Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Vorlesung 17

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„Was die Menschen verbindet, ist nicht der Glaube, sondern der Zweifel“
Peter Ustinow



Universelle Eigenschaft der Determinante

Die für die Determinante charakteristischen Eigenschaften, multilinear und alternierend zu sein und die Bedingung, dass die Determinante der Einheitsmatrix gleich ist, legt die Determinante eindeutig fest.


Definition  

Es sei ein -dimensionaler Vektorraum über einem Körper . Eine Abbildung

heißt Determinantenfunktion, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind.

  1. ist multilinear.
  2. ist alternierend.



Lemma  

Es sei ein Körper und . Es sei

eine Determinantenfunktion.

Dann besitzt folgende Eigenschaften.

  1. Wenn man eine Zeile von mit multipliziert, so ändert sich um den Faktor .
  2. Wenn in eine Nullzeile vorkommt, so ist .
  3. Wenn man in zwei Zeilen vertauscht, so ändert sich mit dem Faktor .
  4. Wenn man zu einer Zeile ein skalares Vielfaches einer anderen Zeile dazuaddiert, so ändert sich nicht.
  5. Wenn ist, so ist für eine obere Dreiecksmatrix .

Beweis  

(1) und (2) folgen direkt aus der Multilinearität.
(3) folgt aus Lemma 16.8.
Zu (4) betrachten wir die Situation, wo zur -ten Zeile das -fache der -ten Zeile addiert wird, . Aufgrund der schon bewiesenen Teile ist dann


(5). Wenn ein Diagonalelement ist, so sei . Zur -ten Zeile kann man durch Hinzuaddieren von geeigneten Vielfachen der -ten Zeilen, , erreichen, dass aus der -ten Zeile eine Nullzeile wird, ohne dass sich der Wert der Determinantenfunktion ändert. Nach (2) muss dieser Wert dann sein. Wenn kein Diagonalelement ist, so kann man durch wiederholte Skalierung erreichen, dass alle Diagonalelemente zu werden, und durch Zeilenadditionen kann man erreichen, dass die Einheitsmatrix entsteht. Daher ist






Satz  

Es sei ein Körper und .

Dann gibt es genau eine Determinantenfunktion

mit

wobei die Standardvektoren sind, nämlich die Determinante.

Beweis  

Die Determinante besitzt aufgrund von Satz 16.9, Satz 16.10 und Lemma 16.4 die angegebenen Eigenschaften.
Zur Eindeutigkeit. Zu jeder Matrix gibt es eine Folge von elementaren Zeilenumformungen derart, dass das Ergebnis eine obere Dreiecksmatrix ist. Dabei ändert sich nach Lemma 17.2 bei einer Vertauschung von Zeilen der Wert der Determinante mit dem Faktor , bei der Umskalierung einer Zeile um den Skalierungsfaktor und bei der Addition einer Zeile zu einer anderen Zeile gar nicht. Daher ist eine Determinantenfunktion durch die Werte auf einer oberen Dreiecksmatrix bzw. nach Skalierung und Zeilenaddition sogar auf der Einheitsmatrix festgelegt.




Der Determinantenmultiplikationssatz

Wir besprechen weitere wichtige Sätze über Determinanten.



Satz  

Es sei ein Körper und .

Dann gilt für Matrizen die Beziehung

Beweis  

Wir fixieren die Matrix . Es sei zunächst . Dann ist nach Satz 16.11 die Matrix nicht invertierbar und damit ist auch nicht invertierbar und somit wiederum . Sei nun invertierbar. In diesem Fall betrachten wir die wohldefinierte Abbildung

Wir wollen zeigen, dass diese Abbildung gleich der Abbildung ist, indem wir die die Determinante charakterisierenden Eigenschaften nachweisen und Satz 17.3 anwenden. Wenn die Zeilen von sind, so ergibt sich , indem man auf die Zeilen die Determinante anwendet und mit multipliziert. Daher folgt die Multilinearität und die alternierende Eigenschaft aus Aufgabe 16.27. Wenn man mit startet, so ist und daher ist





Satz  

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über .

