Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 26/latex
\setcounter{section}{26}
\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von \mathkor {} {X^2-1} {und} {X^3-1} {} sowie eine Darstellung davon.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von \mathkor {} {X-1} {und} {X-2} {} sowie eine Darstellung davon.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von \mathkor {} {X^4-X^3+7X^2-5X+11} {und} {X^3-6X^2+4X+6} {} sowie eine Darstellung davon.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme in $\Q[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome \mathkor {} {P=X^3+2X^2+5X+2} {und} {Q= X^2+4X-3} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme in $\Q[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome \mathkor {} {P=X^9-1} {und} {Q= X^3-1} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme in $\R[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome \mathkor {} {P=X^3+ \pi X^2+ 7} {und} {Q= X^2+\sqrt{7} X - \sqrt{2}} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme in ${\mathbb F}_5[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome \mathkor {} {P=X^4+3 X^3+ X^2+4X+2} {und} {Q=2X^3+4 X^2+ X+3} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$ und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F,G
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zwei Polynome. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.}
Zeige, dass $F$ ein Teiler von $G$ in $K[X]$ genau dann ist, wenn $F$ ein Teiler von $G$ in $L[X]$ ist.
}
{} {}
Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den euklidischen Algorithmus für ganze Zahlen, der völlig analog zum euklidischen Algorithmus für Polynome läuft.
\inputaufgabe
{}
{
Die Wasserspedition \anfuehrung{Alles im Eimer}{} verfügt über einen $7$- und einen $10$-Liter-Eimer, die allerdings keine Markierungen haben. Sie erhält den Auftrag, insgesamt genau einen Liter Wasser von der Nordsee in die Ostsee zu transportieren. Kann sie diesen Auftrag erfüllen?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme in $\Z$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} von $1071$ und $1029$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme in $\Z$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} von $2956$ und $2444$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man bestimme den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} von \mathkor {} {3146} {und} {1515} {} und man gebe eine Darstellung des $\operatorname{ggT}$ von \mathkor {} {3146} {und} {1515} {} mittels dieser Zahlen an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Kerne}{}{}
der Potenzen
\mathl{M^i}{} zur Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Kerne der Potenzen
\mathl{M^i}{} zur Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 3 & 1 & 7 \\ 0 & 3 & 5 \\0 & 0 & 3 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bestimme die
\definitionsverweis {Kerne}{}{}
zu den Potenzen
\mathdisp {{ \left( 3 E_3 -M \right) }^{i}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Haupträume}{}{}
zur Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass für eine
\definitionsverweis {diagonalisierbare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} { V } { V
} {}
und jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Eig}_{ \lambda } { \left( \varphi \right) }
}
{ =} { \operatorname{Haupt}_{ \lambda } (\varphi)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {trigonalisierbare}{}{}
Abbildung. Zeige, dass $\varphi$ genau dann
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{}
ist, wenn für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Eig}_{ \lambda } { \left( \varphi \right) }
}
{ =} { \operatorname{Haupt}_{ \lambda } (\varphi)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
ein
\definitionsverweis {trigonalisierbarer}{}{} \definitionsverweis {Endomorphismus}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} {H_1 \oplus \cdots \oplus H_m
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {direkte Summenzerlegung}{}{}
in
\definitionsverweis {Haupträume}{}{}
im Sinne von
Satz 26.12.
Zeige, dass es eine
$\varphi$-\definitionsverweis {invariante Fahne}{}{}
\mathl{V_i}{} derart gibt, dass in der Fahne die Untervektorräume
\mathdisp {H_1, H_1 \oplus H_2 , \ldots , H_1 \oplus \cdots \oplus H_j} { }
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ j
}
{ = }{ 1 , \ldots , m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auftreten.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme in ${\mathbb C}[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome \mathkor {} {X^3+ (2- { \mathrm i} )X^2+ 4} {und} {(3- { \mathrm i})X^2+5 X -3} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Wir betrachten eine digitale Uhr, die $24$ Stunden, $60$ Minuten und $60$ Sekunden anzeigt. Zur Karnevalszeit läuft sie aber nicht in Sekundenschritten, sondern addiert, ausgehend von der Nullstellung, in jedem Zählschritt immer $11$ Stunden, $11$ Minuten und $11$ Sekunden dazu. Wird bei dieser Zählweise jede mögliche digitale Anzeige erreicht? Nach wie vielen Schritten kehrt zum ersten Mal die Nullstellung zurück?
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom. Zeige, dass
\mathdisp {\operatorname{kern} { \left( P(\varphi) \right) }} { }
ein
$\varphi$-\definitionsverweis {invarianter}{}{}
Untervektorraum ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Haupträume}{}{}
zur Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 3 & 0 & 6 & 0 \\
0 & 0 & 1& 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 5 & 2 & 7 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5
\end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
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