- Die Pausenaufgabe
- Übungsaufgaben
Berechne die
Determinante
der
Matrix
-
Berechne die
Determinante
der
Matrix
-
Es sei ein
Körper. Zeige, dass die Multiplikation
-
multilinear ist. Ist sie
alternierend?
Es sei ein
Körper und . Zeige, dass die
Abbildung
-
multilinear ist.
Es sei ein
Körper
und seien
und
endliche Indexmengen. Zeige, dass die Abbildung
-
mit
-
multilinear
ist.
Zeige, dass für jede
Elementarmatrix die Beziehung
-
gilt.
Man begründe anhand des Bildes, dass zu zwei Vektoren
und
die
Determinante der durch die Vektoren definierten -Matrix mit dem Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms
(bis auf das Vorzeichen)
übereinstimmt.
Es sei und
-
die zugehörige Multiplikation. Bestimme die
Determinante
dieser Abbildung, wenn man sie als reell-lineare Abbildung
auffasst.
Es sei ein
Körper und seien und
Vektorräume
über . Es sei
-
eine
multilineare Abbildung
und es seien und . Zeige
-
Es sei ein
Körper und seien und
Vektorräume
über . Es seien
, ,
Erzeugendensysteme
von
, .
Zeige, dass eine
multilineare Abbildung
-
durch
-
festgelegt ist.
Es sei ein
Körper. Zeige, dass die
Abbildung
-
multilinear
ist, aber nicht
alternierend.
Es sei ein
Körper. Ist die
Abbildung
-
multilinear in den Zeilen? In den Spalten?
Es sei ein
Körper und
.
Zeige, dass die
Determinante
-
für beliebiges
und beliebige Vektoren
,
für
und für
die Gleichheit
-
gilt.
Es sei ein
Körper, es seien und
Vektorräume
über und es sei
-
eine
multilineare Abbildung.
Zeige, dass die Menge
-
im Allgemeinen kein
Untervektorraum
von ist.
Es sei ein
Körper und seien und
Vektorräume
über . Zeige, dass die Menge aller
multilinearen
Abbildungen, die mit bezeichnet wird, in natürlicher Weise ein Vektorraum ist.
Es sei ein
Körper, seien und
Vektorräume
über und . Zeige, dass die Menge aller
alternierenden
Abbildungen, die mit bezeichnet wird, in natürlicher Weise ein
Untervektorraum
von
(wobei der Vektorraum -fach auftritt)
ist.
Es sei ein
Körper,
und
seien
-
Vektorräume
und
-
sei eine
-
lineare Abbildung und es sei
-
eine
multilineare Abbildung.
Zeige, dass dann auch die verknüpfte Abbildung
-
multilinear ist. Zeige ebenfalls, dass wenn
alternierend
ist, dass dann auch alternierend ist, und dass hiervon bei bijektiv auch die Umkehrung gilt.
Es sei ein
Körper und seien und
Vektorräume
über . Es seien
-
lineare Abbildungen
und sei
-
eine
multilineare Abbildung.
Zeige, dass die Abbildung
-
ebenfalls multilinear ist.
Berechne zur (komplexen)
Matrix
-
die
Determinante
und die
inverse Matrix.
Bestimme, für welche die Matrix
-
invertierbar
ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Berechne die
Determinante
der
Matrix
-
Berechne die Determinante der Matrix
-
Es sei ein Körper und seien Vektorräume über . Es seien
-
(),
lineare Abbildungen.
Zeige, dass dann die Abbildung
-
multilinear
ist.