Dann ist

Beweis  

Wenn nicht invertierbar ist, so ist nach Satz 16.11 die Determinante und der Rang kleiner als . Dies gilt auch für die transponierte Matrix, so dass deren Determinante wiederum ist. Sei also invertierbar. Wir führen diese Aussage in diesem Fall auf die entsprechende Aussage für Elementarmatrizen zurück, wofür sie direkt verifiziert werden kann, siehe Aufgabe 16.12. Es gibt nach Lemma 12.8 Elementarmatrizen derart, dass

eine Diagonalmatrix ist. Nach Aufgabe ***** ist

bzw.

Die Diagonalmatrix ändert sich beim Transponieren nicht. Da die Determinanten von Elementarmatrizen sich beim Transponieren auch nicht ändern, gilt


Daraus folgt, dass man die Determinante auch berechnen kann, indem man „nach einer Zeile entwickelt“, wie die folgende Aussage zeigt.



Korollar  

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Zu sei diejenige Matrix, die entsteht, wenn man in die -te Zeile und die -te Spalte weglässt.

Dann ist (bei für jedes feste bzw. )

Beweis  

Für ist die erste Gleichung die rekursive Definition der Determinante. Daraus folgt die Aussage für aufgrund von Satz 17.5. Durch Spalten- und Zeilenvertauschung folgt die Aussage daraus allgemein, siehe Aufgabe 17.5.




Die Determinante einer linearen Abbildung

Es sei

eine lineare Abbildung eines Vektorraumes der Dimension in sich. Diese wird bezüglich einer Basis durch eine Matrix beschrieben. Es liegt nahe, die Determinante dieser Matrix als Determinante der linearen Abbildung zu definieren, doch hat man hier das Problem der Wohldefiniertheit: die lineare Abbildung wird bezüglich einer anderen Basis durch eine „völlig“ andere Matrix beschrieben. Allerdings besteht zwischen den zwei beschreibenden Matrizen und und der Basiswechselmatrix aufgrund von Korollar 11.11 die Beziehung

Aufgrund des Determinantenmultiplikationssatzes ist daher

so dass die folgende Definition in der Tat unabhängig von der Wahl einer Basis ist.


Definition  

Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung, die bezüglich einer Basis durch die Matrix beschrieben werde. Dann nennt man

die Determinante der linearen Abbildung .



Adjungierte Matrix und Cramersche Regel

Definition  

Zu einer quadratischen Matrix heißt

wobei die Streichungsmatrix zur -ten Zeile und zur -ten Spalte ist, die adjungierte Matrix von .

Achtung, bei der Definition der Einträge der adjungierten Matrix werden Zeilen und Spalten vertauscht.



Satz  

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über .

Dann ist

Wenn invertierbar ist, so ist

Beweis  

Sei . Die Koeffizienten der adjungierten Matrix seien

Die Koeffizienten des Produktes sind

Bei ist dies , da es sich bei dieser Summe um die Entwicklung der Determinante nach der -ten Spalte handelt. Sei und es sei die Matrix, die aus entsteht, wenn man in die -te Spalte durch die -te Spalte ersetzt. Wenn man nach der -ten Spalte entwickelt, so ist dies

Also sind diese Koeffizienten , und damit stimmt die erste Gleichung.
Die zweite Geichung ergibt sich ebenso, wobei man die Entwicklung der Determinante nach den verschiedenen Zeilen ausnutzen muss.




Satz  

Es sei ein Körper und

ein inhomogenes lineares Gleichungssystem. Es sei vorausgesetzt, dass die beschreibende Matrix invertierbar sei.

Dann erhält man die eindeutige Lösung für durch .

Beweis  

Für eine invertierbare Matrix ergibt sich die Lösung für das lineare Gleichungssystem , indem man anwendet, d.h. es ist . Unter Verwendung von Satz 17.9 bedeutet dies . Für die -te Komponente bedeutet dies

Der rechte Faktor ist dabei die Entwicklung der Determinante der Matrix im Zähler nach der -ten Spalte.



Beispiel  

Wir lösen das lineare Gleichungssystem

mit Hilfe der Cramerschen Regel. Es ist

und



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