Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 2/latex

\setcounter{section}{2}

\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe Beispiele für \definitionsverweis {Abbildungen}{}{} \maabbdisp {\varphi, \psi} {\N} {\N } {} derart, dass $\varphi$ \definitionsverweis {injektiv}{}{,} aber nicht \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist, und dass $\psi$ surjektiv, aber nicht injektiv ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Welche Funktionsvorschriften kennen Sie aus der Schule?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Woran erkennt man am \definitionsverweis {Graphen}{}{} einer Abbildung \maabbdisp {f} {\R} { \R } {,} ob $f$ \definitionsverweis {injektiv}{}{} bzw. \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Welche \definitionsverweis {bijektiven}{}{} Funktionen \maabb {f} {\R} {\R } {} \zusatzklammer {oder zwischen Teilmengen von $\R$} {} {} kennen Sie aus der Schule? Wie heißen die \definitionsverweis {Umkehrabbildungen}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Eine Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) } {,} heißt \stichwort {streng wachsend} {,} wenn für alle $x_1,x_2 \in \R$ mit $x_1<x_2$ auch $f(x_1)<f(x_2)$ gilt. Zeige, dass eine streng wachsende Funktion $f$ \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Ist die Abbildung \maabbeledisp {} {\Q_{\geq 0}} { \Q_{\geq 0} } {x} {x^2 } {,} \definitionsverweis {injektiv}{}{?} Ist sie \definitionsverweis {surjektiv}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Ist die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\N_+ \times \N_+} { \N_+ \times \N_+\times \N_+ } {(a,b)} {(a+b,ab,a^b) } {,} \definitionsverweis {injektiv}{}{} oder nicht?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Hintereinanderschaltungen}{}{} \mathkor {} {\varphi \circ \psi} {und} {\psi \circ \varphi} {} für die \definitionsverweis {Abbildungen}{}{} \maabb {\varphi,\psi} {\R} {\R } {,} die durch
\mathdisp {\varphi(x)=x^3+3x^2-4 \text{ und } \psi(x)=x^2+5x-3} { }
definiert sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Der Pferdepfleger hat einen Korb voller Äpfel und geht auf die Weide, um die Äpfel an die Pferde zu verteilen. Danach geht jedes Pferd in seine Lieblingskuhle und macht dort einen großen Pferdeapfel. Modelliere den Vorgang mit geeigneten Mengen und \definitionsverweis {Abbildungen}{}{.} Man mache sich die Begriffe \definitionsverweis {injektiv}{}{} und \definitionsverweis {surjektiv}{}{} an diesem Beispiel klar. Kann die Gesamtabbildung surjektiv sein, wenn es 10 Äpfel, 6 Pferde und 8 Kuhlen gibt?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien
\mathl{L,M,N}{} Mengen und \maabb {F} {L} {M } {} und \maabb {G} {M} {N } {} \definitionsverweis {surjektive Abbildungen}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mathl{G \circ F}{} ebenfalls surjektiv ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien
\mathl{L,M,N}{} Mengen und \maabb {F} {L} {M } {} und \maabb {G} {M} {N } {} \definitionsverweis {injektive Abbildungen}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mathl{G \circ F}{} ebenfalls injektiv ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien $L,M,N$ Mengen und
\mathdisp {f:L \longrightarrow M \text{ und } g:M \longrightarrow N} { }
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{} mit der \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} \maabbeledisp {g \circ f} {L} {N } {x} {g(f(x)) } {.} Zeige: Wenn $g \circ f$ \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist, so ist auch $f$ injektiv.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $a,b$ positive natürliche Zahlen. Stifte eine \definitionsverweis {Bijektion}{}{} zwischen der Menge aller Vielfachen von $a$ und der Menge aller Vielfachen von $b$.

