteq E$  die Beziehung

   ${}W^{\perp }={\left({\left(W^{\perp }\right)}^{\perp }\right)}^{\perp }\,?$

Aufgabe * (3 (1.5+1.5) Punkte)

Ein Zug fährt ${}100$ Kilometer den Rhein abwärts mit einer Geschwindigkeit von ${}100$ kmh. Auf dem Rhein fahren Schiffe in beide Richtungen, alle mit einer Geschwindigkeit von ${}20$ kmh, wobei sie zu den gleichgerichteten Schiffen einen konstanten Abstand von ${}2$ km einhalten. Zu Beginn der Fahrt ist der Zug gleichauf mit zwei Schiffen (in beide Richtungen).

1. Wie vielen entgegenkommenden Schiffen begegnet der Zug?
2. Wie viele Schiffe überholt der Zug?

Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das inhomogene lineare Gleichungssystem

${\begin{matrix}4x&+2y&\,\,\,\,-z&+2w&=&3\\x&+y&+2z&\,\,\,\,-w&=&1\\-x&\,\,\,\,\,\,\,\,&\,\,\,\,-z&+3w&=&2\\3x&\,\,\,\,\,\,\,\,&+3z&-2w&=&0\,.\end{matrix}}$

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Geraden, die durch die beiden Punkte ${}(-1,1)$ und ${}(4,-2)$ verläuft.

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Basisaustauschsatz.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R}$

mit

$\varphi {\begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}}=6,\,\varphi {\begin{pmatrix}4\\-1\\-2\end{pmatrix}}=7{\text{ und }}\varphi {\begin{pmatrix}0\\5\\-5\end{pmatrix}}=-3$

gegeben. Berechne

$\varphi {\begin{pmatrix}1\\5\\4\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Matrixbeschreibung für die duale Abbildung.

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne die Determinante der Matrix

${\begin{pmatrix}-2-{\mathrm {i} }&3-4{\mathrm {i} }&2{\mathrm {i} }\\0&6+7{\mathrm {i} }&4\\3+3{\mathrm {i} }&4-3{\mathrm {i} }&-4-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (2 Punkte)

Ersetze im Term ${}4x^{2}+3x+7$ die Variable ${}x$ durch den Term ${}y^{3}+5$ und vereinfache den entstehenden Ausdruck.

Aufgabe * (7 Punkte)

Betrachte die Funktion

${}F(x)=x^{4}-x^{3}\,.$

Finde  ${}a,b,c,d\in \mathbb {R}$  derart, dass

${}x^{4}-x^{3}=(x-a)^{2}(x-b)^{2}+cx+d\,$

gilt.

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}3&5\\4&1\end{pmatrix}}\,.$

a) Bestimme das charakteristische Polynom von ${}M$.

b) Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton für ${}M$ durch eine explizite Rechnung.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Beziehung zwischen geometrischer und algebraischer Vielfachheit.

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Es sei

${}V=V_{1}\oplus V_{2}\,$

eine direkte Summenzerlegung in ${}\varphi$- invariante Untervektorräume. Wir können also  ${}\varphi =\varphi _{1}\oplus \varphi _{2}$  mit  ${}\varphi _{1}=\varphi {|}_{V_{1}}$  und  ${}\varphi _{2}=\varphi {|}_{V_{2}}$  schreiben.

a) Es sei  ${}U_{1}\subseteq V_{1}$  ein ${}\varphi _{1}$-invarianter Untervektorraum und  ${}U_{2}\subseteq V_{2}$  ein ${}\varphi _{2}$-invarianter Untervektorraum. Zeige, dass ${}U_{1}\oplus U_{2}$ ein ${}\varphi$-invarianter Untervektorraum ist.

b) Man gebe ein Beispiel für einen ${}\varphi$-invarianten Untervektorraum  ${}U\subseteq V$,  der nicht von der in a) beschriebenen Form ist.

Aufgabe * (1 Punkt)

Es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum, den wir auch als affinen Raum über sich selbst auffassen. Es seien  ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$.  Zeige, dass die Familie dieser Vektoren genau dann linear unabhängig ist, wenn die Familie  ${}0,v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$  affin unabhängig ist.