Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 3

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Formuliere die binomischen Formeln für zwei reelle Zahlen und beweise die Formeln mit Hilfe des Distributivgesetzes.




Übungsaufgaben

Aufgabe

Betrachte die ganzen Zahlen mit der Differenz als Verknüpfung, also die Abbildung

Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element? Ist diese Verknüpfung assoziativ, kommutativ, gibt es zu jedem Element ein inverses Element?


Aufgabe *

Wir betrachten auf der Menge

die durch die Tabelle

gegebene Verknüpfung .

  1. Berechne
  2. Besitzt die Verknüpfung ein neutrales Element?


Aufgabe

Zeige, dass das Potenzieren auf den positiven natürlichen Zahlen, also die Zuordnung

weder kommutativ noch assoziativ ist. Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element?


Aufgabe

Zeige, dass die Verknüpfung auf einer Geraden, die zwei Punkten ihren Mittelpunkt zuordnet, kommutativ, aber nicht assoziativ ist. Gibt es ein neutrales Element?


Aufgabe

Man untersuche die Verknüpfung

auf Assoziativität, Kommutativität, die Existenz von einem neutralen Element und die Existenz von inversen Elementen.


Aufgabe

Wir betrachten die Menge

Zeige, dass auf durch

eine wohldefinierte Verknüpfung gegeben ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Menge

mit der in Aufgabe 3.7 definierten Verknüpfung eine kommutative Gruppe ist.


Aufgabe

Es sei eine Menge mit einer Verknüpfung darauf, die wir als Produkt schreiben.

  1. Wie viele sinnvollen Klammerungen gibt es für die Verknüpfung von vier Elementen?
  2. Die Verknüpfung sei nun assoziativ. Zeige, dass das Produkt von vier Elementen nicht von irgendeiner Klammerung abhängt.


Aufgabe

Es sei eine Menge mit einer assoziativen Verknüpfung darauf, die wir als schreiben. Zeige, dass

für beliebige gilt.


Aufgabe

Es sei eine Menge und die zugehörige Potenzmenge. Betrachte den Durchschnitt von Teilmengen von als eine Verknüpfung auf . Ist diese Verknüpfung kommutativ, assoziativ, besitzt sie ein neutrales Element?


Aufgabe

Sei die Menge der Abbildungen einer zweielementigen Menge in sich selbst, also

Benenne die Elemente aus und lege eine Wertetabelle für die Verknüpfung auf an, die durch die Hintereinanderschaltung von Abbildungen definiert ist.


Aufgabe

Es sei eine Menge und

Zeige, dass mit der Hintereinanderschaltung von Abbildungen eine Gruppe ist.


Aufgabe *

Sei eine Gruppe. Zeige, dass

für alle ist.


Aufgabe

Sei eine Gruppe und . Drücke das Inverse von durch die Inversen von und aus.


Aufgabe

Man konstruiere eine Gruppe mit drei Elementen.


Aufgabe

Sei ein Ring und seien und Elemente in . Berechne das Produkt

Wie lautet das Ergebnis, wenn der Ring kommutativ ist?


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und . Zeige die folgenden Gleichungen:

und


Aufgabe

Skizziere den Graphen der reellen Addition

und den Graphen der reellen Multiplikation


Die folgende Aufgabe beweist man durch Induktion. Dies ist ein Beweisverfahren, das üblicherweise in der Analysis eingeführt wird. Siehe auch den Anhang zum Kurs.

Aufgabe *

Beweise die allgemeine binomische Formel, also die Formel

für und beliebige Elemente in einem Körper .


Aufgabe *

Berechne


Aufgabe

Es seien Elemente in einem Körper, wobei und nicht null seien. Beweise die folgenden Bruchrechenregeln.

Gilt die zu (8) analoge Formel, die entsteht, wenn man die Addition mit der Multiplikation vertauscht, also

Zeige, dass die „beliebte Formel“

nicht gilt.


Aufgabe

Zeige, dass in einem Körper das „umgekehrte Distributivgesetz“, also

nicht gilt.


Aufgabe

Beschreibe und beweise Regeln für die Addition und die Multiplikation von geraden und ungeraden ganzen Zahlen. Man definiere auf der zweielementigen Menge

eine „Addition“ und eine „Multiplikation“, die diese Regeln „repräsentieren“.


Aufgabe

Zeige, dass die einelementige Menge alle Körperaxiome erfüllt mit der einzigen Ausnahme, dass ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper. Zeige, dass man jeder natürlichen Zahl ein Körperelement zuordnen kann, so dass das Nullelement in und das Einselement in ist und so dass

gilt. Zeige, dass diese Zuordnung die Eigenschaften

besitzt.

Erweitere diese Zuordnung auf die ganzen Zahlen und zeige, dass die angeführten strukturellen Eigenschaften ebenfalls gelten.


Aufgabe

Es sei ein Körper mit . Zeige, dass für die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Sei ein Ring und eine Menge. Definiere auf der Abbildungsmenge

eine Ringstruktur.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Man untersuche die Verknüpfung

auf Assoziativität, Kommutativität, die Existenz von einem neutralen Element und die Existenz von inversen Elementen.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine Menge. Zeige, dass die Potenzmenge mit dem Durchschnitt als Multiplikation und der symmetrischen Differenz

als Addition (mit welchen neutralen Elementen?) ein kommutativer Ring ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige für einen Körper die folgenden Eigenschaften.

(1) Für jedes ist die Abbildung

bijektiv.

(2) Für jedes , , ist die Abbildung

bijektiv.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die „Rechenregel“

bei (und ) niemals gilt. Man gebe ein Beispiel mit , wo diese Regel gilt.


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise das allgemeine Distributivgesetz für einen Körper.


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Menge

mit den beiden ausgezeichneten Elementen

der Addition

und der Multiplikation

Zeige, dass mit diesen Operationen ein Körper ist.



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