Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 1

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Skizziere ein Mengendiagramm, das zu vier Mengen alle möglichen Schnittmengen darstellt.

Übungsaufgaben

Es sei $L A$ die Menge der Großbuchstaben des lateinischen Alphabets, $G A$ die Menge der Großbuchstaben des griechischen Alphabets und $R A$ die Menge der Großbuchstaben des russischen Alphabets. Bestimme die folgenden Mengen.

$G A ∖ R A$ .
$(L A \cap G A) \cup (L A \cap R A)$ .
$R A ∖ (G A \cup R A)$ .
$R A ∖ (G A \cup L A)$ .
$(R A ∖ G A) \cap ((L A \cup G A) ∖ (G A \cap R A))$ .

Aufgabe

Bestimme für die Mengen

M = {a, b, c, d, e}, N = {a, c, e}, P = {b}, R = {b, d, e, f}

die Mengen

$M \cap N$ ,
$M \cap N \cap P \cap R$ ,
$M \cup R$ ,
$(N \cup P) \cap R$ ,
$N ∖ R$ ,
$(M \cup P) ∖ (R ∖ N)$ ,
$((P \cup R) \cap N) \cap R$ ,
$(R ∖ P) \cap (M ∖ N)$ .

Aufgabe

Skizziere die folgenden Teilmengen im $ℝ^{2}$ .

${(x, y) ∣ x = 5}$ ,
${(x, y) ∣ x \geq 4 und y = 3}$ ,
${(x, y) ∣ y^{2} \geq 2}$ ,
${(x, y) ∣ | x | = 3 und | y | \leq 2}$ ,
${(x, y) ∣ 3 x \geq y und 5 x \leq 2 y}$ ,
${(x, y) ∣ x y = 0}$ ,
${(x, y) ∣ x y = 1}$ ,
${(x, y) ∣ x y \geq 1 und y \geq x^{3}}$ ,
${(x, y) ∣ 0 = 0}$ ,
${(x, y) ∣ 0 = 1}$ .

Welche geometrische Gestalt haben die Mengen, in deren Beschreibung nur eine (oder gar keine) Variable vorkommt?

Aufgabe *

Es seien $A, B$ und $C$ Mengen. Beweise die Identität

A ∖ (B \cap C) = (A ∖ B) \cup (A ∖ C) .

Aufgabe

Es seien $A, B$ und $C$ Mengen. Man beweise die folgenden Identitäten.

$A \cup \emptyset = A,$
$A \cap \emptyset = \emptyset,$
$A \cap B = B \cap A,$
$A \cup B = B \cup A,$
$A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C,$
$A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C,$
$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C),$
$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C),$
$A ∖ (B \cup C) = (A ∖ B) \cap (A ∖ C) .$

Aufgabe

Es seien $M$ und $N$ disjunkte Mengen und $x \in M$ . Zeige, dass auch $M ∖ {x}$ und $N \cup {x}$ disjunkt sind und dass

M \cup N = (M ∖ {x}) \cup (N \cup {x})

gilt.

Aufgabe

Skizziere die Menge $M = {(x, y) \in ℝ^{2} ∣ 4 x - 7 y = 3}$ und die Menge $N = {(x, y) \in ℝ^{2} ∣ 3 x + 2 y = 5}$ .
Bestimme den Durchschnitt $M \cap N$ zeichnerisch und rechnerisch.

Aufgabe

Wir betrachten die beiden Mengen

E = {(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) \in ℝ^{3} ∣ - 3 x + 2 y - 6 z = 0}

und

F = {(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) \in ℝ^{3} ∣ 7 x - 5 y - 4 z = 0} .

Finde eine Beschreibung für den Durchschnitt

G := E \cap F = {(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) \in ℝ^{3} ∣ - 3 x + 2 y - 6 z = 0 und 7 x - 5 y - 4 z = 0}

wie in Beispiel *****.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge
${(x, y) \in ℤ^{2} ∣ 3 x + 5 y = 1}$

nicht leer ist.
Zeige, dass die Menge
${(x, y) \in ℤ^{2} ∣ 6 x + 9 y = 5}$

leer ist.