}
{} {}

Bei den folgenden Aufgaben zur Potenzmenge denke man an die Interpretation, wo $G$ die Leute in einem Kurs sind und
\mathl{M= \mathfrak {P} \, (G )}{} die möglichen \zusatzklammer {in Hinblick auf die Teilnehmer} {} {} kursinternen Parties sind. Bei Aufgabe 2.16 denke man an $A=$ Damen im Kurs, $B=$ Herren im Kurs.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine Menge und
\mathl{\mathfrak {P} \, (G )}{} ihre \definitionsverweis {Potenzmenge}{}{.} Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} { \mathfrak {P} \, (G ) } { \mathfrak {P} \, (G ) } {T} { \complement T } {,} \definitionsverweis {bijektiv}{}{} ist. Wie lautet die \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine Menge. Stifte eine \definitionsverweis {Bijektion}{}{} zwischen
\mathdisp {\mathfrak {P} \, (G ) \text{ und } \operatorname{Abb} \, { \left( G , \{0,1\} \right) }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $G$ eine Menge, die als \definitionsverweis {disjunkte Vereinigung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G }
{ =} { A \uplus B }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben ist. Definiere eine Bijektion zwischen der \definitionsverweis {Potenzmenge}{}{}
\mathl{\mathfrak {P} \, ( G )}{} und der \definitionsverweis {Produktmenge}{}{}
\mathl{\mathfrak {P} \, (A ) \times \mathfrak {P} \, (B )}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $M,N,L$ Mengen. Stifte eine \definitionsverweis {Bijektion}{}{} zwischen
\mathdisp {\operatorname{Abb} \, { \left( M \times N , L \right) } \text{ und } \operatorname{Abb} \, { \left( M , \operatorname{Abb} \, { \left( N , L \right) } \right) }} { . }

}
{Man mache sich diese Situation für $M=N=[0,1]$ und $L= \R$ klar.} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wie kann man sich den \definitionsverweis {Graphen}{}{} einer Abbildung \maabbdisp {\varphi} {\R^2} { \R } {} und wie sich den Graphen einer Abbildung \maabbdisp {\varphi} {\R} { \R^2 } {} vorstellen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {F} {L} {M } {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Urbild}{}{}nehmen \maabbeledisp {} { \mathfrak {P} \, (M )} {\mathfrak {P} \, (L )} {T} {F^{-1}(T) } {,} folgende Eigenschaften besitzt \zusatzklammer {für beliebige Teilmengen $T,T_1,T_2 \subseteq M$} {} {}: \aufzaehlungdrei{ $F^{-1}(T_1 \cap T_2) = F^{-1} (T_1) \cap F^{-1} (T_2)$, }{ $F^{-1}(T_1 \cup T_2) = F^{-1} (T_1) \cup F^{-1} (T_2)$, }{ $F^{-1}(M \setminus T) =L \setminus F^{-1} (T)$. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {F} {L} {M } {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Bildnehmen}{}{} \maabbeledisp {} {\mathfrak {P} \, (L )} {\mathfrak {P} \, (M )} {S} {F(S) } {,} folgende Eigenschaften besitzt \zusatzklammer {für beliebige Teilmengen $S,S_1,S_2 \subseteq L$} {} {}: \aufzaehlungdrei{ $F (S_1 \cap S_2) \subseteq F (S_1) \cap F (S_2)$, }{ $F(S_1 \cup S_2) = F(S_1) \cup F (S_2)$, }{ $F(L \setminus S) \supseteq F(L) \setminus F (S)$. } Zeige durch Beispiele, dass die beiden Inklusionen in (1) und (3) echt sein können.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {L} {und} {M} {} Mengen und es sei \maabbdisp {F} {L} {M} {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Zeige, dass $F$ genau dann \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist, wenn das \definitionsverweis {Urbildnehmen}{}{} \maabbeledisp {} {\mathfrak {P} \, (M )} {\mathfrak {P} \, (L ) } {T} {F^{-1}(T) } {,} \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {L} {und} {M} {} Mengen und es sei \maabbdisp {F} {L} {M} {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Zeige, dass $F$ genau dann \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist, wenn das \definitionsverweis {Urbildnehmen}{}{} \maabbeledisp {} {\mathfrak {P} \, (M )} {\mathfrak {P} \, (L ) } {T} {F^{-1}(T) } {,} \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.

}
{} {}

Die Idee zu den folgenden Aufgaben stammt von http://jwilson.coe.uga.edu/emt725/Challenge/Challenge.html, siehe auch http://www.vier-zahlen.bplaced.net/ .


