Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 2

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Man gebe Beispiele für Abbildungen

derart, dass injektiv, aber nicht surjektiv ist, und dass surjektiv, aber nicht injektiv ist.




Übungsaufgaben

Aufgabe

Welche Funktionsvorschriften kennen Sie aus der Schule?


Aufgabe

Woran erkennt man am Graphen einer Abbildung

ob injektiv bzw. surjektiv ist?


Aufgabe

Welche bijektiven Funktionen (oder zwischen Teilmengen von ) kennen Sie aus der Schule? Wie heißen die Umkehrabbildungen?


Aufgabe

Eine Funktion

heißt streng wachsend, wenn für alle mit auch gilt. Zeige, dass eine streng wachsende Funktion injektiv ist.


Aufgabe

Ist die Abbildung

injektiv? Ist sie surjektiv?


Aufgabe *

Ist die Abbildung

injektiv oder nicht?


Aufgabe

Bestimme die Hintereinanderschaltungen und für die Abbildungen , die durch

definiert sind.


Aufgabe

Der Pferdepfleger hat einen Korb voller Äpfel und geht auf die Weide, um die Äpfel an die Pferde zu verteilen. Danach geht jedes Pferd in seine Lieblingskuhle und macht dort einen großen Pferdeapfel. Modelliere den Vorgang mit geeigneten Mengen und Abbildungen. Man mache sich die Begriffe injektiv und surjektiv an diesem Beispiel klar. Kann die Gesamtabbildung surjektiv sein, wenn es 10 Äpfel, 6 Pferde und 8 Kuhlen gibt?


Aufgabe *

Es seien Mengen und und surjektive Abbildungen. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ebenfalls surjektiv ist.


Aufgabe *

Es seien Mengen und und injektive Abbildungen. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ebenfalls injektiv ist.


Aufgabe *

Seien Mengen und

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

Zeige: Wenn injektiv ist, so ist auch injektiv.


Aufgabe

Es seien positive natürliche Zahlen. Stifte eine Bijektion zwischen der Menge aller Vielfachen von und der Menge aller Vielfachen von .


Bei den folgenden Aufgaben zur Potenzmenge denke man an die Interpretation, wo die Leute in einem Kurs sind und die möglichen (in Hinblick auf die Teilnehmer) kursinternen Parties sind. Bei Aufgabe 2.16 denke man an Damen im Kurs, Herren im Kurs.

Aufgabe

Sei eine Menge und ihre Potenzmenge. Zeige, dass die Abbildung

bijektiv ist. Wie lautet die Umkehrabbildung?


Aufgabe

Sei eine Menge. Stifte eine Bijektion zwischen


Aufgabe *

Sei eine Menge, die als disjunkte Vereinigung

gegeben ist. Definiere eine Bijektion zwischen der Potenzmenge und der Produktmenge .


Aufgabe

Seien Mengen. Stifte eine Bijektion zwischen

Man mache sich diese Situation für und klar.

Aufgabe

Wie kann man sich den Graphen einer Abbildung

und wie sich den Graphen einer Abbildung

vorstellen?


Aufgabe

Es sei

eine Abbildung. Zeige, dass das Urbildnehmen

folgende Eigenschaften besitzt (für beliebige Teilmengen ):

  1. ,
  2. ,
  3. .


Aufgabe

Es sei

eine Abbildung. Zeige, dass das Bildnehmen

folgende Eigenschaften besitzt (für beliebige Teilmengen ):

  1. ,
  2. ,
  3. .

Zeige durch Beispiele, dass die beiden Inklusionen in (1) und (3) echt sein können.


Aufgabe

Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung. Zeige, dass genau dann injektiv ist, wenn das Urbildnehmen

surjektiv ist.


Aufgabe

Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung. Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn das Urbildnehmen

injektiv ist.


Die Idee zu den folgenden Aufgaben stammt von http://jwilson.coe.uga.edu/emt725/Challenge/Challenge.html, siehe auch http://www.vier-zahlen.bplaced.net/ .

Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

die einem Vierertupel das Vierertupel

zuordnet. Es bezeichne die -fache Hintereinanderschaltung von .

  1. Berechne

    bis das Ergebnis das Nulltupel ist.

  2. Berechne

    bis das Ergebnis das Nulltupel ist.

  3. Zeige für jedes .


Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

die einem Vierertupel das Vierertupel

zuordnet. Bestimme, ob injektiv und ob surjektiv ist.


Aufgabe *

Wir betrachten die Abbildung

die einem Vierertupel das Vierertupel

zuordnet. Zeige, dass sich bei jedem Starttupel nach endlich vielen Iterationen dieser Abbildung stets das Nulltupel ergibt.


Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

die einem Vierertupel aus nichtnegativen rationalen Zahlen das Vierertupel

zuordnet. Zeige, dass sich nach endlich vielen Iterationen dieser Abbildung stets das Nulltupel ergibt.


Wir werden später auch die Frage behandeln, wie es mit reellen Vierertupeln aussieht, siehe insbesondere Aufgabe 23.16.



Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Hintereinanderschaltungen und für die Abbildungen , die durch

definiert sind.


Aufgabe (3 Punkte)

Man beschreibe eine Bijektion zwischen und .


Aufgabe (3 Punkte)

Seien Mengen und

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

Zeige: Wenn surjektiv ist, so ist auch surjektiv.

Zeige durch ein Beispiel, dass die Umkehrung nicht gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte auf der Menge die Abbildung

die durch die Wertetabelle

gegeben ist. Berechne , also die -te Hintereinanderschaltung (oder Iteration) von mit sich selbst.


Aufgabe (5 Punkte)

Es seien und Mengen. Wir betrachten die Abbildung

bei der einer Abbildung das Urbildnehmen zugeordnet wird.

a) Zeige, dass injektiv ist.

b) Es sei . Zeige, dass nicht surjektiv ist.




Die Aufgabe zum Aufgeben

Lösungen zu der folgenden Aufgabe direkt an den Dozenten.

Aufgabe (10 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

die einem Vierertupel das Vierertupel

zuordnet. Man gebe ein Beispiel für ein Vierertupel mit der Eigenschaft an, dass sämliche Iterationen für nicht das Nulltupel liefern. Überprüfe das Ergebnis auf http://www.vier-zahlen.bplaced.net/raetsel.php .


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