Aufgabe

Beschreibe für je zwei (einschließlich dem Fall, dass das Produkt mit sich selbst genommen wird) der folgenden geometrischen Mengen ihre Produktmenge.

Eine Kreislinie $K$ .
Ein Geradenstück $I$ .
Eine Gerade $G$ .
Eine Parabel $P$ .

Welche Produktmengen lassen sich als eine Teilmenge im Raum realisieren, welche nicht?

Aufgabe *

Es seien $M$ und $N$ Mengen und seien $A \subseteq M$ und $B \subseteq N$ Teilmengen. Zeige die Gleichheit

(A \times N) \cap (M \times B) = A \times B .

Aufgabe

Es seien $A$ und $B$ disjunkte Mengen und $C$ eine weitere Menge. Zeige die Gleichheit

C \times (A ⊎ B) = (C \times A) ⊎ (C \times B) .

Aufgabe

Es seien $A$ und $B$ disjunkte Mengen. Zeige die Gleichheit

(A ⊎ B) \times (A ⊎ B) = (A \times A) ⊎ (A \times B) ⊎ (B \times A) ⊎ (B \times B) .

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Skizziere die folgenden Teilmengen im $ℝ^{2}$ .

${(x, y) ∣ | 2 x | = 5 und | y | \geq 3}$ ,
${(x, y) ∣ - 3 x \geq 2 y und 4 x \leq - 5 y}$ ,
${(x, y) ∣ y^{2} - y + 1 \leq 4}$ ,
${(x, y) ∣ x y = 2 oder x^{2} + y^{2} = 1}$ .

Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

Skizziere die Menge $M = {(x, y) \in ℝ^{2} ∣ - 5 x + 2 y = 6}$ und die Menge $N = {(x, y) \in ℝ^{2} ∣ 7 x - 5 y = 4}$ .
Bestimme den Durchschnitt $M \cap N$ zeichnerisch und rechnerisch.

Aufgabe * (1 Punkt)

Gilt für die Vereinigung von Mengen die „Abziehregel“, d.h. kann man aus $A \cup C = B \cup C$ auf $A = B$ schließen?

Aufgabe (5 Punkte)

Beweise die mengentheoretischen Fassungen einiger aristotelischer Syllogismen. Dabei bezeichnen $A, B, C$ Mengen.

Modus Barbara: Aus $B \subseteq A$ und $C \subseteq B$ folgt $C \subseteq A$ .
Modus Celarent: Aus $B \cap A = \emptyset$ und $C \subseteq B$ folgt $C \cap A = \emptyset$ .
Modus Darii: Aus $B \subseteq A$ und $C \cap B \neq \emptyset$ folgt $C \cap A \neq \emptyset$ .
Modus Ferio: Aus $B \cap A = \emptyset$ und $C \cap B \neq \emptyset$ folgt $C \subseteq̸ A$ .
Modus Baroco: Aus $B \subseteq A$ und $B \subseteq̸ C$ folgt $A \subseteq̸ C$ .

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien $M$ und $N$ Mengen und seien $A_{1}, A_{2} \subseteq M$ und $B_{1}, B_{2} \subseteq N$ Teilmengen. Zeige die Gleichheit

(A_{1} \times B_{1}) \cap (A_{2} \times B_{2}) = (A_{1} \cap A_{2}) \times (B_{1} \cap B_{2}) .

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien $A$ und $B$ Mengen. Zeige, dass die folgenden Aussagen zueinander äquivalent sind.

$A \subseteq B$ ,
$A \cap B = A$ ,
$A \cup B = B$ ,
$A ∖ B = \emptyset$ ,
Es gibt eine Menge $C$ mit $B = A \cup C$ ,
Es gibt eine Menge $D$ mit $A = B \cap D$ .

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