\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbdisp {\Psi} {\N^4} { \N^4 } {,} die einem Vierertupel
\mathl{(a,b,c,d)}{} das Vierertupel
\mathdisp {( \betrag { b-a } , \betrag { c-b } , \betrag { d-c } , \betrag { a-d } )} { }
zuordnet. Es bezeichne
\mathl{\Psi^n}{} die $n$-fache \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} von $\Psi$. \aufzaehlungdrei{Berechne
\mathdisp {\Psi (6,5,2,8), \, \Psi^2 (6,5,2,8), \, \Psi^3 (6,5,2,8), \, \Psi^4 (6,5,2,8)\, ...} { , }
bis das Ergebnis das Nulltupel
\mathl{(0,0,0,0)}{} ist. }{Berechne
\mathdisp {\Psi (1,10,100,1000), \, \Psi^2 (1,10,100,1000), \, \Psi^3 (1,10,100,1000), \, \Psi^4 (1,10,100,1000) \, ...} { , }
bis das Ergebnis das Nulltupel
\mathl{(0,0,0,0)}{} ist. }{Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Psi^4 (0,0,n,0) }
{ = }{ (0,0,0,0) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbdisp {\Psi} {\N^4} { \N^4 } {,} die einem Vierertupel
\mathl{(a,b,c,d)}{} das Vierertupel
\mathdisp {( \betrag { b-a } , \betrag { c-b } , \betrag { d-c } , \betrag { a-d } )} { }
zuordnet. Bestimme, ob $\Psi$ \definitionsverweis {injektiv}{}{} und ob $\Psi$ \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbdisp {\Psi} {\N^4} { \N^4 } {,} die einem Vierertupel
\mathl{(a,b,c,d)}{} das Vierertupel
\mathdisp {( \betrag { b-a } , \betrag { c-b } , \betrag { d-c } , \betrag { a-d } )} { }
zuordnet. Zeige, dass sich bei jedem Starttupel
\mathl{(a,b,c,d)}{} nach endlich vielen Iterationen dieser Abbildung stets das Nulltupel ergibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbdisp {\Psi} {\Q_{\geq 0}^4} { \Q_{\geq 0}^4 } {,} die einem Vierertupel aus nichtnegativen rationalen Zahlen
\mathl{(a,b,c,d)}{} das Vierertupel
\mathdisp {( \betrag { b-a } , \betrag { c-b } , \betrag { d-c } , \betrag { a-d } )} { }
zuordnet. Zeige, dass sich nach endlich vielen Iterationen dieser Abbildung stets das Nulltupel ergibt.

}
{} {}

Wir werden später auch die Frage behandeln, wie es mit reellen Vierertupeln aussieht, siehe insbesondere Aufgabe 23.16.

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Hintereinanderschaltungen}{}{} \mathkor {} {\varphi \circ \psi} {und} {\psi \circ \varphi} {} für die \definitionsverweis {Abbildungen}{}{} \maabb {\varphi,\psi} {\R} {\R } {,} die durch
\mathdisp {\varphi(x)=x^4+3x^2-2x+5 \text{ und } \psi(x)=2x^3-x^2+6x-1} { }
definiert sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Man beschreibe eine \definitionsverweis {Bijektion}{}{} zwischen \mathkor {} {\N} {und} {\Z} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es seien $L,M,N$ Mengen und
\mathdisp {f:L \longrightarrow M \text{ und } g:M \longrightarrow N} { }
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{} mit der \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} \maabbeledisp {g \circ f} {L} {N } {x} {g(f(x)) } {.} Zeige: Wenn $g \circ f$ \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist, so ist auch $g$ surjektiv.

}
{Zeige durch ein Beispiel, dass die Umkehrung nicht gilt.} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Betrachte auf der Menge $M=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {M} {M } {x} {\varphi(x) } {,} die durch die Wertetabelle \wertetabelleachtausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileunddrei {6} {7} {8} }
{ $\varphi(x)$ }
{\mazeileundfuenf {2} {5} {6} {1} {4} }
{\mazeileunddrei {3} {7} {7} } gegeben ist. Berechne $\varphi^{1003}$, also die $1003$-te \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} \zusatzklammer {oder \stichwort {Iteration} {}} {} {} von $\varphi$ mit sich selbst.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es seien \mathkor {} {L} {und} {M} {} Mengen. Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {\Psi} {\operatorname{Abb} \, { \left( L , M \right) } } { \operatorname{Abb} \, { \left( \mathfrak {P} \, (M ) , \mathfrak {P} \, (L ) \right) } } {f} { f^{-1}} {,} bei der einer Abbildung das \definitionsverweis {Urbildnehmen}{}{} zugeordnet wird.

a) Zeige, dass $\Psi$ \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.

b) Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L }
{ \neq }{\emptyset }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass $\Psi$ nicht \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Die Aufgabe zum Aufgeben}

Lösungen zu der folgenden Aufgabe direkt an den Dozenten.

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbdisp {\Psi} {\N^4} { \N^4 } {,} die einem Vierertupel
\mathl{(a,b,c,d)}{} das Vierertupel
\mathdisp {( \betrag { b-a } , \betrag { c-b } , \betrag { d-c } , \betrag { a-d } )} { }
zuordnet. Man gebe ein Beispiel für ein Vierertupel
\mathl{(a,b,c,d)}{} mit der Eigenschaft an, dass sämliche Iterationen
\mathl{\Psi^n (a,b,c,d)}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \leq }{ 25 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} nicht das Nulltupel liefern. Überprüfe das Ergebnis auf http://www.vier-zahlen.bplaced.net/raetsel.php .

}
{} {}