Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 17/latex

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\setcounter{section}{17}






\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {invertierbare}{}{} $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det { \left( M^{-1} \right) } }
{ =} { { \left( \det M \right) }^{-1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $A$ eine $m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} und $B$ eine
\mathl{n \times k}{-}Matrix, wobei die Spalten von $B$ \definitionsverweis {linear abhängig}{}{} seien. Zeige, dass die Spalten von
\mathl{A \circ B}{} ebenfalls linear abhängig sind.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für die beiden Matrizen
\mathdisp {A = \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 2 & -4 \end{pmatrix} \text{ und } B = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 6 & 5 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für die beiden Matrizen
\mathdisp {A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 5 \\0 & 2 & -1 \end{pmatrix} \text{ und } B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 7 \\ 0 & 3 & 6 \\0 & -2 & -3 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass man die \definitionsverweis {Determinante}{}{} nach jeder Zeile und nach jeder Spalte entwickeln kann.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Man berechne die \definitionsverweis {Determinante}{}{} der \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 2 & 7 \\ 1 & 4 & 5 \\6 & 0 & 3 \end{pmatrix}} { , }
indem man die Matrix nach allen Spalten und nach allen Zeilen entwickle.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Was ist die \definitionsverweis {Determinante}{}{} einer \definitionsverweis {Streckung}{}{} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für zwei \definitionsverweis {Streckungen}{}{} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} \definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}

}
{} {}

Die beiden folgenden Aufgaben verwenden den Begriff des Gruppenhomomorphismus.

Seien \mathkor {} {(G, \circ, e_G)} {und} {(H, \circ, e_H)} {} \definitionsverweis {Gruppen}{}{.} Eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbdisp {\psi} {G} {H } {} heißt \definitionswort {Gruppenhomomorphismus}{,} wenn die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi( g \circ g') }
{ =} { \psi (g) \circ \psi (g') }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g,g' }
{ \in }{G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.





\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{n \in \N_+}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Determinante}{}{} \maabbeledisp {} { \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) } } {(K \setminus \{0\},\cdot, 1) } {M} { \det M } {,} ein \definitionsverweis {surjektiver}{}{} \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $n, m \in \N_+,\, n \leq m$. Definiere \definitionsverweis {injektive}{}{} \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{}{} \maabbdisp {} { \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) } } { \operatorname{GL}_{ m } \! { \left( K \right) } } {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{n,r \in \N_+}{.} Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} { \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) } } {(K \setminus \{0\},\cdot, 1) } {M} {\det M^r } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 &2 \end{pmatrix}} { . }
Zeige, dass diese Matrix einen \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} von $\Q^2$ nach $\Q^2$ und ebenso von \mathkor {} {\Z^2} {nach} {\Z^2} {} definiert. Untersuche diese beiden Gruppenhomomorphismen in Hinblick auf \definitionsverweis {Injektivität}{}{} und \definitionsverweis {Surjektivität}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} mit Einträgen aus $\Z$ und \maabbdisp {\varphi_M} {\Z^n} { \Z^n } {} der zugehörige \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Zeige, dass $\varphi_M$ genau dann \definitionsverweis {bijektiv}{}{} ist, wenn die \definitionsverweis {Determinante}{}{} von $M$ gleich $1$ oder gleich $-1$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Löse das \definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 6 & 4 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\x_2 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 8 \\3 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit Hilfe der Cramerschen Regel.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die Matrix
\mathdisp {A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \in \operatorname{Mat}_{3 \times 3}(\R)} { . }
Löse das lineare Gleichungssystem
\mathl{Ax =(1,0,2)^t}{} mit Hilfe der Cramerschen Regel (man überlege sich natürlich vorher, ob man diese Regel überhaupt anwenden darf).

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabegibtloesung
{(12 (3+1+1+1+2+2+2)}
{

Die \stichwort {Sarrusminante} {} einer $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} berechnet sich, indem man die ersten $n-1$ Spalten der Matrix in der gleichen Reihenfolge an die Matrix anfügt und dann die $n$ Produkte der Hauptdiagonalen aufaddiert und die $n$ Produkte der Nebendiagonalen davon subtrahiert. Wir beschränken uns auf den Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{4 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Für eine Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M }
{ =} { \begin{pmatrix} a & b & c & d \\ e & f & g & h \\ l & m & n & p \\ q & r & s & t \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} betrachtet man also
\mathdisp {\begin{pmatrix} a & b & c & d & a & b & c \\ e & f & g & h & e & f & g \\ l & m & n & p & l & m & n \\ q & r & s & t & q & r & s\end{pmatrix}} { }
und die Sarrusminante ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ sar}_{ } ^{ } { \left( M \right) } }
{ =} {afnt+bgpq+ch l r +dems -qmgd-rnha-speb-tlfc }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

1) Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {\Psi} { \operatorname{Mat}_{ 4 } (K) } {K } {M} { \operatorname{ sar}_{ } ^{ } { \left( M \right) } } {,} \definitionsverweis {multilinear}{}{} \zusatzklammer {in den Zeilen der Matrix} {} {} ist.

2) Zeige, dass für
\mathl{4 \times 4}{-}Matrizen, die eine Nullzeile enthalten, die Sarrusminante $0$ ist.

3) Zeige, dass für
\mathl{4 \times 4}{-}Matrizen, die eine Nullspalte enthalten, die Sarrusminante $0$ ist.

4) Zeige, dass für eine obere Dreiecksmatrix die Sarrusminante das Produkt der Diagonalelemente ist.

5) Zeige, dass die Sarrusminante nicht alternierend ist.

6) Man gebe ein Beispiel für eine invertierbare Matrix, deren Sarrusminante gleich $0$ ist.

7) Man gebe ein Beispiel für eine nicht-invertierbare Matrix, deren Sarrusminante gleich $1$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für die beiden Matrizen
\mathdisp {A = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 7 \\ 2 & 0 & -1 \\1 & 3 & 4 \end{pmatrix} \text{ und } B = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 5 \\2 & 0 & -3 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Löse mit der Cramerschen Regel das \definitionsverweis {inhomogene lineare Gleichungssystem}{}{} \zusatzklammer {über $\Q$} {} {}
\mathdisp {\begin{matrix} 2 x +4 y +3 z & = & 3 \\ x +5 y +7 z & = & 3 \\ 3 x +5 y +2 z & = & 4 \, . \end{matrix}} { }

}
{} {}




\inputaufgabe
{8}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} über den \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{} ${\mathbb C}$ und sei \maabbdisp {\varphi} {V } {V } {} eine ${\mathbb C}$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Wir betrachten $V$ auch als reellen Vektorraum der doppelten Dimension, worauf $\varphi$ auch eine reell-lineare Abbildung ist, die wir zur Unterscheidung mit $\psi$ bezeichnen. Zeige, dass zwischen der komplexen Determinante und der reellen Determinante die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \det \varphi }^2 }
{ =} { \det \psi }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} besteht.

}
{} {}


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