Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 26/latex

\setcounter{section}{26}

\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von \mathkor {} {X^2-1} {und} {X^3-1} {} sowie eine Darstellung davon.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von \mathkor {} {X-1} {und} {X-2} {} sowie eine Darstellung davon.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von \mathkor {} {X^4-X^3+7X^2-5X+11} {und} {X^3-6X^2+4X+6} {} sowie eine Darstellung davon.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme in $\Q[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome \mathkor {} {P=X^3+2X^2+5X+2} {und} {Q= X^2+4X-3} {.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme in $\Q[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome \mathkor {} {P=X^9-1} {und} {Q= X^3-1} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme in $\R[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome \mathkor {} {P=X^3+ \pi X^2+ 7} {und} {Q= X^2+\sqrt{7} X - \sqrt{2}} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme in ${\mathbb F}_5[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome \mathkor {} {P=X^4+3 X^3+ X^2+4X+2} {und} {Q=2X^3+4 X^2+ X+3} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$ und seien $F,G \in K[X]$ zwei Polynome. Es sei $K \subseteq L$ eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.} Zeige, dass $F$ ein Teiler von $G$ in $K[X]$ genau dann ist, wenn $F$ ein Teiler von $G$ in $L[X]$ ist.

}
{} {}

Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den euklidischen Algorithmus für ganze Zahlen, der völlig analog zum euklidischen Algorithmus für Polynome läuft.


\inputaufgabe
{}
{

Die Wasserspedition \anfuehrung{Alles im Eimer}{} verfügt über einen $7$- und einen $10$-Liter-Eimer, die allerdings keine Markierungen haben. Sie erhält den Auftrag, insgesamt genau einen Liter Wasser von der Nordsee in die Ostsee zu transportieren. Kann sie diesen Auftrag erfüllen?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme in $\Z$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} von $1071$ und $1029$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme in $\Z$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} von $2956$ und $2444$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man bestimme den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} von \mathkor {} {3146} {und} {1515} {} und man gebe eine Darstellung des $\operatorname{ggT}$ von \mathkor {} {3146} {und} {1515} {} mittels dieser Zahlen an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Kerne}{}{} der Potenzen
\mathl{M^i}{} zur Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Kerne der Potenzen
\mathl{M^i}{} zur Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} 3 & 1 & 7 \\ 0 & 3 & 5 \\0 & 0 & 3 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Bestimme die \definitionsverweis {Kerne}{}{} zu den Potenzen
\mathdisp {{ \left( 3 E_3 -M \right) }^{i}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Haupträume}{}{} zur Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass für eine \definitionsverweis {diagonalisierbare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} und jedes
\mathl{\lambda \in K}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Eig}_{ \lambda } { \left( \varphi \right) } }
{ =} { \operatorname{Haupt}_{ \lambda } (\varphi) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {trigonalisierbare}{}{} Abbildung. Zeige, dass $\varphi$ genau dann \definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{} ist, wenn für jedes
\mathl{\lambda \in K}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Eig}_{ \lambda } { \left( \varphi \right) } }
{ =} { \operatorname{Haupt}_{ \lambda } (\varphi) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} ein \definitionsverweis {trigonalisierbarer}{}{} \definitionsverweis {Endomorphismus}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V }
{ =} {H_1 \oplus \cdots \oplus H_m }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die \definitionsverweis {direkte Summenzerlegung}{}{} in \definitionsverweis {Haupträume}{}{} im Sinne von Satz 26.12. Zeige, dass es eine $\varphi$-\definitionsverweis {invariante Fahne}{}{}
\mathl{V_i}{} derart gibt, dass in der Fahne die Untervektorräume
\mathdisp {H_1, H_1 \oplus H_2 , \ldots , H_1 \oplus \cdots \oplus H_j} { }
für
\mathl{j=1 , \ldots , m}{} auftreten.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme in ${\mathbb C}[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome \mathkor {} {X^3+ (2- { \mathrm i} )X^2+ 4} {und} {(3- { \mathrm i})X^2+5 X -3} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Wir betrachten eine digitale Uhr, die $24$ Stunden, $60$ Minuten und $60$ Sekunden anzeigt. Zur Karnevalszeit läuft sie aber nicht in Sekundenschritten, sondern addiert, ausgehend von der Nullstellung, in jedem Zählschritt immer $11$ Stunden, $11$ Minuten und $11$ Sekunden dazu. Wird bei dieser Zählweise jede mögliche digitale Anzeige erreicht? Nach wie vielen Schritten kehrt zum ersten Mal die Nullstellung zurück?

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Es sei
\mathl{P \in K[X]}{} ein Polynom. Zeige, dass
\mathdisp {\operatorname{kern} { \left( P(\varphi) \right) }} { }
ein $\varphi$-\definitionsverweis {invarianter}{}{} Untervektorraum ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Haupträume}{}{} zur Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 1& 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & 2 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}